Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5248 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
30.11.2025
Размер:
2.65 Mб
Скачать
☆

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 2»

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания и задания к выполнению самостоятельных работ

Минск

БНТУ

2 0 1 5

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 2»

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания и задания к выполнению самостоятельных работ для студентов 1-го курса

Минск

БНТУ

2 0 1 5

УДК 51(075.8) ББК 22.1я7

Ф94

С о с т а в и т е л и :

Е.В. Емеличева, С.Ю. Лошкарева, Л.Д. Матвеева, О.Б. Савченко

Р е ц е н з е н т ы :

канд. физ.-мат. наук, доцент И.Н. Катковская; канд. физ.-мат. наук, доцент О.Р. Габасова

Издание предназначено для

студентов инженерно-педагогических

и инженерных специальностей 1

курса и содержит подробные решения

типовых примеров.

Задачи для самостоятельного решения составлены так, чтобы студенты могли полностью усвоить изучаемый материал и справиться самостоятельно с подобными задачами.

© Белорусский национальный технический университет, 2015

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.............................

5

Задание 1.1. .........................................................................................

5

1.1. Частные производные функции нескольких переменных ..........................

5

Задание 1.2 ..........................................................................................

6

Задание 1.3. .........................................................................................

6

Задание 1.4. .........................................................................................

7

1.2. Частные производные высших порядков.....................................................

8

Задание 1.5. .........................................................................................

8

Задание 1.6 ..........................................................................................

9

1.3. Производная сложной функции..................................................................

10

Задание 1.7 ........................................................................................

10

1.4. Производная неявно заданной функции ....................................................

11

Задание 1.8. .......................................................................................

12

1.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности .....................................

14

Задание 1.9. .......................................................................................

14

Задание 1.10. .....................................................................................

16

1.6. Экстремум функции двух переменных ......................................................

17

Задание 1.11. .....................................................................................

18

1.7. Производная по направлению. Градиент ...................................................

18

Задание 1.12. .....................................................................................

19

Задание 1.13. .....................................................................................

20

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ..................................

21

2.1.Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися

переменными ...............................................................................................

21

Задание 2.1. .......................................................................................

21

2.2. Однородные дифференциальные уравнения I порядка ............................

22

Задание 2.2. .......................................................................................

23

2.3. Линейные дифференциальные уравнения I порядка ................................

23

Задание 2.3. .......................................................................................

24

2.4. Уравнение Бернулли ....................................................................................

25

Задание 2.4. .......................................................................................

26

2.5. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие

понижение порядка .....................................................................................

27

Задание 2.5 ........................................................................................

28

Задание 2.6 ........................................................................................

29

3

Задание 2.7 ........................................................................................

31

2.6. Линейные однородные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами31

Задание 2.8 ........................................................................................

32

Задание 2.9 ........................................................................................

33

2.7. Линейные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами со

специальной правой частью .......................................................................

34

Задание 2.10. .....................................................................................

36

Задание 2.11. .....................................................................................

37

2.8. Системы линейных ДУ II порядка с постоянными коэффициентами.....

37

Задание 2.12. .....................................................................................

38

Литература ........................................................................................

40

4

1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Задание 1.1. Найти и схематически изобразить область опреде-

ления функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.9. z ln xy .

 

 

 

 

1.1.1. z

 

4 x

2

y

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.2. z

 

 

x

2

y

2

4.

1.1.10. z ln xy 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.3. z

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

.

1.1.11. z ln x y 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.4. z

 

 

 

 

5x

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2 9

 

 

 

 

1.1.12. z

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

9

 

1.1.5. z

 

3x 5y

.

 

 

 

 

 

 

 

1.1.13. z arccos y x .

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.6. z

 

 

 

2xy

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.14. z arcsin 2x y .

 

 

 

 

2x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.15. z

100 25x2 4y2 .

1.1.7. z

 

 

y2 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.8. z

y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1. Частные производные функции нескольких переменных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

z

 

Пример

1.1.

Найти

 

 

 

 

частные производные

x

; y

функции

z 5x cos 2x y .

Решение. При вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные рассматриваются как константы.

z

5 2sin 2x y ;

z

sin 2x y .

x

 

y

 

5

Задание 1.2. Найти частные производные первого порядка для указанных функций.

1.2.1. z 5x2 y3 2xy 3.

1.2.2. z x4 3xy 8y x.

1.2.3. z 5x y . 2 y 3x

1.2.4. z x2 5y . xy 1

1.2.5. z e2x 4 y.

1.2.6.z ln xy 2x .

1.2.7.z arctg xy 2 .

1.2.8.z x y.

1.2.9.u 5x2 3xz 4y2z3.

1.2.10.u xyz yxz.

Пример 1.2. Найти значение частных производных функции

 

 

z 3x

y

в точке M 1; 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

z 3

 

 

 

z

 

 

 

 

 

Решение.Найдем частные производные

y

;

 

1

.

x2

y

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

Подставив x 1; y 2 получим

z

 

3

y

5; z

 

 

 

1

 

1.

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

12

 

y

 

M

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1.3. Найти значение частных производных для указан-

ных функций в заданной точке M xo; yo .

 

 

 

 

 

 

1.3.1. z x2 y3 4xy; M 2; 1 . Ответ. z 8;

z

11.

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

1.3.2. z

5x 1

;

M 0; 3 . Ответ. z 5; z

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

x

y

 

 

 

 

 

 

1.3.3. z y5 x4 3x2 y; M 1; 2 . Ответ.

z

16;

z

77.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

1

;

M 3; 1 . Ответ. z

 

z

 

 

 

 

 

1.3.4. z

 

y

2;

 

1

.

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

x 4

x

 

 

2

 

 

 

6

1.3.5. z cos x 2 y ;

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

M

 

 

;

. Ответ.

x

 

 

;

y

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

6

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1.3.6. z sin xy ;

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

M 1;

 

 

. Ответ.

x

 

 

 

;

y

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1.3.7. z sin x cos y cos x sin y;

 

 

0;

 

M

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

Ответ.

z

 

1

;

z

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.8. u x2 y y2z x2z,

M 1; 1;

1 .

 

 

Ответ.

u

0;

u

3; u 0.

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

1.3.9. u ln 3x y z2 ;

M 1;

2;

1 .

 

Ответ.

u

1;

u

 

1

; u

 

2

.

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

z

 

3

 

 

 

Пример 1.3. Найти полный дифференциал функции u

xy 2 y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

Решение. Применим формулу du u dx

u dy

u dz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

z

Так как u

 

 

y

;

u

 

x 2

;

u

 

xy 2y

, то

 

 

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

x

 

 

z

 

z

 

 

z2

 

 

 

 

du

y

dx

x 2

dy

xy 2 y

dz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

z

 

 

z2

 

 

 

 

Задание 1.4. Найти полный дифференциал функций.

1.4.1. z e2x y3 .

1.4.3. z ln x3 2 y2 .

 

x

 

1.4.2. z ctg

.

 

 

 

y

1.4.4. z sin

 

 

.

 

x y

7

1.4.5. z arctg 2xy x .

1.4.6. z cos xy3 .

 

 

 

 

x2 y2

1.4.8. u

xy

 

yz

 

1.4.7. z

 

.

 

 

 

 

.

 

 

 

 

z

 

x

 

5x 2 y

 

1.4.9. u ln xy 5z .

1.4.10. u zx

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

1.2. Частные производные высших порядков

 

Пример 1.4.

Найти значение

производной

 

 

3z

 

функции

 

x y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z e

y

1; 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в точке M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Последовательно вычислим частные производные

z

 

 

 

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

y

 

y

 

y

 

1

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

e x

 

 

e x

 

 

e x

 

 

 

x y

 

x

y

 

 

x2

x3

x2

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

3z

 

 

 

 

 

 

 

y

 

1

y

 

 

1

 

 

 

 

 

y

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y2

x

 

 

 

x2

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение производной

 

 

3z

определим, подставив x 1, y

 

 

 

x y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3z

 

 

 

 

eo 1 0 1 eo 1 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x12 ;

0

Задание 1.5. Найти частные производные второго порядка

2z

;

2z

;

2z

функции z f x, y .

x2

y2

x y

 

 

 

8

1.5.1. z ln 4x2 2xy . 1.5.3. z arcsin x 2y .

1.5.5. z x2 . y3

1.5.7.z ln xy 1 .

1.5.9. z arc tg 3y x .

1.5.11. z exy2 .

1.5.13. z x2 1. y 2

 

y

2

 

1.5.15. z tg

 

.

 

 

 

x

 

 

 

1.5.2. z cos 5x 4 y3 .

1.5.4.z ex3 2 y2 .

1.5.6.z 4x2 5xy 6y3 2.

1.5.8. z sin x y .

1.5.10. z c tg 3y xy . 1.5.12. z 5xy3 4x2 y 1. 1.5.14. z sin x cos y.

Задание 1.6. Проверить, удовлетворяет ли заданная функция указанному уравнению.

 

sin x 2 y

; 4

2z

 

2z

0.

Ответ. Удовлетворяет.

1.6.1. z e

 

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6.2. z

2x 3y

; x

 

z

y

z

z.

Ответ. Удовлетворяет.

x2 y2

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

1.6.3. z exy ; x2

2z

 

y2

2z

0. Ответ. Не удовлетворяет.

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6.4. z arctg

x y

;

 

 

 

2z

 

0. Ответ. Удовлетворяет.

1 xy

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6.5. u ln x2 y3 z2 ;

3x

u 2 y u

3z u 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

z

Ответ. Удовлетворяет.

9

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности