Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции нескольких переменных

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

1.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

По теореме Лагранжа:

					y x,
z x0 x, y0 y z x0 , y0 y zx ξ, y0					y x,
где x0 ξ x0 x .
Аналогично

z x0 , y0 y z x0 , y0 zx x0 , ω y ,
где y0 ω y0 y.
Следовательно,			ξ,				По
Следовательно,	z x0 , y0 zx		ξ,	y0 y x zy x0 , ω y.			По
условию теоремы
условию теоремы	zx и	zy непрерывны в т. M x0 , y0 . Значит,
			и			.
lim zx ξ, y0 y		zx x0 , y0	и	lim zy x0 , ω	zy x0 , y0	.
x 0				x 0
y 0				y 0

Из полученных равенств, согласно определению предела, имеем:

		, y0	α,
zx ξ, y0	y zx x0

zy x0 , ω zy x0 , y0 β.

Это значит, что

	, y0			, y0	y α x β y .
z x0 , y0 zx x0		x zy x0
То есть функция z z x, y			– дифференцируема в т. M x0 , y0 ,

что и требовалось доказать.

Функции с непрерывными частными производными называются

непрерывно дифференцируемыми.

Например,		функция z 2xy	дифференцируема		в любой
т. M x, y R	2	, т. к. ее частные		xy	ln 2	y и
			производные zx 2

zy 2xy ln 2 x являются непрерывными при любых x и y.

2.3. Дифференциал функции нескольких переменных

Пусть z z x, y – дифференцируемая в т. M x0, y0 функция. Ее полное приращение

	, y0		, y0	y α x β y.
z zx x0		x zy x0

Дифференциалом рассматриваемой функции является главная линейная часть ее полного приращения. Обозначается

	, y0		, y0	y . Приращения	x	и y	являются
dz zx x0		x zy x0

дифференциалами независимых переменных и поэтому равны dx и dy соответственно. Тогда полный дифференциал функции

z z x, y будет иметь вид

				(2.4)

	dz zxdx zydy .

	Для функции 3-х переменных u u x, y, z			дифференциал будет
равен

				(2.5)

	du uxdx	uydy	uzdz .

Чтобы найти дифференциал функции, нужно найти ее частные производные и подставить их в соответствующие формулы (2.4), (2.5).

Пример 2.4. Найти дифференциал функции z x2 y x y . Решение. Частные производные заданной функции равны

z 2xy 1,

zy x2 1.

Тогда дифференциал заданной функции будет равен

dz 2xy 1 dx x2 1 dy .

Пример 2.5. Найти дифференциал функции z cos xy .

Решение. Находим частные производные du uxdx uydy

uzdz :

z sin

sin

Подставляем их в формулу (2.4):

dz sin

dx sin

dy.

Пример 2.6. Найти дифференциал функции

u x2 yz 2xz 3y2 z.

Решение. Находим частные производные:

2xyz 2z;

z 6yz;

y 2x

. Подставляем их в формулу (2.5)

uz x

и получаем дифференциал исходной функции:

du 2xyz 2z dx x2 z 6yz dy x2 y 2x 3y2 dz .

2.4. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях

Если функция z z x, y – дифференцируема, то ее полное при-

ращение z z x x, y y z x, y .

Откуда z x x, y y z x, y z . Поскольку z dz , то

z x x, y y z x, y dz z x, y z x z y. (2.6)

x y

Полученная формула является формулой применения дифференциалов в приближенных вычислениях.

Чтобы воспользоваться формулой (2.6), нужно:

1)по заданному числу записать функцию z z x, y ;

2)выделить x, x, y и y . В качестве x и y берутся целые значе-

ния заданного числа, при которых записанная функция легко вычисляется. Выделенные x и y должны быть достаточно малыми;

3) вычисляем все составляющие формулы (2.6) и определяем приближенное значение заданного числа.

Пример 2.7. Вычислить приближенно 1,012,03.

Решение. По заданному числу запишем функцию z x y .

Выделяем x, x, y и

y :

x 1, x 0,01,

y 2, y 0,03.

Значение

функции

при

выделенных

x и

будет равно

z 2, 2 12 1 . Частные производные будут равны:

y 1

x 1 2

2 1

ln x

ln1 0,

zx y x

zy x

x 1

y 2

т. е. 1,012,03 1 2 0,01 0 0,03 1 0,02 0 1,02.

Пример 2.8. Вычислить приближенно

2,01 2

1,02 2 1,99 2 .

Решение. По заданному числу запишем функцию

fx2 y2 z2 .

Выделяем:

x 2, x 0,01,

y 1, y 0,02,

z 2, z 0,01.

Значение функции при выделенных x, y и z будет равно

f4 1 4 3.

Частные производные:

x2 y2 z2

2 x2 y2 z2

x 2

y 1

z 2

f y

x2 y2 z2

x 2

y 1

z 2

x2 y2 z2

x 2

y 1

z 2

Таким образом, имеем

2,01 2 1,02 2 1,99 2 3 23 0,01 13 0,02 23 0,01

3 13 0,02 0,02 0,02 3 13 0,02 31501 .

2.5.Аудиторные задания

1.Найти частные производные функций.

1.1.z 2x2 4y2 xy 2x 5y 4.

(Ответ: zx 4x y 2; zy 8y x 5. )

1.2. z y sin 2x y .

sin 2x y y cos 2x y .)

(Ответ: zx

2y cos 2x y ; zy

1.3. z x2 cos x 5y .

2x cos x 5y

sin x 5y .)

(Ответ: zx

sin x 5y ; zy

1.4. z

2 y

. (Ответ:

x y 2

; zy

x y 2

x2 y2

4xy

1.5. z x2

y2 . (Ответ:

y2 2

;

y2 2 .)

1.6. z arctg

. (Ответ: z

; z

1.7. z x

y2 1

;

ln x 2y.)

. (Ответ: zx y

zy x

1.8. z

xy. (Ответ: zx

; zy

. )

2. Вычислить значения частных производных функции в точке.

2.1.z x y , M0 3; 2 .

							M0 6. )
	(Ответ: zx M0 4; zy						M0 6. )
				1; 2; 2 .
2.2. u	x2 y2 z ,	M	0	1; 2; 2 .
			0
				2		1		1

								. )
	(Ответ: ux			3	; uy	3	; uz	. )
				3		3		6

	2.3. u x y z , M			0	1; 2; 3 .
				0
				M0 8;				0. )
	(Ответ: ux			M0 8;		uy M0 0; uz M0		0. )
3.	Доказать,		что функция z y sin 2x y				удовлетворяет урав-
нению z		y z	z.
	x	y				u ln ex ey ez
4.	Доказать,		что		функция	u ln ex ey ez		удовлетворяет

уравнению u u u 1.

x y z

5.Найти дифференциал функции.

5.1.z y3x . (Ответ: dz 3y3x ln ydx 3xy3x 1dy .)

5.2. z x4 y4 3x2 y2 5xy3 .

(Ответ: dz 4x4 6xy2 5y3 dx 4y3 6x2 y 15xy2 dy. )

. (Ответ: dz

5.3. z ln

x2 y2

dy .)

5.4. z arccos

1 xy

1 x2 y2 x2 y2

(Ответ: dz

dy. )

1 x2

1 y2

5.5. u z yx .

(Ответ: dz y

ln y ln zdx y

x 1

x ln zdy y

yx 1

dz. )

5.6.u x2 y2 z2 4. (Ответ: dz 2xdx 2ydy 2zdz. )

6.Вычислить приближенно.

6.1.1,982,02 . (Ответ: 3,976.)

6.2. 1,03 2 2,98 2 . (Ответ: 3,153.)

6.3.1,003 1,998 2 3,005 2 . (Ответ: 108,648.)

6.4.2,02 2 1,03 2 1,97 2 . (Ответ: 3,003.)

6.5.1,99 2,01 . (Ответ: 3,987.)

6.6.1,99 2 2,03 3 . (Ответ: 9,41.)

6.7.ln 1,98 2,03 . (Ответ: 3,963.)

2.6.Домашние задания

1.Найти частные производные функций.

1.1.z cos x2 y .

(Ответ:

2xy sin x

y ;

sin

y . )

zy x

1.2. z ln x

. (Ответ:

2 y

. )

;

x2 y2

1.3.

z e

x. )

(Ответ: zx e

1.4.

z 2

y2x

ln 2;

2 yx

y2x

ln 2. )

. (Ответ: zx

1.5. z x

2y 4x. )

4xy. (Ответ: zx

2x 4y; zy

2. Найти частные производные функций в точке.

2.1.

z y

M0 2;1 . (Ответ: zx 0;

zy 2. )

2.2. z x

. )

y ,

M0 1;1 . (Ответ: zx

1; zy

2.3. z 3

ln 3;

ln 3. )

M0 2; 2 . (Ответ: zx

3.Найти дифференциал функции.

3.1.z 2x 3y 5. (Ответ: dz 2dx 3dy. )

3.2.z x2 y y2 x 4.

(Ответ: dz 2xy y2 dx x2 2xy dy. )

3.3. u xyz x2 y2 z2.

(Ответ: du yz 2x dx xz 2y dy xy 2z dz. )

4.Вычислить приближенно.

4.1.1,06 1,88 . (Ответ: 1,12.)

4.2.1,02 2 2,03 3 . (Ответ: 8,68.)

3.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

3.1.Правила дифференцирования неявных

исложных функций. Приложения частных производных

Пусть имеется функция u x1, x2 ,

, xn ,

неявно заданная урав-

нением F x1, x2 ,

, xn ,u 0.

Частные производные данной функ-

ции определяются по формулам

Fx1

Fx2

Fxn

Для функции 2-х переменных F x, y 0

будет

Пример 3.1. Найти

если x

5x 2y 0.

yx ,

2xy 5,

2 y 2,

2xy 5

Решение. Fx

x2 2 y 2

Пример 3.2. Найти xy ,

если cos xy ex ey

sin xy y e

sin xy x e

Решение. Fx


		sin xy x e			y
Тогда xy	Fy					.
		sin xy y ex
	Fx
Если u F v1, v2 ,			,vn , где v1 f1 x1, x2 ,				, xn ,
v2 f2 x1, x2 ,			, xn ,	, vn fn x1,			x2 , , xn ,

то функция u называется сложной функцией независимых переменных

x1, x2 , , xn . Переменные v1, v2 , ,vn называются промежуточными аргументами.

Частные производные сложной функции по одной из независимых переменных определяются по формулам

x1u

uv1

v1 u v2x1 v2 x1

v1 u v2x2 v2 x2

u vn ,vn x1

u vn ,vn x2

vn .

Если рассматривается функция 2-х переменных

z z u, v , где

u u x, y , v v x,

y , тогда

v ,

(3.1)

v .

(3.2)

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.11.20252.35 Mб0Формирование архитектурно-ландшафтных композиций.pdf
#
30.11.20253.19 Mб0Формирование навыков креативного мышления у студентов при изучении философии, логики.pdf
#
30.11.20258.58 Mб2Французский язык. Часть 1.pdf
#
30.11.20255.35 Mб1Фрезерные работы.pdf
#
30.11.20252.65 Mб0Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения.pdf
#
30.11.20251.68 Mб0Функции нескольких переменных.pdf
#
30.11.20252.85 Mб0Функциональное и логическое программирование.pdf
#
30.11.20259.48 Mб0Характеристики дорожного движения.pdf
#
30.11.20253.33 Mб0Химия для курсантов военно-технического профиля.pdf
#
30.11.20255.03 Mб0Химия для студентов специальности 1-57 02 01 Технология и оборудование ювелирного производства.pdf
#
30.11.20254.42 Mб0Химия.pdf