Физика. В 4 ч. Ч. 4. Колебания и волны

Период колебания математического маятника

Пружинный маятник

всегда направленной к положению равновесия и приводит к появлению колебаний маятника.

F mgsin .

Минус в уравнении отражает то, что при отклонении маятника на угол от вертикали (положения равновесия маятника) тангенциальная составляющая силы тяжести F направлена к положению равновесия.

Согласно второму закону Ньютона ma F

или

ma mgsin a gsin .

Тогда a g x. l

Обозначив g 02, получим a 20x – динамиче- l

ское уравнение гармонических колебаний. Движение математического маятника происходит по гармоническому закону.

смещение математического маятника от положения равновесия в любой момент времени.

Период колебаний математического маятника не зависит от его массы и амплитуды колебаний, а зависит от длины нити маятника и ускорения свободного падения.

тело массой m, соединенное с абсолютно упругой пружиной жесткостью k и совершающее гармонические колебания в горизонтальной или вертикальной плоскостях под действием силы упругости.

а) по гладкому горизонтальному стержню АВ скользит без трения, совершая свободные колебания, шарик массой m, прикрепленный к упругой пружине жесткостью k.

В момент времени, когда смещение шарика из положения равновесия составило x, на шарик действуют три силы. Сила тяжести mg уравновешивается силой реакции N . Результирующей является сила упругости Fупр , направленная в сторону, противоположную

смещению x, и равная согласно закону Гука Fупр = –kx. C другой стороны, согласно второму закону Ньютона

Fупр = ma. Тогда –kx = ma или a k x 0, т. е. полу- m

Период колебаний пружинного маятника

Физический маятник

чено динамическое уравнение гармонического колебания.

Следовательно, пружинный маятник совершает гармонические колебания, собственная циклическая час-

тота которых 0 k /m.

смещение пружинного маятника от положения равновесия в любой момент времени t.

б) шарик массой m подвешен на вертикальной упругой пружине жесткостью k.

В положении равновесия (состояние I) силы тяжести

Выведя маятник из положения равновесия (состояние II), растянув пружину на некоторое расстояние x, воспользовавшись вторым законом Ньютона, запишем:

x = x0 + x – общее растяжение пружины.

Подставим в (2) выражение (1), запишем: kx0 – k(x0 + + x) = ma или – kx = ma получаем динамическое

уравнение гармонических колебаний a k x. m

Смещение пружинного маятника, колеблющегося в вертикальной плоскости в любой момент времени t (случаи а и б идентичны).

твердое тело, совершающее колебания относительно неподвижной горизонтальной оси (точка О на рисунке) подвеса, не проходящей через центр масс (точка С) тела, под действием силы тяжести.

Разложив силу тяжести mg на две составляющие – тангенциальную F и нормальную Fn , видим, что при отклонении маятника от положения равновесия на малый угол (sin ) возникает возвращающая сила F , момент которой

М = F l = – mglsin –mgl ,

где l – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника (знак «минус» свидетельствует о том, что направления возвращающей силы и угла отклонения маятника всегда противоположны).

C другой стороны, согласно уравнению динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси момент

Период колебаний физического маятника

(для малого углового смещения)

L J JC ml2 ml ml

JC l l ml

Комбинированный

маятник

М = J ,

где J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, – угловое ускорение вращающегося тела, равное второй производной угла : . Тогда

mgl J mgl 0

J

или

02 0,

т. е. имеем уравнение гармонического колебания. Циклическая частота колебаний

где L J – приведенная длина физического маятника. ml

Примечание. Точка O на продолжении прямой OC, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника.

Для нахождения момента инерции твердого тела J используется теорема Штейнера: момент инерции тела относительно любой оси вращения равен сумме момента инерции JC относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, и произведения

массы m тела на квадрат расстояния между осями:

J = JC + ml2.

Точка подвеса О и центр качания O физического маятника взаимозаменяемы: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания и период колебаний физического маятника не изменяется.

колебательная система, представляющая собой шарик массой m, одновременно соединенный со стержнем длиной l и одной или двумя абсолютно упругими пружинами, жесткость которых k1 и k2. Легкий стержень подвешен в точке A и может поворачиваться в вертикальной плоскости.

Общая жесткость этих пружин k = k1 + k2.

При малых отклонениях стержня на маятник действует результирующая сила, возвращающая его в положение

равновесия F = Fмат.м + Fпр.м, где Fмат.м – возвращающая сила, действующая в случае математического маятника; Fпр.м – аналогично для пружинного маятника.

Колебания математического маятника в неинерциальной системе отсчета

gэфф g a

Период колебаний математического маятника в неинерциальной системе отсчета

T 2 l g a

T 2 l g a

F mg x (k1 k2)x l

(см. математический и пружинный маятники). Эта сила сообщает шарику ускорение

При сравнении этого выражения с динамическим уравнением гармонических колебаний имеем

2 g k1 k2 l m

или

2 2мат.м пр2 .м

– это соотношение является общим для колебательных процессов: квадрат частоты свободных колебаний, происходящих при одновременном действии нескольких независимых сил, равен сумме квадратов частот свободных колебаний, которые происходили бы при действии каждой из этих сил в отдельности.

шарик массой m с длиной нити l совершает колебания в системе отстчета, движущейся относительно неподвижной системы с постоянным ускорением a.

При этом появляется дополнительная сила, приложенная к шарику, называемая силой инерции Fин ma.

Таким образом, к постоянной силе тяжести Fт добавляется постоянная сила инерции. Ее включение соответствует замене поля тяготения напряженно-

стью g Fт полем тяготения напряженностью m

Период колебаний маятника, подвешенного к потолку лифта, движущегося с ускорением a, направленным вверх.

Период колебаний маятника, подвешенного к потолку лифта, движущегося с ускорением a, направленным вниз.

Примечание:

– свободные колебания математического маятника в условиях невесомости не происходят;

Энергия колебательной системы Гармоническое колебание происходит по зако-

ну x Asin( 0t 0).

Обозначим фазу в любой момент времени

0t + 0 =

– свободные колебания пружинного маятника в условиях невесомости происходят.

Рассматриваются классические гармонические осцилляторы – маятники (пружинные и математические). Силы, действующие в этих идеализированных колебательных системах, – консервативные: силы упругости и тяжести. Следовательно, в этих системах выполняется закон сохранения механической энергии. Потенциальная энергия маятника в любой момент времени

Кинетическая энергия маятникавлюбой моментвремени

Из тригонометрических преобразований известно

Полная механическая энергия классической колебательной системы (гармонического осциллятора) равна сумме потенциальной и кинетической энергий и остается постоянной в процессе колебаний, при этом происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую и наоборот.

Из выражения (7) закона сохранения механической энергии при гармонических колебаниях получается соотношение

Потенциальная и кинетическая энергии периодически изменяются по гармоническому закону с циклической частотой 2 0, т. е. с удвоенной по сравнению с циклической частотой измене-

ния x(t) и (t).

Колебания потенциальной и кинетической энергий происходят в противофазе

Связь гармонических колебаний с равномерным движением по окружности

Из (9) видно, что при x = 0 скорость колебательной системы максимальна, а при x = А – равна нулю.

На рисунке a приведены графики смещения x = Asin 0t и скорости = 0Acos 0t колеблющейся материальной точки, на рисунках б и в для сравнения показаны графики зависимостейпотенциальнойи кинетическойэнергий.

Рассмотрим движение материальной точки М по окружности радиусом R с угловой скоростью 0. Положение точки вдоль оси Оx определяется проекцией радиуса-вектора на эту ось:

Rx(t) = Rcos( 0t + 0).

Равномерное движение по окружности можно рассматривать как два гармонических колебательных движения, совершаемых одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях

Сложение колебаний

а) колебания с одинаковой циклической частотой одного направления

01 02 0

x x1 x2

Acos( 0t 0)

A2 A12 A22 2A1A2

cos( 02 01 ) (1)

Эта формула описывает колебательное движение проекции точки М вдоль оси Оx около точки О, которую определим как положение равновесия.

Период изменения проекции равен периоду обращения точки М:

T = 2 / 0,

где 0 – круговая (циклическая) частота колебаний. Величина ( 0t + 0) – фаза колебания – величина, определяющая состояние колебательной системы в любой момент времени.

0 – начальная фаза колебаний, т. е. фаза в момент времени t = 0.

Максимальное значение проекции Rxmax или макси-

мальное отклонение точки М вдоль оси Оx от положения равновесия, амплитуда колебаний Rxmax R A.

Проекция кругового движения на ось Оy также совершает гармоническое колебание.

определение закона результирующих колебаний системы, участвующей в нескольких колебательных процессах.

Рассмотрим колебания одного направления. x1 A1 cos( 0t 01 ),

x2 A2 cos( 0t 02 ),

где А1 и А2 – амплитуды колебаний, 01 и 02 – их на-

чальные фазы. Векторы A1 и A2 (см. выше) вращают-

ся с одинаковой угловой скоростью 0, равной циклической частоте колебаний. Разность фаз = 2 – 1 с течением времени не изменяется и равна ( 02 01 ).

Если складываемые колебания находятся в одной фа-

зе, т. е. синфазны ( 2 – 1 = 2k , где k = 0, 1, 2, …), то

А = А1 + А2.

Если складываемые колебания находятся в противо-

фазе ( 2 – 1 = (2k + 1) , где k = 0, 1, 2, …)

А = А1 – А2.

Свободные затухающие колебания

Динамическое уравнение затухающих колебаний

a 2 0x 0

или

x 2 x 0x 0.

Решением этого уравнения является выражение x A0e t cos( t 0)

или

x A0e t sin( t 0)

Затухающее колебание

Период затухающих колебаний

амплитуда которых с течением времени уменьшается из-за потерь энергии в реальной колебательной системе. Одной из причин диссипации (потерь) механической энергии в реальной колебательной системе является сила трения.

Рассмотрим малые колебания пружинного маятника массой m и жесткостью пружины k. Колебания совершаются под действием силы упругости Fупр = –kx. В реальной колебательной системе действует сила сопротивления (трения), пропорциональная скорости, Fтр r rx , где r – коэффициент сопротивления,

знак «минус» указывает на то, что направления сил трения и скорости противоположны.

Согласно второму закону Ньютона

ma kx r или a r k x 0, m m

хающих колебаний маятника, называемая собственной частотой колебательной системы, в отсутствие

ская частота затухающих колебаний.

закон изменения амплитуды затухающих колебаний, A0 – начальная амплитуда.

не является периодическим и гармоническим.

промежуток времени между двумя последовательными максимумами (или минимумами).

Вынужденные колебания

Закон колебательного движения в реальной колебательной системе под действием периодически изменяющейся силы

Амплитуда вынужденных колебаний

Резонансная частота

рез 02 2 2

Механический резонанс

Амплитуда вынужденных колебаний в условиях механического резонанса

незатухающие колебания под действием внешней периодически изменяющейся силы

F = Fmaxcos t

или

F = Fmaxsin t,

где Fmax и – амплитуда и частота вынуждающей силы.

kx r Fmax cos t ma a r k x Fmax cos t

ная частота колебательной системы; – частота вынуждающей силы.

Процесс установления вынужденных колебаний графически представлен на рисунке. В установившемся режиме вынужденные колебания являются гармоническими и происходят с частотой внешней гармонической силы. Амплитуда зависит от частоты и свойств (характеристик) колебательной системы.

Из выражения (1) следует, что амплитуда смещения в случае установившихся колебаний при некоторой частоте внешней силы, называемой резонансной частотой, достигает максимального значения. Исследуя значение A выражения (1) на экстремум, определим резонансную частоту.

явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты колебаний вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы 0.