Функции нескольких переменных

УДК 517.53/55(075.8)

ББК 22.12я7

ISBN 978-985-550-030-9

© Лебедева Г. И., Романюк Г. А.,

Мартыненко И. М., 2013

© Белорусский национальный

технический университет, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................

5

1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ........................

6

1.1. Определение функции нескольких переменных.............

6

1.2. Предел функции.................................................................

8

1.3. Непрерывность функции...................................................

9

1.4. Аудиторные задания..........................................................

12

1.5. Домашние задания.............................................................

13

2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.....................

14

2.1. Понятие частных производных функций нескольких

переменных.........................................................................

14

2.2. Дифференцируемость функции двух переменных.........

18

2.3. Дифференциал функции нескольких переменных.........

21

2.4. Применение дифференциалов

в приближенных вычислениях.........................................

23

2.5. Аудиторные задания..........................................................

25

2.6. Домашние задания.............................................................

27

3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ

И СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ.

ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.........................

28

3.1. Правила дифференцирования неявных и сложных

функций. Приложения частных производных................

28

3.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности..........

30

3.3. Вектор-градиент. Производная функции

по направлению вектора....................................................

33

3.4. Аудиторные задания..........................................................

36

3.5. Домашние задания.............................................................

38

4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА......................

39

4.1. Частные производные высших порядков.........................

39

4.2. Дифференциалы высших порядков

функции нескольких переменных....................................

43

4.3. Формула Тейлора для функции

нескольких переменных....................................................

46

4.4. Аудиторные задания..........................................................

49

4.5. Домашние задания.............................................................

51

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ.

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. НАИБОЛЬШЕЕ

И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ

В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ.........................................................

52

5.1. Локальные экстремумы функций

нескольких переменных....................................................

52

5.2. Условный экстремум.........................................................

57

5.3. Наибольшее и наименьшее значение функции

в замкнутой области...........................................................

62

5.4. Аудиторные задания..........................................................

66

5.5. Домашние задания.............................................................

67

6. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ...............................

68

6.1. Суть метода наименьших квадратов................................

68

6.2. Аудиторные задания..........................................................

74

6.3. Домашние задания.............................................................

76

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ..............................................

77

ЛИТЕРАТУРА...............................................................................

87

Определение 1.1. Если правило f каждой точке M x1,

, xn D

ное число u f M f x1,

, xn ,

то говорят, что на множестве D

задана

числовая

функция

f

от

n

переменных:

u f M f x1,

, xn .

функцию

точек

плоскости OXY.

Частное значение функции

z f x, y

при

x x0 , y y0

обозначают f x0 , y0 или

z f x, y , u f x, y, z

либо неявно уравнением, не разрешенным

относительно зависимой

переменной например, F x, y, z 0 .

1.2. Предел функции

Рассмотрим

последовательность

т.

M1 x1, y1 , M2 x2 , y2 ,

, Mk xk , yk Mk

плоскости XOY. Говорят, что эта последова-

тельность

сходится

к

т.

M0 x0 , y0 ,

если

расстояние

ρ M

k

, M

0

x

x 2

y

y

2

стремится к нулю при k , т. е.

k

0

k

0

lim ρ M

k

, M

0

lim

x

x

2

y

y 2

0 .

k

k

k

0

k

0

Либо

предел

последовательности

т.

Mk

равен M0 :

lim Mk

M0 .

k

z f x, y f M

Пусть функция

определена в некоторой -

окрестности т. M0 x0 ,

y0 , т. е. при условии ρ M , M0 ε.

Определение 1.2 (по Гейне). Число z0 называется пределом

функции z f x, y в т. M0 x0 , y0 , если для любой сходящейся к

M0 x0 , y0 последовательности точек Mk ,

соответствующая по-

следовательность f M1 , f M2 ,

, f Mk

значений функции

z0

lim

f M ,

если Mk xk , yk : lim Mk

M M0

k

M0

x0 , y0

lim f Mk f M0 .

k

Обозначается

lim

f M z0 или lim

f x, y z0.

M M0

x x

y y0

0

Определение 1.3

(по Коши). Число z0

называется пределом

функции z f x,

y

при

x x0 , y y0 ,

(т.

е. в т. M0 x0 ,

y0 ),

если для ε 0 ρ 0 : для т. M x, y

из -окрестности т. M 0

выполняется неравенство

f x, y z0

<ε.

Эти определения предела функции в точке эквивалентны.

Примеры. Вычислить пределы.

1.4.

lim x2 xy y2 x y lim x2 xy y2 0

lim

x3 y3

.

x y

x 0

x 0

x y

x 0

y 0

y 0

y 0

1.5. lim

tg xy

. Умножим и разделим эту функцию на y 0 :

x 0

x

y 3

lim

tg xy

lim

tg xy y

3 1 3 , где lim

tg xy

1.

x 0

x

x 0

xy

x 0

xy

y 3

y 3

y 3

1.6.

lim

x3

y

1 2

1

.

2

2

1 4

x 1

y

5

y 2 x

Определение 1.4. Функция

u f x1,

, xn называется непре-

рывной в т. M

0

x0

, x0

,

, x0 ,

если выполняются следующие три

1

2

n

условия:

1) f M определена в т. M 0

и некоторой ее окрестности;

2) существует

lim

f M ;

M M 0