Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

1.12.4.z x2 2xy 3y2 4x 2y 5; M 7, 4 .

1.12.5.u x2 y y2 z z2 x; M 1, 1, 1 .

1.12.6.u x2 3y2 4z2 xy 2yz 5xz; M 1, 0, 1 .

1.12.7.z ln x2 y2 , M 1, 1 .

1.12.8.u x3 y3 z3; M 1, 1,1 .

1.12.9.z ln x 1y , M 1, 3 .

1.12.10.u x3 y3 z3 6xyz; M 2, 1, 3 .

Задание 1.13. Найти производную функции в точке М по направ-

лению вектора MN .

1.13.1.z x2 xy y2; M 1, 1 , N 7, 9 . Ответ. 75 .

1.13.2.u xyz; M 5, 1, 2 , N 9, 4, 14 . Ответ. 1398 .

1.13.3.u xy yz 1; M 0, 2, 1 , MN 12, 3, 4 . Ответ. 1.

1.13.4.z x2 y 3xy xy2; M 1, 2 , N 1, 0 .

1.13.5.z x4 y4 x2 2xy y2; M 1, 1 , N 1, 1 .

1.13.6.u xy xz yz; M 2, 3, 4 , N 3, 10, 6 .

1.13.7.u x3 y3 z3; M 1, 1, 1 , N 0, 2, 3 .

1.13.8.z x3 3xy y3; M 0, 1 , N 1, 1 .

1.13.9.u x2 y2 4yz; M 0, 1, 2 , N 2, 1, 1 .

1.13.10. u 5x2 yz 7xy2 z 5xyz2; M 1, 1, 0 , N 9, 1, 8 .

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2.1. Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными

Пример 2.1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy y2 1.

Решение. x dydx y2 1. Разделяем переменные:

xdy y2 1 dx;

y2 1

Интегрируем:

; arctgy ln

2 1

Задание 2.1. Решить уравнения.

sin x. Ответ.

y cos x C .

2.1.1. y

2.1.2. x 2 dy y 1 dx 0. Ответ.

y C x 2 1.

2xy

C x

2 .

2.1.3. y

2 x2 . Ответ.

2.1.4.y x3 e x4 ; y 0 1. Ответ. y 14 e x4 C; y 14 e x4 54 .

2.1.5.x x2 y dx y 1 x2 dy 0.

Ответ. y 1 y2 C 1 x2 0 .

2.1.6. y	y 3			ln	x	C .
		. Ответ. 2	y 3

	x

2.1.7.xydy ln2 xdx 0. Ответ. 3y2 2ln3 x C.

2.1.8.ex ydx ydy 0. Ответ. y ex e y y 1 C.

2.1.9.2 y 1 x2 dy xdx 0; y 0 2.

Ответ. y2 1 x2 C; y2 1 x2 1.

2xy

y 0 12. Ответ.

y x

4 C;

y 3x

2.1.10. y

4 x2 ;

2.1.11. xy2 x dx x2 y y dy 0. Ответ.

x2 1 C 1.

2.1.12.x1 y2 dy y 1 x2 dy 0. Ответ. 1 y2 1 x2 C.

2.1.13.y ln ydx xdy 0. Ответ.

2.1.14.ydx 1 x2 dy 0, y 1 1. Ответ. 3y2 2ln3 x C.

2.2.Однородные дифференциальные уравнения I порядка

Пример 2.2. Решить решение 2xyy y2 4x2 .

y2 4x2

2 4

Решение. 2xyy y2 4x2

2 x

2xy

Данное

уравнение

является

однородным.

Сделаем замену

u x

y xu.

Тогда

y x u xu

u xu .

Получаем

u2 4

u 4

du u2 4

u xu

u x dx

dx.

Интегрируем

2udu

d (u2 )

d (u2 4)

u2 4

C x u2

4 .

u2 4

Так как u

y2 4x2 Cx 0

, то

C x

4 или

об-

щий интеграл.

Задание 2.2. Проинтегрировать уравнения.

2.2.1.x2 y2 dx 2xydy 0. Ответ. x2 y2 Cx 0 .

2.2.2.x y dx x y dy 0. Ответ. x2 2xy y2 C .

2.2.3.x2 y2 dx 2xydy 0. Ответ. x2 y2 Cx .

	2	4xy 4x	2		0. Ответ.	y	4x
2.2.4. y		4xy 4x		y	0. Ответ.	y	ln x C	. .

2.2.5.2xydx y x2 dy 0. Ответ. y2 x2 C y .

2.2.6.xy y xtg xy 0. Ответ. x sin xy C .

2.2.7.y xy xy . Ответ. y2 x3 .

2.2.8. xy

sin

y. Ответ. ctg x ln x .

2.2.9. xy2dy y3 x3

dx. Ответ. y3 3x3 ln

C x

2.2.10. xy y ln

y 1 e3. Ответ. y xeCx 1;

y xe2x 1 .

2.2.11.x y e x y. Ответ. e xy ln Cx .

2.2.12.xy y x2 y2 , y 1 2. Ответ. y x sin ln x C .

2.3.Линейные дифференциальные уравнения I порядка

Пример 2.3. Решить уравнение y x y x2 .

Решение. Разделим уравнение на x , получаем y xy x . Здесь

1x p x ; x q x .Значит, данное уравнение является линейным

p x y

q x ).

(общий вид линейного уравнения y

Делаем

замену

y u v , тогда

y u v

uv . Подставляем

уравнение y

x ; получаем u v

xdv

v x частное решение.

, получаем

Подставляем v x в u xv v xu v x

x u

u x

C общее решение. Итак,

y x C x общее

или u 1,

решение.

Задание 2.3. Решить уравнения.

2.3.1.y 3xy 4. Ответ. y x13 x4 C .

2.3.2.2xy x2 y ln x. Ответ. y lnxx 1x C.

2.3.3.y ctgx y 2. Ответ. y 2 C cos x.

2.3.4.y y x 2. Ответ. y x 1 Ce x.

2.3.5.y 2 y e2x. Ответ. y x C e2x.

2.3.6.y cos x y sin x 1 0. Ответ. y sin x C cos x.

	y	e x	y 0 2. Ответ.	y e	x	arctgx 2 .
		1 x2 ;
2.3.7. y

2.3.8.y 2xy 2xex2 . Ответ. y x2 C ex2 .

2.3.9.xy y cos x. Ответ. y 1x C sin x .

		2x			x2 C
2.3.10. y	ytgx cos x . Ответ.			y cos x .

3x 4y. Ответ. y

2.3.11. xy

;

. .

3x3 C

3x3 1

2.4. Уравнение Бернулли

x y

Пример 2.4. Решить уравнение y

, значит, урав-

Решение. В уравнении присутствуют y , y и

нение можно назвать уравнением Бернулли. Проверим. Общий вид

уравнения

Бернулли

p x y q x y

нашем

уравнении

p x

, q x x3; m 2 .

Сделаем замену y uv,

u v

, тогда

uv x

u v uv

u v

v x

0 ,

Выберем функцию

так,

чтобы

получаем

, т.е.

u v x

u v x u

Из первого уравнения найдем v : dvdx 4x v, dvv 4 dxx ,

ln v 4ln x ln x 4 v 1 . x4

3 2

Подставляем v

во второе уравнение u v

x u v

x3u2

x4 x3

dx.

Интегрируем уравнение:

u 1

u 2du

Получаем u

;

y u v

x4 ln

Задание 2.4. Найти общее решение или общий интеграл данного уравнения.

. Ответ. y x ln

2.4.1. y

C 3x .

y e

2.4.2. y

. Ответ.

2.4.3. x

y xy3. Ответ.

Cx2

2.4.4.y 2x y x2 cos x y2. Ответ. 1y x2 sin x C .

2.4.5.xy y y2x2 ln x. Ответ. xy1 C x 1 ln x .

		y		2		1	x2 C

2.4.6. y	x		xy		. Ответ. y		3 x .

2.4.7. xy y y2

2x3 x . Ответ.

Cx x3 x ln

4y x

y. Ответ.

y x

x C

; y 0 .

2.4.8. xy

y xy

. Ответ. y x C ln

2.4.9. xy

2 y

2.4.10. 3xy

. Ответ.

ln x. Ответ.

1 Cx.

2.4.11. xy y y

2.5.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Пример 2.5. Найти частное решение уравнения yIV cos2 x ,

удовлетворяющее начальным условиям: y 0	1			0 0,

	32	,	y

y 0 18 , y 0 0.

Решение. Найдем общее решение последовательным интегрированием данного уравнения:

		cos							2							1		1 cos 2x dx													1						1
										x dx																								x					sin 2x C1.
y										x dx						2														2				x			4		sin 2x C1.
																2														2							4
		1										1														x2			1
y								x							sin 2x C1 dx																		cos 2x C1x C2.
y								x				4			sin 2x C1 dx											4			8				cos 2x C1x C2.
		2										4														4			8
					x		2				1																			x		3			1						x	2
					x						1		cos 2x C1x C2 dx																	x					1			sin 2x C1			x		C2 x C3.
y
y
					4						8																		12						16						2
						3					1											x	2
y				x							1			sin 2x C1								x		C2 x C3									dx
y														sin 2x C1										C2 x C3									dx
		12								16											2
			x4								1				cos 2x					C1x3					C2 x2			C x C												.
															cos 2x													C x C												.
		48									32										6					2								3					4
		48									32										6					2
	Воспользуемся начальными условиями:
		xo 0, yo													1											1						0.

															32		, yo 0, yo									8	, yo
															32											8
0 C C 0;																			1				1	C C												1	;			0 C C 0;
0 C C 0;																								C C													;			0 C C 0;
		1								1								8			8			2								2			4					3			3
																		8			8														4

321 321 C4 C4 0.

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

y	x4	1	cos 2x	x2	.

48		32	8

Задание 2.5. Решить уравнения.

	x sin x,	y 0 0,		0 0,		0 2.
2.5.1. y			y		y

Ответ. y x cos x 3sin x x2 2x.

2.5.2.y sin4 x sin 2x. Ответ. y ln sin x C1x2 C2 x C3.

2.5.3.y 2sin x cos2 x sin3 x. Ответ. y 13 sin3 x C1x C2.

x e

y 0

2.5.4. y

0 2,

0 2

Ответ.

y x 3 e x

3x2

C1x2

4x. Ответ.

C2 x C3.

2.5.5. y

125

x ln x,

y 1

9 .

2.5.6. y

Ответ.

y ln x

5x3

Пример 2.6. Найти решение уравнения xy

y ln

Решение. Это уравнение не содержит искомой функции y x .

p ,

где p p x ,

преобразуем уравнение к виду

Полагая y

Отсюда

имеем

однородное

x p p ln

уравнение первого порядка.

u ,

p u x,

x u , получим уравне-

Полагая x

откуда

u 1 ln u 0 .

dx x

ние u x u u ln u или

Разделяя переменные, получим

u 1 ln u

Интегрируя

, получим

u 1

ln u

ln u 1

или ln u 1 C x , откуда u eC1x 1 .

Возвращаясь к функции y , приходим к уравнению y p x eC1x 1 .

Следовательно,

y x eC1x 1dx

x eC1x 1

eC1x 1

C2 .

Задание 2.6. Решить уравнения.

x 1 ,

2 1.

1 x

2.6.1. y

y 2 1, y

Ответ.

3x4

4x3

36x2 72x 8

2.6.2. 1 x

Ответ.

y arcsin x 2 C arcsin x C .

x. Ответ. y

x 1 2

C1e

C2.

2.6.3. y

2.6.4. 1 x

Ответ.

y 1 C

2 ln 1 C x

C 1x C .

y C1x C1 cos x C2.

2.6.5. 1 sin x y

cos x y . Ответ.

C1x

C1 sin 2x

Ответ.

C2.

2.6.6. tgx y

2 y .

Пример 2.7. Решить уравнение 1 y

yy .

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.11.20252.36 Mб0Финансы предприятия.pdf
#
30.11.20252.35 Mб0Формирование архитектурно-ландшафтных композиций.pdf
#
30.11.20253.19 Mб0Формирование навыков креативного мышления у студентов при изучении философии, логики.pdf
#
30.11.20258.58 Mб5Французский язык. Часть 1.pdf
#
30.11.20255.35 Mб2Фрезерные работы.pdf
#
30.11.20252.65 Mб0Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения.pdf
#
30.11.20251.68 Mб0Функции нескольких переменных.pdf
#
30.11.20252.85 Mб0Функциональное и логическое программирование.pdf
#
30.11.20259.48 Mб0Характеристики дорожного движения.pdf
#
30.11.20253.33 Mб0Химия для курсантов военно-технического профиля.pdf
#
30.11.20255.03 Mб0Химия для студентов специальности 1-57 02 01 Технология и оборудование ювелирного производства.pdf