Физика. В 4 ч. Ч. 4. Колебания и волны
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Белорусский национальный технический университет
Кафедра естественно-научных дисциплин
ФИЗИКА
Пособие
Ча с т ь 4
Минск
БНТУ
2 0 1 4
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет
Кафедра естественно-научных дисциплин
ФИЗИКА
Пособие
В4 частях
Ча с т ь 4
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Под редакцией Т.И. Развиной
Минск
БНТУ
2 0 1 4
УДК 543(075.4) ББК 22.3я7
Ф50
Авторы:
Т.И. Развина, Л.И. Драпезо, В.А. Ласточкина, Ю.В. Развин, М.И. Чертина
Рецензенты:
И.А. Хорунжий, С.И. Шеденков
Физика : пособие : в 4 ч. / Т.И. Развина [и др.] ; под ред. Т.И. РазФ50 виной. – Минск : БНТУ, 2007–2013. – Ч. 4 : Колебания и волны. –
2014. – 208 с.
ISBN 978-985-550-181-8 (Ч. 4).
Пособие предназначено для слушателей факультетов довузовской подготовки высших учебных заведений, а также учащихся старших классов школ, лицеев и гимназий.
Пособие включает краткие теоретические сведения, примеры решения задач, задачи для самостоятельного решения, тестовые задания.
Издается с 2007 г. Часть 3 «Электродинамика», авторы: Т.И. Развина, Л.И. Драпезо, О.В. Коваленкова и др., вышла в БНТУ в 2011 г.
УДК 543(075.4) ББК 22.3я7
ISBN 978-985-550-181-8 (Ч. 4) |
© Белорусский национальный |
ISBN 978-985-479-715-1 |
технический университет, 2014 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие «Колебания и волны» является одной из составных частей пособия по физике для поступающих в высшие учебные заведения, содержит 3 главы: механические колебания и волны; электромагнитные колебания и волны; переменный ток. Каждая глава включает краткое изложение теории (учащиеся должны научиться формулировать физические законы, определять физические величины и знать формулы); примеры решения задач (решения даны подробно, чтобы учащийся смог самостоятельно в них разобраться); задачи для самостоятельного решения (дают возможность преподавателю и учащимся разбирать их решения в аудитории и прорабатывать самостоятельно, тем самым развивать творческое мышление учащихся); тестовые задания (позволяют учащимся проверить уровень подготовки, понять, насколько успешно усвоены основные методы и приемы решения задач данной темы). Ко всем задачам и тестовым заданиям даны ответы.
Большое количество подобранных задач поможет учащимся и абитуриентам систематизировать знания и суметь применить их при решении задач любого уровня сложности.
Предлагаемое учебное пособие создавалось авторами с учетом опыта работы в общеобразовательных и физико-математических классах школ и лицеев, на подготовительном отделении БНТУ.
3
Глава 1. Механические колебания и волны
1.1. Теория
Механическое колебательное движение, или механическое колебание
Колебательная система, или осциллятор
Маятник
Свободные (или собственные) колебания системы
Гармонические
колебания (кинематическое определение)
x Asin( 0t 0)
Asin(2 t 0)
T
или
xAcos( 0t 0)
Acos(2 t 0)
T
процесс периодического или почти периодического изменения состояния колеблющейся системы, при котором система поочередно смещается то в одну, то в другую сторону от положения устойчивого равновесия, проходя это положение.
система, способная совершать колебательное движение. Простейшими примерами механических колебательных систем (осцилляторов) являются маятники.
представляет собой тело, закрепленное так, что точка подвеса тела располагается выше его центра тяжести. Примеры: математический, пружинный и физический маятники.
колебания, совершаемые колебательной системой за счет первоначально (одноразово) сообщенной ей энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на нее.
Свободные колебания в консервативной идеализированной системе, т. е. в которой механическая энергия сохраняется, являются незатухающими: амплитуда этих колебаний не зависит от времени.
Свободные колебания в реальной диссипативной системе, т. е. в которой механическая энергия не сохраняется (рассеивается), являются затухающими: амплитуда этих колебаний с течением времени уменьшается.
простейший тип периодических колебаний, когда колеблющаяся величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
х – смещение колеблющегося тела (в идеализированном случае – материальной точки) от положения равновесия то в одну, то в другую сторону в любой момент времени t.
4
Амплитуда колебания |
максимальное смещение колебательной системы (в даль- |
|||||||
A |
|
x |
|
max |
нейшем будем пользоваться понятиями «тело» или |
|||
|
|
|||||||
|
|
«материальная точка») от положения равновесия. |
||||||
[A] = [x] = 1 м |
||||||||
|
||||||||
Период колебаний, Т |
время между двумя последовательными прохожде- |
|||||||
[T] = 1 c |
ниями колебательной системой через одно и то же |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
положение в пространстве в одном и том же направ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
лении |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
T |
t0 |
|
время, в течение которого совершается одно полное |
|||||
Nколебание (t0 – время, за которое совершается N полных колебаний).
Частота колебаний |
число колебаний, совершаемых системой за 1 с. |
||||||||||
|
|
N |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
T |
|
|||||||
|
|
|
t0 |
|
|||||||
|
[ ] = 1 с-1 = 1 Гц |
|
|||||||||
Собственная частота |
частота, с которой совершаются свободные колебания |
||||||||||
свободных колебаний |
и которая зависит только от свойств колебательной |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системы. |
Циклическая (круговая) |
величина, определяемая числом полных колебаний, со- |
||||||||||
частота |
|
|
|
2 N |
|
вершаемых колебательной системой за 2 с. |
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
T |
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
[ 0] = 1 рад/с |
|
|||||||||
Фаза колебания |
|
|
|
|
|
величина, определяющая часть периода, прошедшего |
|||||
|
0t 0 |
с начала наблюдения колебания. При данной ампли- |
|||||||||
|
|
или |
|
|
|
|
|
туде колебаний фаза полностью определяет смещение |
|||
|
|
|
|
|
|
|
колебательной системы в любой момент времени и по |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t 0 |
модулю, и по знаку. |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||
|
[ ] = 1 рад |
|
|||||||||
Начальная фаза |
|
|
|
|
|
фаза колебаний в начальный момент времени (t = 0), |
|||||
колебаний |
|
|
|
|
|
определяющая положение колебательной системы в |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
этот момент времени. |
||
|
[ 0] = 1 рад |
|
|||||||||
5
Примечание |
Актуальность изучения гармонических колебаний заклю- |
|
чается в том, что любые колебания, встречающиеся в при- |
|
роде и технике, имеют характер, близкий к гармоническо- |
|
му, а также любые периодические процессы можно пред- |
|
ставить как суперпозицию (сложение) гармонических ко- |
|
лебаний. |
Зависимость смещения x используется в случаях, когда в начальный момент вреколеблющейся точки мени (t = 0) точка находится в положении равновесия. от времени t
xAsin 0t
Asin 2 t T
Скорость материальной Из тригонометрических формул приведения:
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Acos t |
Asin |
t |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
x 0Acos 0t |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
max |
A |
2 |
A |
максимальная скорость материальной точки. |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ускорение |
|
|
|
|
|
|
Из тригонометрических формул приведения: |
||||||||||
материальной точки |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||
|
x |
0 Asin 0t |
a 0 Asin 0t 0 Asin( 0t ). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
amax |
0A |
|
A |
максимальное ускорение материальной точки. |
|||||||||||||
T2 |
|||||||||||||||||
или amax |
0 max |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Графики зависимостей: а) смещения x материальной точки от времени t при гармонических колебаниях
6
б) скорости материальной точки от времени t при гармонических колебаниях
в) ускорения а материальной точки от времени t при гармонических колебаниях
Зависимость смещения х колеблющейся точки от времени t
xAcos 0t
Acos 2 t T
Скорость колеблющейся точки
x 0 Asin 0t
max 0A 2 A T
Ускорение колеблющейся точки a x 02Acos 0t
a |
2 |
A |
4 2 |
A |
|
|
|
||||
T2 |
|||||
max |
0 |
|
|
используется в случаях, когда в начальный момент времени (t = 0) колебательная система максимально смещена от положения равновесия.
Из тригонометрических формул приведения:
|
|
|
||
0 Acos |
0t |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
||
максимальная скорость точки.
Из тригонометрических формул приведения:
a 20 Acos( 0t ).
7
Графики зависимостей: а) смещения х материальной точки от времени t при гармонических колебаниях
б) скорости материальной точки от времени t при гармонических колебаниях
в) ускорения а материальной точки от времени t при гармонических колебаниях
a |
|
max |
2A |
||||||
max |
0 |
|
|
|
0 |
|
|||
a 2 |
max |
4 2 2A |
|||||||
max |
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
2 |
|
|
|
|
4 2 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
T2 |
|||||
max |
|
T |
|
max |
|
|
|||
Примечание
Связь амплитуды, максимальной скорости и максимального ускорения при гармонических колебаниях.
Если тело (материальная точка) совершает гармонические колебания, то и скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону.
8
При максимальном смещении тела от положения равновесия его скорость равна нулю, а ускорение максимально и направлено к положению равновесия.
При прохождении телом положения равновесия его скорость максимальна, а ускорение равно нулю.
Таким образом, фаза скорости опережает фазу смещения (или координаты) на /2, а фаза ускорения – на .
Гармоническое колеба- |
периодическое колебательное движение, совершаю- |
|||
ние (динамическое |
щееся с ускорением, пропорциональным смещению |
|||
определение) |
тела х и противоположно ему направленным. |
|||
Динамическое уравне- |
|
|
|
|
ние гармонического ко- |
|
|
|
|
лебания |
|
|
|
|
a 2x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
или |
решением этого уравнения является выражение |
|||
a 02x 0 |
||||
|
x = Acos( 0t + 0) |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
x = Asin( 0t + 0). |
|
|
|
|
Гармонический осциллятор представляет собой систему, |
|||
|
совершающую колебания, описываемые уравнением |
|||
|
a 02x 0. |
|
|
|
Математический маятник |
идеализированная система, состоящая из материаль- |
|||
|
ной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой |
|||
|
невесомой нити длиной l, и совершающая колебания |
|||
|
под действием силы тяжести. |
|
|
|
|
Колебания маятника иллюстрирует рисунок. При от- |
|||
|
клонении нити от вертикали на малый угол (точка |
|||
|
А) на тело массой m действуют силы тяжести mg и |
|||
|
упругости нити F . |
|
|
|
|
упр |
|
|
|
|
Силу тяжести mg разложим на две составляющие: |
|||
|
тангенциальную F , направленную по касательной к |
|||
|
траектории перпендикулярно нити, |
и нормальную Fn , |
||
|
направленную вдоль нити. |
|
F |
|
|
Результирующая силы упругости |
|
и составляю- |
|
|
|
|
упр |
|
|
щей силы тяжести Fn перперндикулярна скорости ма- |
|||
|
ятника в этот момент времени и сообщает ему цен- |
|||
|
|
|
|
|
|
тростремительное (нормальное) ускорение an. |
|||
|
Действие этих сил приводит к изменению направле- |
|||
|
ния скорости. Траектория движения маятника – дуга |
|||
|
окружности радиусом l. |
|
|
|
|
Тангенциальная составляющая F |
силы тяжести соз- |
||
|
|
, |
приводящее к из- |
|
|
дает тангенциальное ускорение a |
|||
|
менению скорости по модулю. Скорость оказывается |
|||
9