Физика. В 4 ч. Ч. 4. Колебания и волны

1.2.14. Материальная точка массой m = 0,1 кг совершает гармонические колебания с амплитудой А = 5 см. Максимальная сила, действующая на точку, Fmax = 20 мН. Определите циклическую частоту 0, период Т колебаний точки и ее полную механическую энергию.

Решение:

Согласно второму закону Ньютона результирующая сила, действующая на тело, прямо пропорциональна ускорению, сообщаемому телу этой силой: F ma. Тогда для гармонически колеблющейся точки максимальная сила прямо пропорциональна максимальному ускорению:

Определение полной энергии колеблющейся точки проведем следующим способом.

Из закона сохранения энергии ясно, что полная энергия остается постоянной, равной или максимальной кинетической, или максимальной потенциальной энергии, т. е.

2

где k – коэффициент пропорциональности при определении возвращающей силы, действующей на точку в процессе колебания: F = –kx, для максимальной силы

Fmax = –kА. (4)

Знак «–» в выражениях указывает лишь на то, что сила направлена в сторону, противоположную смещению.

Поделим почленно (3) на (4):

E A полная энергия в колебательном процессе;

Fmax 2

E Fmax A 20 10 3 5 10 2 50 105 Дж 0,5 мДж. 2 2

Ответ: 2 рад/с; 3,14 с; 0,5 мДж.

Маятники

1.2.15. На сколько процентов следует уменьшить длину математического маятника, чтобы период его колебаний на высоте h = 10 км был равен периоду колебаний маятника на поверхности Земли? Радиус Земли R3 = 6400 км.

Решение:

Периоды колебаний маятника равны:

40

на Земле – T 2 l , g

где l и lh – длины маятника; g и gh – ускорения свободного падения на Земле и на высоте h соответственно.

Согласно условию задачи периоды должны быть равны:

Длинынитей маятниковотличаютсяна l=l–ln.Тогда(1)можно записать как l l l gh l l 1 l l 1 gh .

Ответ: 0,3 %.

1.2.16. Точные маятниковые астрономические часы установлены на поверхности Земли. Определите, на сколько будут отставать эти часы за сутки, если их перенести на крышу здания высотой h = 200 м. Радиус Земли считать

R = 6400 км.

Решение:

Период колебаний математического маятника зависит от ускорения свободного падения g в месте нахождения маятника. Так, на поверхности Земли пе-

Следовательно, засуткичислоколебанийнавысотеhуменьшитсянавеличину

41

б) При движении точки подвеса с ускорением a, направленным вниз (g a), gэфф g a g a.

В этом случае период гармонических колебаний маятника

T 2 l .

g a

При движении с ускорением a g, т. е. в состоянии невесомости, период колебаний математического маятника должен стать бесконечно большим (Т ). Поэтому в состоянии невесомости свободные колебания математического маятника не происходят. Свободные колебания пружинного маятника, осуществляющиеся под действием силы упругости, в невесомости происходят, причем период их такой же, как и на Земле.

в) На рисунке видно, что gэфф g a g2 a2 . Искомый период гармонических колебаний в неинер-

циальной системе отсчета, движущейся с ускорением a, на-

При этом направление нити, соответствующее положению маятника в состоянии равновесия, составит угол , который определится

через любую тригонометрическую функцию, например: tg a . Гармонические g

колебания маятника будут происходить относительно этого положения.

g2 a2

1.2.18. Математический маятник с нитью длиной l закреплен на тяжелой тележке, которая скатывается по наклонной плоскости и далее движется по горизонтальной поверхности. Угол наклона плоскости к горизонту , трение при движении тележки отсутствует. Определите периоды колебаний маятника при скатывании тележки по наклонной плоскости (Т) и при ее движении по горизонтальной поверхности (Т ), а также направление нити, соответствующее равновесному положению маятника.

Решение:

Тележка представляет собой неинерциональную систему,

43

направлению вектора g . На рисунке а видно, что gэфф g a .

По теореме косинусов определим

Подставив (1) в (2), получим

gcos

Воспользовавшись выражениями (1) и (3), определим gэфф2 a2 g2(cos2 sin2 ) g2 . (4)

Из (4) очевидно, что треугольник векторов, изображенный на рисунке б, – прямоугольный.

Отсюда следует, что вектор gэфф направлен перпендикулярно наклонной

плоскости. Это соответствует направлению нити при равновесном положении маятника.

При дальнейшем движении тележки по горизонтальной поверхности (угол= 0 ) с постоянной скоростью (а = 0) система, связанная с тележкой, оказывается инерциальной. Нить маятника в положении равновесия перпендикулярна горизонтальной поверхности. Период колебаний маятника такой же, как и на не-

подвижной тележке: T 2 l . g

1.2.19. Математический маятник находился в положении равновесия, когда ему сообщили горизонтальную скорость 0. При возникших гармонических колебаниях нить маятника в его крайних положениях составляла с вертикалью малый угол . Определите период Т таких гармонических колебаний.

Решение:

Искомый период колебаний математического маятника

g

где l – длина нити маятника; g – ускорение свободного падения. Определим длину нити l.

Из условия задачи очевидно, что маятник в начальный момент времени (t = 0) находился в положении равновесия (х0 = 0), поэтому уравнение его гармонических колебаний будет иметь вид:

44

крайнего положения, при котором нить маятника составит с вертикалью угол . Тогда смещение грузика маятника по дуге окружности радиусом, равным длине нити l, будет х = l. Уравнение (3) примет вид:

квадрат и выразим период Т: T 2 0 .

g

Ответ: T 2 0 .

g

1.2.20. Математический маятник представляет собой шарик, плотность материала которого , подвешенный на невесомой нити длиной l. Определите период колебаний маятника при помещении его в жидкость плотностью ж, если маятник обладает обтекаемой формой и трение его о жидкость отсутствует.

Решение:

В процессе колебаний маятника в жидкости кроме силы тяжести mg и силы натяжения FН нити действует постоянная, направленная вер-

тикально вверх сила Архимеда FA .

В положении равновесия маятника

45

Нить маятника расположена вдоль вектора gэфф . В этом случае нить маят-

ника в положении равновесия вертикальна, период колебаний

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости в объеме погруженного в жидкость шарика:

1.2.21. Определите период малых колебаний математического маятника, представляющего собой шарик массой m с зарядом q > 0, подвешенного на нити длиной l и помещенного в однородное электрическое поле, вектор напряженности E которого направлен: а) вдоль силы тяжести mg ; б) под углом 90 к направлению силы тяжести mg .

Решение:

На маятник в любой момент будет действовать постоянная по величине сила Fэл = qE, направленная вдоль силовых линий электрического поля. Период гармонических колебаний математического маятника, на который помимо силы тяжести mg и силы натяжения Fн нити действует постоянная внешняя сила, определя-

Вслучае (а), когда вектор напряженности электрического поля сонаправлен

ссилой тяжести mg ,

46

gэфф g Fэл g qE . m m

Тогда период колебаний маятника

mg qE

Положение равновесия маятника вертикальное.

В случае (б), когда вектор напряженности электрического поля перпендикулярен силе тяжести mg ,

Период колебаний маятника в этом случае

Положение равновесия маятника в этом случае направлено вдоль gэфф и со-

ставляет с вертикалью некоторый угол , который легко выразить через

tg qE . mg

1.2.22. Математический маятник представляет собой стальной шарик массой m, подвешенный на нити длиной l. Маятник совершает гармонические колебания между полюсами магнита с периодом Т. В процессе колебаний на маятник действует горизонтальная магнитная сила. Определите величину этой магнитной силы.

Решение:

В процессе колебаний на шарик помимо силы тяжести и силы натяжения нити действует постоянная внешняя сила, обусловленная действием магнитного поля и направленная горизонтально. Маятник будет совершать колебания около положения равновесия, в котором нить совпадает по направлению с вектором

47

Выразим из этого выражения силу притяжения Fм , действующую на сталь-

ной шарик со стороны магнитного поля:

1.2.23. Математический маятник с нитью длиной l крепится на наклонной стенке, как показано на рисунке. Маятник отклоняется от положения равновесия на угол в плоскости, перпендикулярной стенке, причем угол больше угла ( > ). Определите период колебаний маятника, считая его удары о стенку абсолютно упругими.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний имеет вид х = Аcos( 0t + 0). Для данных колебаний с учетом того, что углы и малы, амплитуда колебаний А = l,

Если учесть, что координата маятника в момент удара о стенку х1 = l, то уравнение (1) запишется в виде:

где t1 = время движения шарика из исходного положения до момента удара его о стенку:

48

Определение периода аналитически (3) и графически (4) даст одинаковый результат.

1.2.24. На гладкой горизонтальной поверхности находится брусок массой М = 150 г. Математический маятник с нитью длиной l = 30 см и шариком массой m = 50 г крепится к вертикальному легкому стержню, установленному на бруске. Нить с шариком отклоняют на небольшой угол от вертикали и отпускают. Определите период Т возникающих колебаний шарика, считая их гармоническими.

Решение:

При прохождении шариком положения равновесия его скорость направлена горизонтально и максимальна:

где 0 2 – циклическая частота колебаний, А – ампли-

T

туда колебаний; в силу малости угла

А = l. (2)

Из (1) с учетом (2) период колебаний

Система «шарик–брусок» в горизонтальном направлении замкнута. Для нахождения максимальной скорости воспользуемся законом сохранения импульса и механической энергии:

Подставим (7) в выражение (3), получим

49