Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий по высшей математике со студентами инженерно-педагогических специальностей по теме Дифференциальные уравнения

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2. Решите уравнение

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

x (t) te4t ,	и	x (t) e4t ,
1	и	2
y1 (t) (t 1)e4t		y2 (t) e4t .

Таким образом, получили общее решение исходной системы:

x(t) C te4t

C e4t

y(t) C1

(t 1)e4t C2e4t .

x(t) C te4t C e4t ,

Ответ:

— общее решение системы.

y(t)

C1 (t 1)e4t C2e4t .

2x y,

Пример 5. Найти частное решение системы

x 2 y,

x(0) 1, y(0) 1.

Решение.

Составим характеристическое уравнение системы:

т.е.

(2 )2

1 0. Оно имеет кор-

)

... a

ни 2 i, 2 i. Для корня 2 i составляем систему

a21 1 (a22

1 ) 2

... a2n n 0, :

......................................................

i 1

an1 1 an2 2 ... (ann 1 ) n 0.

2 0,

1 i 2 0.

Полагаем 1

тогда 2

Следовательно частное комплексное решение системы имеет вид:

x t e 2 i t ,

y t ie 2 i t .

Выделяем в полученных функциях действительные (Re) и мнимые (Im)

части.

Поскольку

x(t) e 2 i t e2t (cost i sin t),

то

Re x e2t cos t,

Im x e2t sin t;

y(t) ie(2 i)t ie2t (cos t i sin t),

тогда Re y e2t sin t, Im y e2t cos t. Сопряженный корень

2 i но-

вых линейно-независимых решений не дает, поэтому не рассматривается. Таким образом, общее решение исходной системы:

x(t) C1e2t cos t C2e2ty(t) C1e2t sin t C2e2tC1,C2 const.

Найдем частное решение для заданных начальных условий.

Ñ1 1, Ñ2 1. Получили искомое частное решение системы:

Ответ: x(t) e2t (cos t sin t), — частное решение системы.

y(t) e2t (sin t cos t).

y 3y z

Пример 6. Проинтегрировать систему ДУ: .

z 5y z

Решение.

sin t, cos t,

Получаем: 1 C1	0,	откуда находим
1 0	C ,
	2

x(t) e2t (cos t sin t),y(t) e2t (sin t cos t).

Дифференцируем первое уравнение y 3y z . Подставляем в правую часть полученного уравнения пра-

	3 3y z 5y z 4y 2z . Определяем z из первого уравнения исходной си-
вые части из системы: y
стемы z y 3y и подставляем его выражение в y 3 3y z 5y z 4y 2z , получаем:
				y 4y 2 y 3y 2y 2y y 2y 2y 0 .
Решаем полученное уравнение.				Имеем: k2 2k 2 0 k			1 i . Находим y:	y ex C cos x C		sin x .
						1,2		1	2
		e	x	C1 cos x C2 sin x e	x	C1sin x C2 cos x , то имеем:
Поскольку z y 3y и y		e		C1 cos x C2 sin x e		C1sin x C2 cos x , то имеем:
										61

z ex C1 cos x C2 sin x ex C1 sin x C2 cos x

3ex C cos x C		sin x ex 2C		C	cos x C	2C	sin x ,
1	2		1	2	1	2

Следовательно, решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

					y ex C cos x C					2	sin x
							1			2
						ex	2C C		cos x C 2C				sin x
					z	ex	2C C	2	cos x C 2C			2	sin x
							1	2			1	2
y ex C cos x C				2	sin x
	1			2			— общее решение системы.
Ответ:			cos x C 2C				— общее решение системы.
z ex 2C		C	cos x C 2C				sin x
	1	2			1	2

Задания для решения в аудитории

Задание №1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

y z 0

1.z y 0

y z			y y z
	z	2
2.			3.
z			z 5y 5z
	y

y z 0

4.z y 0

y y 2z

7.z 3y 4z

dx y2 ,

10.dy2 2 y1 3y2 ;

dx 2 y11

y y 2z 5. z 3y 4z

y y 2z 8. z y z

	dy1		y	y		,
			y	y	2	,
		1			2
11. dx
	dy2		y2 y1;
			y2 y1;
dx

y 2 y z 6. z y 2z

dy1 2 y ,

dx 2

9. dy2 2 y1;

dy1 y y ,dx 1 2

12 dy2 4 y1 3y2 .

dx		2x y,	dx		3x y,	dx		x y cost,


13. dt			14. dt			15. dt
	dy	4x 2 y;		dy	y 3x 2t.		dy	2x y;
dt			dt			dt

Задание №2. Найдите частное решение системы дифференциальных уравнений:

dy1

2 y

dy2

3y2 2 y1, y1 0 2, y2 0 3;

4x y,

y 2x, x 0 1, y 0 1;

dy1

4 y

dy2

2 y1 3y2 , y1 0 4, y2 0 3;

y 3x,

y 4x, x 0 2, y 0 2;

dy1

dy2

y1 y2 , y1 0 1, y2 0 2;

3x 4 y,

x 2 y, x 0 2, y 0 1.

x y,

5x 5 y, x 0 1, y 0 5;

dy1

7 y

dy2

y1 5y2 , y1 0 1, y2 0 2.

y y ,

4x x ,

y3 ,

3x1

x2 x3 ,

10.

dydx

y1 y2 , y1 0

1, y2 0 1, y3 0 4;

dxdt

x1 x2 , x1 0 1, x2 0 0, x3 0 4.

Задание №3. Решите систему дифференциальных уравнений методом интегрируемых комбинаций:

d 2 x

d 2 y

cos t,

x 0,

x y

1. dt

2. dt

3. dt

;

3y 0;

x y

2 y

y z,

dy1

dy2

dy3

4. dt x y t ,

y2 y3

y1 y3

y1 y2

x z t;

Задания для самостоятельного решения

Задание №2. Проинтегрировать систему ДУ.:

	y y z	y ex C1 cos x+ C2 sin x ,
1.		Ответ.	.
	z y z	z ex C1 sin x - C2 cos x .
	y 3y 2z
2.		Ответ. y e2 x C1 cos	3x+ C2 sin
	z 2 y z

3x ,

z e2 x

cos 3x

sin

3x .

y y 2z

Ответ. y C1e

, z C2e

2 C1e

+ C2e

z 4 y z

y 4 y 5z

Ответ.

y C e x + C ex

, z C e x

0,6 C ex .

z 3y

y 3y z

Ответ. y C e2x + C e 2x , z C e2x 5C e 2x.

z 5y 3z

y 4 y 3z

Ответ.

y ex C1 C2 x , z ex C1

C2 x

C2ex .

z 3y

Самостоятельная работа

Вариант 1.

1. Решите уравнение x1 y2 dx y1 x2 dy 0

3.Решите уравнение (xy y2 )dx x2dy 0

4.Решите уравнение 2yy ( y )2 1

5.Решите уравнение y 8y 16 y 0

6.Найдите общее решение уравнения y 6y 8y 5e2 x x2 .

Вариант 2.

1. Решите уравнение (3x 1)dy y2dx 0

2.	Решите уравнение		y		x
					x
		y		xe	2
		y	x	xe			при x 2.
3.	Найдите частное решение уравнения (x2 3y2 )dx 2xydy 0 из условия, что					y 1	при x 2.

4.Решите уравнение x( y 1) y 0

5.Решите уравнение y 6 y 9 y 0

6.Найдите общее решение уравнения y 3y x2 e3x .

					Вариант 3.
1.	Найти частное решение уравнения (xy2 x)dx (x2 y y)dy 0 , удовлетворяющее указанным
начальным условиям y 1 при x 0.
2.	Решите уравнение y	y	x 1	.
2.	Решите уравнение y			.
		x	x
3.	Найдите общее решение уравнения					y	y
					y e	x	y
					y e		x
							x
4.	Найти частное решение		yy ( y )2 ( y )3 ,				удовлетворяющее начальным условиям y(0) 1,
y (0) 2

5.Найдите общее решение y 2 y 15y 0

6.Найдите общее решение уравнения y 12 y 20 y sin 2x

Вариант 4.

1.Найдите частное решение уравнения (1 ex )yy ex , удовлетворяющее указанным начальным условиям y 1 при x 0.

2.Решите уравнение dydx 2xy x3 .

3.	Найдите общее решение уравнения	y	y2 .
		y	xy x2
4.	Найдите частное решение 2 y( y )3	y 0 , удовлетворяющее начальным условиям		y(0) 0 ,

y (0) 3.

5.Найдите общее решение уравнения y 36 y 0 .

6.Найдите общее решение уравнения y 5y 4 y ex .

Вариант 5.

1.Найдите общее решение ex y dx 1x dy 0

2.Решить уравнение y 4x y x y

3.Решить уравнение xy2dy (x3 y3 )dx

4.Найдите частное решение y ( y )2 y ( y 1) 0 , удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0) 2 , y (0) 2

5.Найдите общее решение уравнения y 3y 4 y 0

6.Найдите общее решение уравнения y 6 y 7 y ex 12 x2 x

Вариант 6.

1. Найдите общее решение уравнения 31 2x3 x6 dy x2 y2dx

2. Решите уравнение y 2 y e2 x

3. Решите уравнение y x2 y2

2x2

4. Найдите частное решение xy x(y )2 y 0, удовлетворяющее заданным 5. начальным условиям y(2) 2 , y (2) 1

5.Найдите общее решение уравнения y 7 y 8y 0

6.Найдите общее решение уравнения y 3y 10y 14e2 x

Вариант 7.

1. Найдите частное решение ex y dx ydy 0 , удовлетворяющее указанным начальным условиям

4.Найти общее решение уравнения x2 y xy 1.

5.Найдите общее решение уравнения 4 y 4 y y 0 .

6.Найдите общее решение уравнения y 2 y 8y x2 .

Вариант 8.

Найдите общее решение xy 2 y 2xyy .

Найдите частное решение

, удовлетворяющее указанным условиям

y 0

при x 0.

1 x2

Найдите частное решение уравнения x

из условия y( 2) 2 .

2xyy

4.Найдите общее решение уравнения x2 yy (y xy )2 .

5.Найдите общее решение уравнения 4 y 11y 6 y 0 .

6.Найдите общее решение уравнения y 2 y x 3.

Вариант 9.

1. Найдите частное решение дифференциального уравнения (x xy)dy ( y xy)dx 0 при условии y(1) 1.

2.Решите задачу Коши для дифференциального уравнения (x2 x) y y x2 (2x 1) при условии y( 2) 2

3.Найдите общее решение дифференциального уравнения (x2 y2 )dx 2xydy 0

4.Найдите общее решение дифференциального уравнения y ctg x y 2

5.Найдите общее решение дифференциального уравнения 3y 2 y 8y 0

6. Найдите общее решение дифференциального уравнения y	IV		9x	2
6. Найдите общее решение дифференциального уравнения y		3y	9x

Вариант 10.

1. Найдите общее решение дифференциального уравнения 4(x2 y y)dy 5 y2 dx 0 . 2. Найдите общее решение дифференциального уравнения xy y xy2 ln x .

3.Найдите общее решение дифференциального уравнения xy y xex

4.Найдите частное решение дифференциального уравнения y y y 2 y при условиях y(1) 2 ,

y (1) 0

5. Найдите общее решение дифференциального уравнения y 6 y 13y 0

Найдите частное решение дифференциального уравнения

y 6 y 9 y 10sin x при условиях

y(0) 0,6 ; y (0) 0,8.

Вариант 11.

Найдите общее решение дифференциального уравнения (1 ex ) y yex .

Решите задачу Коши для дифференциального уравнения

при условии y(1)

2 .

x 3

Найдите общее решение дифференциального уравнения dy

xy .

x2 y2

4.Найдите общее решение дифференциального уравнения xy y x2ex .

5.Найдите общее решение дифференциального уравнения y 7 y 6 y 0 .

6.Найдите общее решение дифференциального уравнения y 7 y 6 y (x 2)ex .

Вариант 12.

1. Найдите общее решение дифференциального уравнения x2 1 ydy ( y2 1)dx 0.

2.	Решите уравнение	y cos x y x3esin x .
3.	Решите уравнение	( y2 2xy)dx x2dy 0 .

4.Решите уравнение y y 9(x 1) .

5.Найдите общее решение дифференциального уравнения y 9 y 8y 0 .

6.Найдите общее решение дифференциального уравнения y 6 y 5y 4e3 x .

						Вариант 13.
1.	Найдите общее решение дифференциального уравнения x3 2 y3dy ( y4 1)x2dx 0 .
2.	Решите уравнение		3x	2	y sin x e	x2
2.	Решите уравнение	y	3x		y sin x e
3.	Решите уравнение	(3x2 5y2 )dy 3xydx
4.	Найдите частное решение уравнения ( y 1) y 2( y )2 при условии, что						y (0)=2, y (0)=2

5.Найдите общее решение дифференциального уравнения y 6 y 5y 0 .

6.Найдите общее решение дифференциального уравнения y y 12e3x .

Литература

1.Высшая математика: общий курс / под ред. С.А. Самоля. – Минск: Вышэйшая шк., 2000.

2.Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ,

1998.

3.Шипачев, В. С. Высшая математика. – М.: Высш. шк., 1985.

4.Гусак, А. А. Высшая математика: учебник для студентов вузов: в 2 т. – 3-е изд.,

стереотип. – Минск.: ТетраСистемс, 2001.

5.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 4 ч. / под общей ред.

А. П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 1990.

6.Руководство к решению задач по высшей математике. / под общей ред.

Е.Н.Гурского. – Минск: Вышэйшая школа, 1990.

7.Бубнов, В.Ф., Сухая, Т.А. Задачи по высшей математике. Ч.2. – Минск: Вышэй-

шая школа, 1993.

8.Гайшун, Л.Н. Сборник задач и упражнений по высшей математике. / Л.Н. Гай-

шун, Н.В. Денисенко, А.В. Марков, Л.В. Станишевская, Н.Н. Ящина – Минск:

Вышэйшая школа, 2009.

9.Учебное пособ. В 3 ч./ Под ред. А.П. Рябушко. Мн. Вышэйш. шк., 1991.

Учебное издание

Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий по высшей математике

со студентами инженерно-педагогических специальностей по теме «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

С о с т а в и т е л и:

С.Ю. Лошкарева, В.С. Якимович, Л.В. Бань

Редактор

Подписано в печать _____________2019.

Формат 60 84 116 . Бумага офсетная.

Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс.

Усл.печ.л. _______Уч.-изд.л.________Тираж________. Заказ_______

Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0131627 от 01.04.2004.

Проспект Независимости, 65, 220013, Минск.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]