Функции нескольких переменных

3) lim f M f M0 .

M M0

Если в т. M 0 не выполняется хотя бы одно из отмеченных условий, то она является точкой разрыва функции u f M .

Для функции z f x, y двух независимых переменных точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линию. Для функции u f x, y, z точки разрыва могут быть либо изолиро-

ванными, либо образовывать линию, либо поверхность разрыва. Примеры. Найти точки разрыва.

разрыва, которая является сферой с центром в начале координат и

R 3.

Определение 1.5. Функция u f M называется непрерывной

на множестве D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Функции нескольких переменных, непрерывные на замкнутых ограниченных множествах, обладают свойствами, аналогичными свойствам функции одной переменной, непрерывной на отрезке.

Отметим основные из них.

10

Теорема 1.1. Если функция z f M непрерывна на замкнутом

существует по крайней мере одна т. M0 такая, что f M0 0.

Определение 1.6. Множество называется связным, если любые две его точки могут быть соединены линией, принадлежащей этому множеству.

Теорема 1.3. Если функция z f M непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D, то она равномерно-непрерывна на этом множестве, т. е. для любого 0 существует 0 :

для любых точек M1 и M 2 множества D, находящихся на расстоянии, меньшем , выполняется неравенство:

f M1 f M2 .

Замечание. Для функций, непрерывных на незамкнутых или неограниченных множествах, указанные теоремы могут и не выполняться.

11

1.4.Аудиторные задания

1.Найти область определения функции.

1.1.z 2x y 3 . (Ответ: вся плоскость XOY.)

1.2.z x2 y2 16 . (Ответ: x2 y2 16. )

xyz 0. )

1.6.f x2 y2 4 9 x2 y2 . (Ответ: кольцо 4 x2 y2 9 .)

1.7.f x yz . (Ответ: 1) y 0, z 0; 2) y 0, z 0. )

2.Найти разрыв функции.

12

1.5.Домашние задания

1.Найти область определения функции.

1.1.f x y 4 . (Ответ: x R; y R. )

xy

1.2.z . (Ответ: y x 7.)

x y 7

x 0; y 4.)

13

2.Найти разрыв функции.

2.1.z xy . (Ответ: xy 0 .)

3. Найти пределы.

3.1. lim 2x . (Ответ: 6/7.) x 3 x y

y 4

3.2. lim 4 y . (Ответ: –3.) x 0 x y

y 2

x

3.3. lim . (Ответ: 1/2.) x 0 sin xy

y 2

2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

2.1. Понятие частных производных функций нескольких переменных

Пусть рассматривается функция двух переменных z z x, y .

Если один из аргументов получит приращение, то будет иметь место частное приращение функции:

14

Если приращение получат x и y, то имеем полное приращение функции:

Рис. 2.1

Пример 2.1. Найти частные и полное приращения функции z x2 y3 в т. M 2; 3 , если x 0,2, y 0,3.

Решение. В соответствии с формулами (2.1)–(2.3) имеем:

x z x x 2 y3 x2 y3 x2 2x x x 2 y3 x2 y3

y3 x2 2x x x 2 x2 y3 2x x x 2

33 2 2 0,2 0,22 27 0,84 22,68 ,

15

y z x2 y y 3 x2 y3

x2 y3 3y2 y 3 y 2 y y 3 y3

x2 3y2 y 3y y 2 y 3 4 27 0,3 9 0,32 0,33 35,748 ,

z x x 2 y y 3 x2 y3 x2 2x x x 2

y3 3y2 y 3y y 2 y 3 x2 y3

22 0,8 0,04 27 8,1 0,8 0,027 4 27

4,84 35,937 108 65,935.

Определение 2.1. Частной производной функции z z x, y по

Частные производные определяют скорость изменения функции в т. M x0 , y0 в направлении изменения независимой переменной.

16

Вычисляются частные производные по тем же правилам, формулам и свойствам, что и функции одной переменной, при условии, что остальные переменные остаются постоянными.

Пример 2.2. Найти частные производные функции z 2xy . Решение. Частную производную zx вычисляем как производ-

ную показательной функции, считая y постоянной:

u 2cos z x2 y3 sin z x2 y3 sin 2z 2x2 y3 .

z

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных состоит в том, что они равны тангенсам углов, образованных касательными, проведенными к линиям пересечения по-

Механический смысл частных производных функции двух пере-

( y y0 или x x0 ).

17

2.2. Дифференцируемость функции двух переменных

Функция z z x, y является дифференцируемой в т. M x0 , y0 , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Доказательство. По определению дифференцируемости функции имеем

z A x B y α x β y ,

y 0

непрерывна в т. M x0 , y0 .

т. M x0 , y0 . Ее приращение

z A x0 , y0 x B x0 , y0 y α x β y .

18

Пусть y 0. Тогда x z A x α x. Разделим последнее равенство на x и возьмем предел при x 0 :

Добавим и вычтем из правой части z x0 , y0 y :

zz x0 x; y0 y z x0 , y0 y

z x0 , y0 y z x0 , y0 .

19