Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Физика. В 4 ч. Ч. 4. Колебания и волны

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

9.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Радиолокация

Блок-схема радиолокационной установки (радиолокатора или радара)

Расстояние до цели

s c t

звуковой частотой, использованной при модуляции высокочастотных колебаний в радиопередатчике. Форма колебаний этого тока почти точно воспроизводит форму низкочастотного сигнала на передающей станции (рис. б). Полученный низкочастотный сигнал усиливается усилителем низкочастотных сигналов (УНЧ) до необходимого уровня и поступает на динамик (громкоговоритель).

способ обнаружения и определения местонахождения различных объектов с помощью радиоволн. Основан на явлениях отражения и рассеяния радиоволн телами.

Радар представляет собой комбинацию ультракоротковолнового радиопередатчика и радиоприемника, имеющих общую приемно-передающую антенну, которая создает остронаправленное излучение. Антенна подвижна, способна поворачиваться в любом направлении. Излучение осуществляется короткими импульсами длительностью 10–6 с. В промежутки времени между двумя последовательными импульсами излучения время T антенна автоматически переключается на прием отраженного от цели сигнала.

с – скорость распространения электромагнитной волны; t – промежуток времени, прошедший от момента посылки сигнала до его возвращения в приемник установки. Расстояние определяется с помощью индикатора (электронно-лучевой трубки).

120

Приложение I к главам 1 и 2

Таблица сопоставления условий возникновения свободных механических и электромагнитных колебаний

Механическая система (маятники)	Колебательный контур

1. Наличие первоначального запаса энергии в системе

а) колебательной системе сообщается потенциальная энергия, смещая материальную точку (тело) от положения равновесия; б) колебательной системе сообщается

кинетическая энергия, придавая скорость материальной точке (телу).

а) конденсатор колебательного контура заряжается, в нем создается электрическое поле, обладающее энергией;

б) катушка индуктивности колебательного контура помещается в переменное магнитное поле, через нее начинает протекать переменный электрический ток, создавая в ней собственное магнитное поле, обладающее энергией.

2. Наличие в системе силы, стремящейся вернуть ее в положение равновесия

Упругая и квазиупругая сила, пропорциональная смещению х колеблющейся точки (тела).

Со стороны электрического поля, создаваемого заряженным конденсатором, на заряды действует сила F qE.

3. Наличие инерционных явлений в колебательной системе

Инертность колеблющейся точки (тела) массой m препятствует мгновенному изменению ее скорости.

Явление самоиндукции, возникающее в катушке, препятствует мгновенному изменению силы тока в ней.

4. Исключение потерь энергии в колебательной системе

Трение и сопротивление среды преЭлектрическое сопротивление подводянебрежимо малы. щих проводов и витков катушки пре-

небрежимо мало.

Приложение II к главам 1 и 2

Таблица сопоставления характеристик колебаний в механических системах и колебательном контуре

Описание механических колебаний				Описание электромагнитных колебаний

			1. Наличие первоначального запаса энергии в системе
Дифференциальные уравнения сво-				Дифференциальные уравнения свободных

бодных
а) гармонических колебаний				а) гармонических колебаний
		k				1
			x 0 или				q 0 или
x				q
		m				LC
		2				2
x	0x 0;			q	0q 0;

121

б) затухающих колебаний

x 0 или

q 0 или

2 x

2 q

0x 0

0q 0

Собственная циклическая частота

Собственная циклическая частота коле-

колебаний пружинного маятника

бательного контура

;

математического маятника

Циклическая частота затухающих

Циклическая частота затухающих коле-

колебаний

баний

R 2

;

коэффициент затухания

Изменяется координата х колеблю-

Изменяется заряд q на обкладках конден-

щейся точки (смещение точки от по-

сатора

ложения равновесия)

Скорость изменения координаты

Скорость изменения заряда q

– это

– это скорость движения точки

величина силы тока

(тела)

Мерой инертных свойств колеблю-

Инертные свойства контура зависят от

щейся точки является ее масса m

индуктивности катушки L. Явление са-

(препятствует мгновенному измене-

моиндукции, возникающее в ней, пре-

нию скорости)

пятствует мгновенному изменению тока

в контуре

Коэффициент упругой (или квазиупру-

Из

сравнения

и 02

видно,

гой) силыдля пружинного маятника

(коэффициент жесткости пружины),

для математического маятника

что аналогом k является отношение

Потенциальная энергия пружинного

Энергия электрического поля конденса-

маятника W

kx2

тора W

, математического–

Wп mgh.

эл

Кинетическая энергия точки (тела) в

Энергия

магнитного

поля

катушки

механических колебаниях W

m 2

LI2

122

2.2. Примеры решения задач

Идеальный колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания

2.2.1. Напряжение на обкладках конденсатора в идеальном колебательном контуре изменяется по закону UС = 100cos(103t) В. Емкость конденсатора С = 10 мкФ. Определите период Т колебаний, индуктивность L контура, законы изменения силы тока I в контуре и заряда q на обкладках конденсатора.

Решение:

Из заданного уравнения изменения напряжения на обкладках конденсатора UС = 100cos(103t) В видно, что максимальное значение напряжения на конденсаторе Umax = 100 В, собственная циклическая частота колебаний 0 = 103 рад/с.

Период колебаний связан с циклической частотой соотношением

T2 6,28 мс.

Учитывая, что циклическая частота			1	, определим индуктивность
Учитывая, что циклическая частота				, определим индуктивность
		0	LC
			LC
контура L	1	0,1 Гн.
контура L	2	0,1 Гн.
	C
	0

Изменение заряда на обкладках конденсатора происходит также по гармоническому закону:

q = CU = CUmaxcos 0t = qmaxcos 0t,

где qmax = CUmax – максимальный заряд на конденсаторе. Тогда закон изменения заряда на обкладках конденсатора q = 10 10–6 100cos(103t) (Кл) = 1,0cos(103t) (мКл).

Закон изменения силы тока в колебательном контуре определим первой производной от заряда по времени:

Iq 0qmax sin 0t 0CUmax sin 0t

I 103 10 10 6 100sin103t

1,0sin(103t) (А) или I 1,0cos 103t А.

Ответ: Т = 6,28 мс; L = 0,1 Гн;

I 1,0cos		3	t
	10				А;
				2

q = 1,0cos103t мКл.

2.2.2. Дифференциальное уравнение для заряда на конденсаторе колебательного контура имеет вид: q + 16 1010q = 0. Максимальное напряжение на конденсаторе Umax = 100 В, индуктивность катушки контура L = 25 мГн. Опреде-

123

лите емкость конденсатора С и напишите уравнения для зависимостей заряда q, напряжения U и силы тока I в контуре от времени.

Решение:

В общем виде дифференциальное уравнение гармонических электромагнитных

колебаний имеет вид: q 02q 0, где 0				1	– циклическая частота колебаний.
колебаний имеет вид: q 02q 0, где 0				LC	– циклическая частота колебаний.
				LC
Каквидно изуравнения, приведенного в условии задачи, 14 105 рад/с.
	1				0
Емкость конденсатора C	1		2,5 10 10		Ф = 250 пФ. Из соотношения
Емкость конденсатора C	2		2,5 10 10		Ф = 250 пФ. Из соотношения
		L
0

qmax = CUmax определим максимальный заряд на конденсаторе: qmax = 25 нКл. За-

ряд и напряжение на конденсаторе изменяются синфазно и можно записать: q= 25 10–9sin(4 105t) Кл = 25sin(4 105t) нКл;

U = 100sin(4 105t) В.

Сила тока в контуре I = q :

										или
I 0qmax cos( 0t) 0qmax sin								0t
I 0qmax cos( 0t) 0qmax sin								0t
								2
I 10 10	3			5	t		А = 10sin				5	t		мА.
		sin	4 10						4 10
		sin	4 10						4 10				2
						2							2

Ответ: С = 250 пФ; 25sin(4 105t) нКл;

U = 100sin(4 10	5	t) В; I 10sin	4 10	5	t		мА.

						2

2.2.3. Электрический заряд на обкладках конденсатора в колебательном

контуре изменяется по закону	q 200cos	4 t		мкКл. Определите ампли-

			4

тудное значение заряда qmax на обкладках конденсатора; циклическую частоту 0; частоту v; период Т; начальную фазу 0 колебаний заряда; модуль амплитудного значения силы тока Imax в контуре, а также заряд на обкладках q, силу

тока I и фазу колебаний заряда в момент времени t 1 с.

Решение:

Из заданного закона изменения электрического заряда на обкладках кон-

денсатора	q 200cos	4 t		мкКл и сравнения с законом гармонического из-

			4

менения заряда q qmax cos( 0t 0)определим амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора qmax = 200 мкКл (1), циклическую частоту 0 = 4 рад/с (2);

начальную фазу колебаний 0 рад (3).

Значения периода Tu частоты v колебаний определяем из (2):

T 2 0,5 с; v 0 1 2 Гц.

2 T

124

Закон изменения силы тока в колебательном контуре определится как первая

производная от заряда, т. е.

I q qmax

4 t

мА

sin

2,5sin

модуль амплитудного значения силы тока в контуре Imax = 2,5 мА. Мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора в момент времени

1				1
t	с будет равно	q 200cos	4			мкКл 0, мгновенное значение силы
				16	4
16

тока в этот момент времени	I 2,5sin	4	1		мА=–2,5мА.

			16	4

Фазаколебаний заряда 4 1 .

16 4 2

Ответ: 200 мкКл; 4 рад/с; рад, 0,5 с;

2 Гц; 2,5 мА; 0; –2,5 мА; .

2.2.4. Максимальная энергия магнитного поля в катушке идеального колебательного контура WmaxM = 8 мкДж. Циклическая частота свободных незату-

хающих электромагнитных колебаний в контуре 0 = 314 рад/с, индуктивность катушки L = 250 мГн. Запишите уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора данного контура в зависимости от времени.

Решение:

В идеальном колебательном контуре заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону:

q = qmaxcos 0t. (1)

Для определения максимального значения заряда qm на обкладках конденсатора необходимо определить максимальное значение силы тока в контуре.

Воспользуемся формулой для определения максимальной энергии магнитного поля в катушке контура:

LI2

2Wmax

(2)

max

maxM

Известно, что сила тока определяется первой производной от заряда по

времени:

I = q = – 0qmsin 0t.

Отсюда амплитудное значение силы тока Imax = – 0qm.

(3)

Объединив (2) и (3), получим q

2WmaxM

0 max

Амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора

2Wmax

25 мкКл.

max

125

Выражение (1) примет вид:

q = 25 10–6cos(314t) Кл = 25cos(314t) мкКл.

Ответ: 25cos(314t) мкКл.

2.2.5. Определите период свободных колебаний в идеальном колебательном контуре, содержащем плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого S1 = 100 см2, расстояние между ними d = 1 мм, и катушку без сердечника, число витков в которой N = 100, площадь поперечного сечения S2 = 2 см2, длина l = 10 см.

Пространство между пластинами конденсатора заполнено диэлектриком ( = 2), магнитную проницаемость внутри катушки считать равной 1.

Решение:

Период свободных колебаний в идеальном колебательном контуре опреде-

лим по

формуле

Томсона: T 2 LC (1), где

индуктивность

катушки

N2S

(2), емкость плоского конденсатора C

–7

0 1

(3) ( 0

= 4 10 Гн/м –

магнитная постоянная, 0 = 8,85 10–12 Ф/м – электрическая постоянная).

С учетом (2) и (3) выражение (1) примет вид:

2S S

0,4 мкс.

2 0 1

Ответ: 0,4 мкс.

2.2.6. Идеальный колебательный контур содержит два последовательно соединенных конденсатора емкостями С1 = 9 мкФ и С2 = 4,5 мкФ и ка-

тушку индуктивностью L = 75 мкГн. Максимальное значение силы тока в контуре Imax = 100 мА. Определите период свободных колебаний в контуре, максимальные значения заряда и напряжений на каждом конденсаторе.

Решение:

Период колебаний в идеальном контуре определим по формуле Томсона:

T 2 LC , где С – общая емкость двух последовательно соединенных кон-

	CC		LCC
денсаторов, C	1 2	= 3 мкФ. Тогда период T 2	1 2	= 94 мкс.

	C1 C2		C1 C2

Для нахождения максимального значения заряда на конденсаторах воспользуемся законом сохранения энергии в идеальном контуре: полная энергия в колебательном контуре остается постоянной, равной сумме энергий электрического поля конденсатора Wэл и магнитного поля катушки Wм, или максимальной энергии электрического поля конденсатора Wmaxэл , или максимальной энергии

магнитного поля катушки Wmaxм , т. е.

W Wэл Wм Wmaxэл Wmaxм const.

126

Отсюда


LI2	q2

max	max	qmax Imax LC.
2
	2C

При последовательном соединении конденсаторов заряд на каждом из них

одинаковый, поэтому q	q	I	max	L	C1C2	1,5 мкКл.

max	max	2			C1 C2
1

Максимальное значение напряжения на каждом из конденсаторов определим из формул взаимосвязи напряжения и заряда:

Umax			qmax			I		max		L			CC	2			0,17 В;
			1					max					1	2
							C					C C
	1			C			C					C C				2
			1						1				1			2
				qmax			I
U				qmax	2		I		max		L		CC		2		0,33 В.
	max				2				max				1		2
				C				C
		2		C				C					C C
			2						2				1			2

Ответ: 94 мкс; 1,5 мкКл; 0,17 В; 0,33 В.

2.2.7. Заряженный конденсатор емкостью С подключен к двум параллельно соединенным катушкам интуктивностями L1 и L2 (см. рис.). Определите циклическую частоту 0 колебаний в контуре.

Решение:

Так как сопротивление R контура равно нулю и внешняя ЭДС отсутствует, полная энергия контура, т .е .сумма энергий электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушках, остается постоянной:

L I2

L1I12

L2I22

(1)

1 1

2 2

max

const,

где q, I1 и I2 – мгновенные значения заряда на конденсаторе и токов в катушках, qmax , I1max и I2max – максимальные значения заряда и токов соответственно.

При параллельном соединении катушек мгновенные значения напряжений на них одинаковы и равны ЭДС самоиндукции, возникающей на катушках при разрядке конденсатора:

L	I1	L	I2	L I	L I		.	(2)
	t		t
1		2		1 1	2	2

Тогда сила тока во второй катушке I2 1 1 . (3)

Подставив (3) в (1), получим:

q2							L12I12		L L
max	L I2		L	I2	L I2		m	L I2	2 1
	L I2		L	I2	L I2		L	L I2
C		1 1max	2	2max		1 1m	L	1 1m	L
							2		2
q2		LCI2		L2 L1		.			(4)
q2		LCI2				.			(4)
max		1	1max	L
				2

Определим циклическую частоту 0 колебаний в контуре.

127

Способ 1.

Если учесть, что сила тока в контуре Imax I1max I2max , то сила тока во второй катушке I2max Imax I1max . Извыражения (2) LI1 1max L2(Imax I1max ) определим

I1	Imax		L2	.	(5)

max		L1	L2
Выражение (4) примет вид:

LCI2

L2 (L L )

LL C

L L

max

m (L L )2 L

max

L1 L2

q .

(4)

max

LL C

max

Максимальная сила тока Imax

в контуре связана с максимальным заря-

дом qmax на конденсаторе соотношением

(7)

Imax = 0qmax.

Из сопоставлений выражений (6) и (7)

L1 L2

L1L2C

Способ 2.

ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке,

равна напряже-

нию на обкладках конденсатора

1 t

, т. е. L

1 t

С учетом формулы (5)

1 2

(8)

L L t C

С учетом связи силы тока с зарядом I = q , I

выражение (8) примет вид

L1 L2

Это уравнение гармонического колебания: q

q 0.

0q 0

. Отсю-

LL C

да циклическая частота

L1 L2

L1L2C

Ответ:

L1 L2

L1L2C

2.2.8. Идеальный колебательный контур состоит из воздушного конденсатора емкостью С = 10 мкФ и катушки индуктивностью L = 1 мГн с числом витков на единицу длины катушки n = 103 м–1. Определите индукцию магнитного поля катушки контура в момент времени t1 = 52 мкс, если при t0 = 0 заряд на конденсаторе q0 = 10 мкКл, а сила тока в контуре I0 = 0.

Решение:

В идеальном колебательном контуре происходят свободные незатухающие колебания. Индукцию магнитного поля катушки определим по формуле

128

В = 0nI1,

(1)

где 0 = 4 10–7 Гн/м – магнитная постоянная, – магнитная проницаемость среды в катушке, в данном случае для воздуха = 1, I1 – сила тока, протекающего в катушке в момент времени t1.

Если в начальный момент времени заряд на конденсаторе q0, а сила тока в катушке равна нулю, то заряд q0 – это максимальный заряд qmax на обкладках

конденсатора. Закон изменения заряда имеет вид q qmax cos 0t qmax cos t ,

где	1	– циклическая частота гармонических колебаний в идеальном ко-
где
0	LC
	LC

лебательном контуре. Закон изменения со временем силы тока будет иметь вид

	1		, так как изменение тока в контуре отстает по фа-
I Imax sin 0t Imax sin		t

	LC

зе на от изменения заряда на конденсаторе. Максимальное значение тока оп-

ределим из закона сохранения энергии в контуре: qmax2 LImax2 const, максималь- 2C 2

ная энергия электрического поля конденсатора qmax2 равна максимальной энергии

магнитного поля катушки

. Из этого выражения

max

sin

t .

(2)

Подставим (2) в (1), получим выражение для определения индукции магнит-

ного поля внутри катушки в момент времени t1:

sin

или В 6,2 10–5

Тл = 62 мкТл.

Ответ: 62 мкТл.

2.2.9. Идеальный колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 400 мГн и конденсатора емкостью С = 40 мкФ. В начальный момент времени (t = 0) конденсатор заряжен до максимального напряжения Umax = 8 В. Определите значения тока, заряда и напряжения в контуре в моменты времени, когда энергия электрического поля в конденсаторе в два раза больше энергии магнитного поля катушки.

Решение:

Согласно условию задачи в начальный момент времени конденсатор максимально заряжен, следовательно, изменение напряжения U и заряда q на конденсаторе происходят по закону

U = Umaxcos 0t;

(1)

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.11.20251.87 Mб0Физика нано- и микросистем.pdf
#
30.11.20251.97 Mб0Физика электромагнетизма. Раздел 1. Введение в предмет и содержание электродинамики.pdf
#
30.11.20251.73 Mб0Физика. В 3 ч. Ч. 1. Механика, статистическая физика и термодинамика. Контрольные задания и учебные материалы.pdf
#
30.11.20252.85 Mб0Физика. В 3 ч. Ч. 2 Электричество и магнетизм.pdf
#
30.11.20256.83 Mб0Физика. В 4 ч. Ч. 3. Электродинамика.pdf
#
30.11.20259.28 Mб0Физика. В 4 ч. Ч. 4. Колебания и волны.pdf
#
30.11.20251.57 Mб0Физика. Оптика, атомная и ядерная физика контрольные задания и учебные материалы.pdf
#
30.11.2025579.67 Кб0Физика. Фазовые переходы в сплавах и твердых растворах.pdf
#
30.11.2025877.82 Кб0Физика.pdf
#
30.11.20251.08 Mб1Физико-механические свойства строительных материалов.pdf
#
30.11.2025506.94 Кб0Физико-химические процессы в окружающей среде.pdf