Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения

Решение. Это уравнение не содержит независимую переменную

разделяющимися переменными. Далее разделяем переменные и ин-

Возвращаясь к функции у, получаем y C1 y . Разделяя пере-

менные и интегрируя, получаем

dyy C1dx, ln y C1x C2 , y eC1x C2 .

Находим 2 C1 1 C1 2. 1 eC1 0 C2 C2 0. Итак, частное решение y e2 x .

30

Задание 2.7. Решить уравнения.

2.7.1.y 2y 3 2y 2 0. Ответ. 0,5ln 2y 3 C1x C2.

2.7.2.y y y 2 y 3 , y 1 1, y 1 1.

Ответ. y 2ln y x.

2.6.Линейные однородные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами

Пример 2.9. Найти общее решение уравнения yII 5y 4y 0 . Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид k2 5k 4 0 . Его корни вещественные и различные k1 1, k2 4 . Следовательно, общее решение исходного

уравнения имеет вид y C1ex C2e4 x .

Пример 2.10. Найти общее решение уравнения yII 6y 9 0 .

Решение. Составим характеристическое уравнение k2 6k 9 0 . Оно имеет кратный корень k 3 . Следовательно, общее решение имеет вид y e3x C1 C2 x .

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид k2 2k 2 0 . Так как дискриминант этого уравнения равен

31

(-4), то уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1 1 i, k2 1 i . Следовательно, общее решение исходного уравнения зада-

Значит, частное решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям, имеет вид y e2 x e x .

Задание 2.8. Найти общее решение дифференциального уравнения.

2.8.1.y 4y 8y 0. Ответ. y e2x C1 cos 2x C2 sin 2x .

2.8.2.y 9y 0. Ответ. y C1 cos3x C2 sin3x.

2.8.3.y 2y 0. Ответ. y C1 C2e 2 x .

2.8.4.y 6y 13y 0. Ответ. y e 3x C1 cos 2x C2 sin 2x .

2.8.5.y 2y 2y 0. Ответ. y e x C1 cos x C2 sin x .

2.8.6.y 25y 0. Ответ. y C1 cos5x C2 sin5x.

2.8.7.y 4y 0. Ответ. y C1 C2e4 x .

2.8.8.y 2y 10y 0. Ответ. y ex C1 cos3x C2 sin3x .

2.8.9.y 2y 8y 0. Ответ. y C1e4 x C2e 2 x.

2.8.10.y 16y 0. Ответ. y C1 cos 4x C2 sin 4x.

32

Задание 2.9. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

33

2.7.Линейные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Пример 2.13. Решить уравнение yII y x ex . Решение. Общее решение будем искать в виде

y y y* ,

где y общее решение соответствующего однородного уравнения (ищется с помощью характеристического уравнения), y* частное

решение исходного уравнения (ищется по специальной правой части уравнения).

уравнении, Pl x и Ql x полные многочлены от х степени l с неопределенными коэффициентами, где l max m, n .

Составим характеристическое уравнение k 2 1 0 . Оно имеет корни k1 i, k2 i , поэтому общее решение соответствующего од-

нородного уравнения имеет вид y C1 cos x C2 sin x. Частное решение исходного уравнения будем искать в виде

определенными коэффициентами, поскольку f x x ex и х одно-

член первой степени.

Для нахождения неопределенных коэффициентов А и В, подставим частное решение y* в исходное уравнение. Для этого найдем

y* Aex Ax B ex , y* Aex Aex Ax B ex 2Aex Ax B ex .

Подставляя в уравнение, получаем:

y y 2Aex Ax B ex Ax B ex xex 2A 2Ax 2B x.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части равенства, получаем:

34

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

Пример 2.14. Решить уравнение yII y 2y cos x 3sin x . Решение. Общее решение ищем в виде y y y* . Для нахожде-

Po x A, Qo x B .

Подставим y* в исходное уравнение. Имеем

y* Asin x B cos x, y* Acos x Bsin x.

Следовательно, получаем

Acos x Bsin x Asin x Bcos x 2Asin x 2Bcos x cos x 3sin x.

удовлетворяющее начальным условиям: y 0 y 0 0 .

Решение. Найдем общее решение y y y* данного уравнения.

35

Характеристическое уравнение имеет вид k 2 1 0 и имеет два

Частное решение, удовлетворяющее заданным условиям имеет вид y 32 sin x 32 x cos x.

Задание 2.10. Решить уравнения:

2.10.1. y 12y 40y 2e6 x . Ответ. y e6 x C1 cos 2x C2 sin 2x 12 e6 x .

36

Задание 2.11. Найти частное решение ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям.