Физика. В 4 ч. Ч. 4. Колебания и волны

1.2.25. Если к невесомой пружине подвесить груз массой m = 300 г, то пружина удлиняется на l = 0,15 м. Пружину с грузом растягивают еще на l1 = 0,1 м от положения равновесия и груз отпускают. Определите:

а) жесткость k пружины;

б) амплитуду А возникших колебаний;

в) максимальную скорость max груза при колебаниях; г) максимальное ускорение аmax;

д) период Т, частоту v и циклическую частоту 0 колебаний; е) зависимость смещения х от времени t;

ж) скорость груза в момент времени t1 = 0,15 с.

Решение:

а) Подвешенный к пружине груз (тело) растягивает пружину на l. При этом сила тяжести mg становится равной по

модулю силе упругости Fупр (положение II на рисунке). Со-

гласно закону Гука Fупр = k l. Тогда k l = mg и жесткость пру-

жины k mg или k = 20 Н/м.

l

б) Амплитуда А колебаний равна величине l1, так как после растяжения пружины на l1 груз отпускают, не сообщая ему начальной кинетической энергии: А = l1 = 0,1 м.

в) Максимальную скорость колеблющегося тела можно определить из условия, что при гармонических колебаниях полная энергия колебаний остается постоянной, равной максимальной кинетической или максимальной потенциальной

Второй способ определения максимальной скорости следующий: скорость колеблющегося груза определяется первой производной от смещения груза по времени. Уравнение движения груза имеет вид:

х = Acos 0t (3) x = = – 0Asin 0t (4),

ская частота колебаний. Из (4) модуль максимальной скорости груза

50

max 20 0,1 0,82 (м/с). 0,3

г) Максимальное ускорение колеблющегося тела также можно определить двумя способами.

Максимальная сила, возвращающая тело в положение равновесия, согласно второму закону Ньютона,

Второй способ сводится к определению ускорения как второй производной смещения или первой производной скорости тела по времени: а = = х . С учетом выражений (3) и (4) получаем:

е) Зависимость смещения х от времени в данном случае, когда тело выведено из положении равновесия, будет иметь вид:

ж) Скорость груза в момент времени t1 = 0,15 с определим из (4):

8,16 0,1sin8,16 0,15 0,816sin(1,224) 0,28 (м/с).

Ответ: 20 Н/м; 0,1 м; 0,82 м/с; 6,7 м/с2; х = 0,1cos8,16t (м); –0,28 м/с.

1.2.26. Тело, подвешенное на цилиндрической пружине, растягивает ее на величину х0 = 2,5 см. Затем тело смещают из положения равновесия вниз по вертикали и отпускают. Определите период возникших колебаний тела.

Решение:

Когда тело совершает колебания под действием силы упругости Fупр = –kx,

то период его колебаний можно определить по формуле T 2 m . В данном k

51

случае на тело действуют силы упругости и тяжести mg . Определим влияние силы тяжести на колебания тела.

Если тело неподвижно (состояние I на рисунке), то равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю. В проекции на

ось Ох имеем mg – Fупр = 0 или mg – kx0 = 0 (1) mg = kx0. (2)

Сместив тело из положения равновесия на х (состояние II на рисунке), пружина растянется на величину (х0 + х). В этом положении равнодействующая сил тяжести и упругости:

С учетом (2) выражение (3) примет вид

F = –kx, (4)

а это значит, что равнодействующая сил тяжести mg и упругости Fупр пропор-

циональна растяжению пружины и противоположна ему по направлению, если только это растяжение отсчитывать от положения равновесия тела, подвешенного на пружине. Таким образом, и при наличии силы тяжести тело будет совершать гармонические колебания, период которых определится по формуле

k

С учетом (2): m x0 , формулу для периода колебаний (5) запишем в виде k g

Ответ: 0,3 с.

1.2.27. Шарик, подвешенный на невесомой упругой пружине, совершает колебания с периодом Т и амплитудой А по вертикали. Определите модуль максимального ускорения аmax шарика, модуль скорости шарика в моменты, когда модуль его ускорения равен 0,75аmax.

Решение:

При гармонических колебаниях по закону х = Acos 0t скорость колеблюще-

Для нахождения скорости колеблющегося тела в моменты, когда модуль ускорения а = 0,75аmax, преобразуем (1) и (2) к виду:

52

2T

1.2.28. К пружине поочередно подвешивают два груза. Период колебаний первого груза Т1 = 13 с, второго – Т2 = 4 с. Определите период Т колебаний, если оба груза одновременно подвесить к этой пружине.

Решение:

Период колебаний груза массой m1, подвешенного к пружине жесткостью k,

k = 20 Н/м, совершает гармонические колебания, полная механическая энергия которых W = 225 мДж. Определите период и амплитуду колебаний, а также максимальную скорость груза в процессе колебаний.

53

Решение:

Период гармонических колебаний груза массой m, подвешенного на пружине жесткостью k,

Известно, что при гармонических колебаниях полная механическая энергия остается постоянной, равной сумме кинетической Wк и потенциальной Wп энергий системы, или максимальной кинетической энергии Wкmax , или максимальной

потенциальной энергии Wпmax , т. е.

Ответ: 0,94 с; 3,2 м/с; 0,15 м.

Колебательные системы

1.2.30. Грузик массой m закреплен на горизонтальных пружинах, как изображено на рисунках а, б, в. Коэффициенты жесткости пружин – k1 и k2. Трение в колебательных системах отсутствует. Определите периоды колебаний в данных системах.

Решение:

а) При параллельном соединении пружин при небольшом смещении тела массой m от положения равновесия деформация (сжатие или растяжение) обеих пружин будет одинакова: х1 = х2 = х, а возникающие при этом силы упругости F1 и F2 будут различны и направлены в сторону, противоположную смещению тела, т. е. результирующая сила F = F1 + F2. Коэффициент жесткости (упругости)

Тогда период колебаний такой системы

б) Пружины соединены последовательно. При небольшом смещении тела массой m деформация пружин

где х1 и х2 – деформация каждой пружины.

В силу невесомости пружин, согласно третьему закону Ньютона, каждая пружина деформируется одинаковой силой F. Поэтому выражение (1) можно за-

54

Период колебаний в данной системе

T 2 m(k1 k2) .

k1k2

в) При небольшом смещении тела массой m из положения равновесия деформация каждой пружины будет одинакова: х = х1 = х2. Одна пружина растягивается на х, другая – на такую же величину сжимается. На одну действует возвращающая сила F1 = –k1x, на другую – F2 = –k2x. Обе силы одного направления. Результирующая сила F = –kx окажется F = F1 + F2. Таким образом, имеем общую жесткость k = k1 + k2, как в случае а, т. е. общая жесткость определяется как

k1 k2

1.2.31. Колебательная система представляет пружинный маятник, совершающий колебания в горизонтальной плоскости с амплитудой А и периодом Т0. На расстоянии А/2 от положения равновесия устанавливается массивная стальная плита. Опреде-

лите период колебаний данной системы, если соударения маятника с плитой абсолютно упругие.

Решение:

Период Т колебаний такой системы складывается из времени t1 прохождения расстояний, равных двум амплитудам колебаний влево (отклонения от положения равновесия и возвращения к нему), и времени t2 прохождения двух расстояний А/2 каждое при отклонении от положения равновесия на А/2 и возвращении к нему.

Примечание. При рассмотрении графика зависимости смещения колеблю-

щейся точки по закону x Asin 2 t видно, что период колебаний такой системы

T

55

включает времена T0 и 2 t. Из ряда решенных

2

задач известно, что на прохождение расстояния А/2 необходимо время t = Т0/12. Поэтому период колебаний такой системы составит

2

Ответ: 3T0 .

1.2.32. На чашку, неподвижно висящую на невесомой пружине жесткостью k, с высоты h свободно падает пластилиновый шарик массой m. Определите амплитуду А возникших колебаний, полагая удар пластилинового шарика о чашку абсолютно неупругим. (Рас-

смотрим два случая: а) массой чашки пренебречь; б) масса чашки М.)

Решение:

а) Пластилиновый шарик попадает на невесомую чашку, обладая кинетической энергией, которая практически полностью переходит в кинетическую энергию системы «чашка–шарик». Пусть при этом максимальное смещение системы вниз до остановки станет равным х, пружина при этом растянется на величину х. Поэтому можно считать, что потенциальная энергия шарика в поле тяготения Wп.т = mg(h + x) полностью переходит в потенциальную энергию

Оба полученных значения соответствуют равенству нулю скорости системы, т. е. крайним (нижнему и верхнему) положениям колеблющейся системы.

б) Подвесив чашку массой М к пружине жесткостью k, наблюдаем деформацию растяжения пружины на величину х0. Это состояние равновесия соответствует условию

56

Если шарик массой m положить на чашку, новое состояние равновесия системы будет соответстовать условию

(M + m)g = kx. (2)

Относительно этого положения и возникнут колебания системы, полная механическая энергия которых постоянна и

равна kA2 (А – амплитуда возникших после падения шарика на чашку колебаний). 2

Для нахождения амплитуды воспользуемся законом сохранения энергии: после падения шарика на чашку система

ной энергией деформированной пружины относительно по-

Скорость определим из закона сохранения импульса для неупругогоудара шарика о чашку в проекции на ось Ох: m 0 = (m + M) . Отсюда скорость, с кото-

1.2.33. На чашку пружинных весов с высоты h свободно падает грузик массой m. Жесткость пружины весов k. Масса чашки M, массой пружины можно пренебречь. Определите циклическую частоту 0 и амплитуду А возникших свободных гармонических колебаний груза с чашкой весов. Считать соударение грузика с чашкой весов абсолютно неупругим, но грузик к чашке весов не прилипает.

57

где x – деформация пружины под действием чашки весов с грузом.

Амплитуду гармонических колебаний определим, воспользовавшись законом сохранения механической энергии. После падения грузика на чашку относительно нулевого уровня, показанного на рисунке, энергия

грузика на чашку; kx02 – потенциальная энергия деформированной пружины под

2

действием чашки; –(M + m)gx0 – потенциальная энергия системы в гравитационном поле Земли относительно нулевого уровня).

В процессе колебаний, когда система окажется в крайнем нижнем положении (г), кинетическая энергия в системе отсутствует и полная энергия станет

ны; (m M)g(x A) – потенциальная энергия системы в гравитационном поле Земли). Приравняем правые части (3) и (4):

Скорость системы «чашка–грузик» определим из закона сохранения импульса для неупругого удара в проекции на ось Ох:

m m 0 (m M) m M 0 .

Скорость шарика в момент падения с высоты h 0 2gh .

Тогда m 2gh. (6) m M

Решение системы уравнений (1), (2), (5) и (6) относительно А дает результат:

58

1.2.34.Колебательная система состоит из двух шаров массами m1 и m2 (m1 > m2), соединенных невесомой пружиной, как показано на рисунке. Если закрепить неподвижно первый шар, то второй шар будет совершать горизонтальные колебания с циклической частотой 2 = 4 рад/с, если

закрепить второй шар, то циклическая частота горизонтальных колебаний первого шарастанет 1 = 3 рад/с. Определите циклическую частоту возникающих горизонтальных колебаний системы двух шаров после того, как пружины сжимают на некоторую величину и отпускают. Трение не учитывать.

Решение:

При горизонтальных колебаниях двух шаров, соединенных пружиной, центр масс системы всегда остается в покое (точка С на рисунке). При отсутствии внешних сил в соответствии с теоремой о движении

центра масс оба незакрепленных шарика колеблются с одинаковой циклической частотой относительно положения центра масс, т. е.

где k1 и k2 – жесткости частей пружины от центра масс до шаров.

Из закона Гука известно, что жесткость пружины обратно пропорциональна ее длине:

(k – жесткость всей пружины; l – ее длина; О1С – расстояние от первого шара до центра масс; СО2 – расстояние от центра масс до второго шара).

Задача сводится к определению положения центра масс. Выберем ось Ох, проходящую через центры шаров, с началом в центре первого шара (точка О1).

59