Физика
.pdf
Второй закон Ньютона: ускорение материальной точки прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки:
a mF .
Если на материальную точку одновременно действует несколько сил, то
|
n F |
n |
|
a |
i |
ai . |
|
|
i 1 m |
i 1 |
|
Второй закон Ньютона можно сформулировать и таким образом: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе:
ddtp F .
Силы, рассматриваемые в механике: а) сила упругости
F kx ,
где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютная деформация; б) сила тяжести
P mg ;
в) сила гравитационного взаимодействия
F G m1m2 , r2
где G – гравитационная постоянная;
m1 и m2 – массы взаимодействующих тел;
21
r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);
г) сила трения (скольжения)
F f N ,
где f – коэффициент трения;
N – сила нормального давления.
Жесткость системы, состоящей из двух пружин с жесткостями k1
иk2:
1)при параллельном соединении
k= k1 + k2;
2)при последовательном соединении
1 |
|
1 |
|
1 |
. |
k |
|
|
|||
|
k1 |
k2 |
|||
Систему взаимодействующих тел называют замкнутой, если на нее извне не действуют другие тела. Для такой системы выполняется закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы есть величина постоянная, т.е.
p n pi const .
i 1
Для двух тел закон сохранения импульса имеет вид m1v1 m2v2 m1u1 m2u2 ,
где v1 и v2 – скорости тел в начальный момент времени;
u1 и u2 – скорости тех же тел в конечный момент времени.
Работа, совершаемая силой F при элементарном перемещении r , равна
22
|
|
|
|
A F |
r F |
S cosα, |
где S |
|
r |
|
– элементарный путь; |
||
|
|
|||||
– угол между векторами F и |
r . |
|||||
Работа переменной силы F на пути S из точки 1 в точку 2 равна
2
A F cos α dS.
1
Изменение полной энергии системы равно работе, совершенной внешними силами, приложенными к системе:
W2 W1 Aвнеш .
Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно со скоростью v:
W |
mv2 |
или W |
|
p2 |
. |
|
|||||
к |
2 |
к |
|
2m |
|
Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:
A Wк2 Wк1 .
Силы, действующие на материальную точку или тело, называются консервативными, если работа этих сил при перемещении точки (тела) зависит только от начального и конечного положений точки (тела) в пространстве и не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло.
Если на систему материальных точек действуют консервативные силы, то вводят понятие потенциальной энергии. Работа А12, совершаемая консервативными силами, полностью определяется начальной и конечной конфигурацией системы:
A12 Wп1 Wп2 ,
23
где Wпi – потенциальная энергия системы в начальном (1) и конеч-
ном (2) положении системы. Потенциальная энергия:
а) упругодеформированной пружины
Wп 12 kx2 ,
где k – жесткость пружины;
х – абсолютная деформация; б) гравитационного взаимодействия
Wп G mr1m2 ,
где G – гравитационная постоянная;
m1 и m2 – массы взаимодействующих тел;
r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);
в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:
Wп m g h ,
где g – ускорение свободного падения;
h – высота тела над уровнем, условно принятым за нулевой (формула справедлива при условии h << R, где R – радиус Земли).
Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия консервативной системы не изменяется с течением времени, т.е.
W Wп Wк const .
Консервативной системой называют систему, в которой действуют только консервативные силы.
Закон сохранения механической энергии, в частности, справедлив для замкнутой системы, т.е. системы, на которую внешние силы не действуют, а все внутренние силы являются консервативными.
24
Момент М силы F относительно центра вращения
M r, F ,
где r – радиус-вектор, проведенный из центра вращения в точку приложения силы.
Момент импульса материальной точки относительно центра вращения
L r, mv ,
где mv – импульс этой точки,
r – ее радиус-вектор.
Момент инерции материальнойточкиотносительно оси вращения
I mr2 ,
где m – масса точки;
r – расстояние ее от оси вращения.
Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции материальных точек, составляющих это тело:
n
I ri2 mi .
i 1
Моменты инерции некоторых однородных тел вращения относительно их геометрических осей вращения:
тонкостенный цилиндр I mr2 ;
сплошной цилиндр I mr22 ;
шар I 2mr5 2 .
Момент инерции однородного тонкого стержня длиной относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине:
25
I m 2 . 12
Момент инерции I тела относительно любой оси вращения и момент инерции Io тела относительно оси, параллельной данной и
проходящей через центр инерции тела, связаны соотношением (теорема Штейнера)
I Io md2 ,
где m – масса тела;
d – расстояние между осями.
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно точки вращения
Mi Iε,
i
где Mi – результирующий момент всех внешних сил, приложен-
i
ных к телу,– его угловое ускорение.
Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси Z
Mz Izε,
где Mz – результирующий момент внешних сил, действующих на
тело, относительно оси Z;– угловое ускорение;
Iz – момент инерции относительно оси вращения Z.
Момент импульса симметричного твердого тела относительно центра вращения равен произведению момента инерции тела на угловую скорость:
L Iω.
26
Момент импульса системы тел есть векторная сумма моментов импульсов всех тел системы:
L Li Iiωi .
Закон сохранения момента импульса относительно точки О: если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе,
равен нулю ( М = 0), то момент импульса системы есть величина постоянная, т.е.
L const .
Проекция на ось Z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z:
Lz Izω,
где – угловая скорость тела.
Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси Z:
Izω const ,
где Iz – момент инерции системы тел относительно оси Z;
– угловая скорость вращения тел системы вокруг оси Z. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси Z:
W |
|
1 I |
ω2 |
или |
W |
L2z |
. |
|
|||||||
к |
|
2 z |
|
|
к |
2Iz |
|
При повороте тела относительно оси Z на угол d совершается работа
dA Mzd .
27
Смещение частицы от положения равновесия, ее скорость и ускорение при гармонических колебаниях определяется уравнениями
x Asin ωt o , v x ωAcos ωt o , a v x ω2Asin ωt o ω2x ,
где А – амплитуда колебания;
– циклическая частота;
о – начальная фаза.
Циклическая частота , период колебаний Т и частота связаны соотношениями
ω 2Тπ 2πν.
При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание
того же периода x Asin ωt , амплитуда которого А и начальная фаза определяются уравнениями
A 
A12 A22 2A1A2cos 2 1 ;
tg A1sin 1 A2sin 2 , A1cos 1 A2cos 2
где А1 и А2 – амплитуды складываемых колебаний;1 и 2 – их начальные фазы.
Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению:
F ma mω2ox kx ,
где k mω2o – коэффициент квазиупругой силы, определяемый силой, вызывающей смещение х, равное единице.
28
При отсутствии сопротивления среды циклическая частота ωо
свободных гармонических колебаний, называемая собственной циклической частотой, и период Т равны
ωo 
mk , T 2π
mk .
Период колебаний математического маятника длиной равен
T 2π
g .
Период колебаний физического маятника
T 2π
mgdI ,
где I – момент инерции маятника относительно оси качания; d – расстояние от оси до его центра тяжести.
Полная энергия тела, совершающего свободные незатухающие гармонические колебания, постоянна и равна
W mω2A2 . 2
Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии силы сопротивления Fсопр, пропорциональной скорости ( Fсопр rv , где
r – коэффициент сопротивления), имеет вид
x Aoe βtsin ωt o .
Здесь Aoe βt – убывающая во времени амплитуда смещения;– коэффициент затухания; – циклическая частота; Ао , о – начальная амплитуда и фаза (определяются из начальных условий).
29
Величины и выражаются через параметры системы r, m, k согласно формулам
β 2mr ,
ω ωо2 β2 |
k |
|
r2 |
. |
|
m |
4m2 |
||||
|
|
|
Логарифмический декремент затухания
λln A1 βT ,
A2
где А1 и А2 – амплитуды двух последовательных колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний
A |
h |
, |
ωo2 ω2 2 4β2ω2 |
где h есть отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела;о – собственная циклическая частота;– циклическая частота вынуждающей силы.
Резонансная циклическая частота равна
ωрез 
ω2о 2β2 .
Статистическая физика. Термодинамика
Идеальным газом называют газ, молекулы которого имеют пренебрежимо малый собственный объем и не взаимодействуют друг с другом на расстоянии.
Нормальные условия: ро = 1,013 105 Па, То = 243,15 К.
30