Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий по высшей математике со студентами инженерно-педагогических специальностей по теме Дифференциальные уравнения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

х2	60 А 1
		А 160 ; В 0; С	1	; у	1	х3 (	1	х2 1)
х	24В 0
			2		2		30

х0 120 А 6С 1,

3)Составляем общее решение уравнения:

																sin x	1	x3 (	1	x2 1) .
		у	у		у . y c		c		x c x2			c		cos x c			1		1
		у	у		у . y c		c		x c x2			c		cos x c
						1		2	3			4		5		2			30
																2			30
Ответ: y c c x c x2				c		cos x c		sin x		1	x3 (		1		x2 1) — общее решение, где						c ,c ,c ,c ,c					—
Ответ: y c c x c x2				c		cos x c		sin x			x3 (				x2 1) — общее решение, где						c ,c ,c ,c ,c					—
1	2	3		4			5		2			30									1	2	3	4	5
									2			30

произвольные постоянные.

Пример 2. Решить уравнение y y x ex .

Решение.

y y x ex — линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n -го порядка с по-

стоянными коэффициентами, следовательно общее решение будем искать в виде суммы: y y y* . 1) Находим корни характеристического уравнения: у : у у 0 к2 1 0 k1 i, k2 i . По-

этому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y C1 cos x C2 sin x. 2) Частное решение исходного уравнения будем искать в виде

у : f (x) xex , y xre xU

(x), 1, 0, n 1, r 0.

у (Ах В)ех , подставляя в

данное уравнение, получим:

у ( Ах В)ех

у Аех ( Ах В)ех

(2А 2Ах

2В) ех х ех

у Аех Аех ( Ах В)ех

2А 2B 0

, В

(х 1)ех .

2A 1

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

1		1
y C1 cos x C2 sin x	x		ex .
y C1 cos x C2 sin x	x	2	ex .
2		2
			1		1
Ответ: y c1 cos x c2 sin x				x		ex — общее решение, где c1	,c2	— произвольные постоянные.
Ответ: y c1 cos x c2 sin x				x		ex — общее решение, где c1	,c2	— произвольные постоянные.
			2		2

Пример 3. Найти общее решение уравнения yIV 5y 4y 3sin x .

Решение.

yIV 5y 4y 3sin x — линейное неоднородное дифференциального уравнения (ЛНДУ) n -го порядка с постоянными коэффициентами, следовательно общее решение будем искать в виде суммы: y y y .

1) Находим корни характеристического уравнения: у : уIV 5у 4у 0 к4 5к2 4 0 Пусть

к2 t t2 5t 4 0, t1 4 , t2 1. Тогда:

sin x

cos x

k 2	4,	k1,2	2i
				у c1 cos 2x c2 sin 2x c3 cos x c4 sin x.
	1		i
k 2		k3,4

2) Находим частное решение неоднородного уравнения :

y : f (x) 3sin x. y xr e x (Us(x) cos x Vs (x sin x) , где

0, 1; i i; n m 0 s 0, r 1, тогда

4 y x(Asin x B cos x).


Находим А и В: 0		*
		*
		y Asin x B cos x x(Acos x B sin x)
5	y* Acos x B sin x Acos x B sin x x( Asin x B cos x 2Acos x 2B sin x x( Asin x B cos x)
5
0	y 2Asin x 2B cos x Asin x B cos x( Acos x B sin x) 3Asin x 3B cos x x(B sin x Acos x)
0

1 y IV 3Acos x 3B sin x B sin x Acos x x(B cos Asin x) 4Acos x 4B sin x x(B cos x Asin x).

Подставляя в данное уравнение, получим:

4Acos x 4B sin x x(B cos x Asin x) 5 2Acos x 2B sin x x( Asin x B cos x) 4x( Asin x

B cos x) 3sin x

6Acos 6B sin x 3sin x

6A 0

A 0, B

x cos x.

6B 3

3) Составляем общее решение уравнения:

sin 2x c cos x c sin x

y* c cos 2x c

x cos x

Ответ: y c cos 2x c sin 2x c cos x c sin x

x cos x — общее решение, где

c ,c ,c ,c — про-

извольные постоянные.

Пример 4. Решить уравнение y y 2 y cos x 3sin x .

Решение.

y y 2 y cos x 3sin x — линейное неоднородное дифференциального уравнения (ЛНДУ) n

-го

порядка с постоянными коэффициентами,

следовательно общее решение будем искать в виде

суммы: y

y* .

1) Находим корни

характеристического уравнения:

y y 2 y 0

k2 k 2 0 k

1, k

2 .

Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

C ex C e2x .

2) Частное решение исходного уравнения будем искать в виде

y* Acos x B sin x ,

поскольку: 1)

0, 1, i i

не являются корнями характеристического уравнения, следовательно, r 0 ; 2)

m n 0 , следовательно,

l 0 . Получаем P

B .

Находим А и В: y

Asin x Bcos x,

y Acos x Bsin x. Следовательно, получаем

Acos x Bsin x Asin x Bcos x 2Asin x 2Bcos x cos x 3sin x.

Группируя неизвестные коэффициенты при и получаемB 3A cos x 3B A sin x cos x 3sin x . Сравниваем коэффициенты в левой и правой части тож-

B 3A 1	A 0, B 1. Получили				y* sin x .
дества при	A 0, B 1. Получили				y* sin x .
3B A 3
3) Составляем общее решение уравнения:		y	y	y* C ex C e2x sin x.
					1	2

Ответ: y C1ex C2e 2x sin x — общее решение, где c1,c2 — произвольные постоянные.

Пример 5. Найти частное решение уравнения y 3y xe x , удовлетворяющее начальным усло-

виям: у(0) 1, у (0) .

Решение.

y 2y xe x — линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n -го порядка с постоянными коэффициентами, следовательно общее решение будем искать в виде суммы: y y y .

1) Находим корни характеристического уравнения:

у 2у 0 к2 2к 0 к(к 2) 0 к1 0, к2 2 у с1 с2е2х

2) Находим частное решение неоднородного уравнения :
у : f (x) xe x , y xre xU									n	(x), 1, n 1, r 0.														у (Ах В)е х ,											подставляя в
									n
данное уравнение, находим А и В:
0			у ( Ах В)е х
0			у ( Ах В)е х


2			у Ае х ( Ах В)е х																		( 2А Ах В 2А 2Ах 2В)е х хе х



1		у Ае х Ае х ( Ах В)е х
1		у Ае х Ае х ( Ах В)е х


																( 4А 3В 3Ах)е х хе х
							3А 1												1							4				у		1			4)е х .
																	А				, В													(3х
																	А				, В													(3х
							4A						3B 0						3							9						9
																												у с с е2 х							1	(3х 4)е х .
3) Составляем общее решение уравнения:																		у у у ,																	1
3) Составляем общее решение уравнения:																		у у у ,
																														1		2			9
																																			9
4) Находим				частное			решение									данного		уравнения,											удовлетворяющее										начальным условиям
y 0 1, y 0 0 :
																у с с е2 х							1		(3х 4)е х ,
																у с с е2 х									(3х 4)е х ,
																1	2					9
																						9
																у 2с е2 х				1	е х						1	(3х 4)е х .
																у 2с е2 х					е х							(3х 4)е х .
																2			3							9
																			3							9
Подставляя начальные условия y 0 1, y 0 0 , будем иметь:
														4					1
						1 с1 с2											c1					,							1		1				1			4
						1 с1 с2								9			c1		2			,							1		1				1			4
														9					2						у								е2 х				х		е х .
																			1						у								е2 х				х		е х .
						0 2с						1			4		c		1					,					2 18						3			9
						0 2с											c							,
								2			3			9				2	18
											3			9					18
Ответ: у	1				1	е2 х	1	х			4			е х		— частное решение.


	2				18		3				9

Пример 6. Найти частное решение уравнения y y 3sin x , удовлетворяющее начальным условиям: y 0 y 0 0.

Решение.

y y 3sin x			— линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n							-го порядка с
постоянными			коэффициентами, следовательно общее решение				будем искать		в	виде суммы:

y	y	y .
1) Находим корни характеристического уравнения: у у 0 к2							1 0 к1	i
								i
							к2	i
						y C1 cos x C2 sin x
2) Частное			решение	y*	ищем в виде y* x Acos x Bsin x .		Поскольку	по		правой части
f x 3sin x, 0, 1,				i	i являются корнями характеристического уравнения кратности 1

r 1 ; m n l 0 . Находим А и В:

y* x Asin x B cos x Acos x Bsin x

и y* Asin x B cos x x Acos x Bsin x Asin x B cos x .

Подставляем

исходное

уравнение

получаем:

y y 2Asin x 2B cos x 3sin x

2A 3, 2B 0 A

, B 0. Следовательно,

x cos x.

y C cos x C sin x

x cos x.

3) Составляем общее решение уравнения:

у ,

4) Находим

частное решение

данного

уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

y 0 0, y 0 0 .

Постоянные C1 и C2 найдем, используя начальные условия.

Имеем y C1 sin x C2 cos x 32 cos x 32 x sin x. Далее,

y 0 C1 cos 0 C2 sin 0 32 0 cos 0 C1,

y 0 C1 sin 0 C2 cos 0			3	cos 0		3	0 sin 0 C2	3
y 0 C1 sin 0 C2 cos 0			2	cos 0		2	0 sin 0 C2	2
			2			2		2
C 0,
1		C1	0,		C2	3
Получаем систему уравнений:	3						. Таким образом, частное решение,
Получаем систему уравнений:	3						. Таким образом, частное решение,
C2		0.				2
C2	2	0.				2
	2

удовлетворяющее заданным условиям имеет вид y 32 sin x 32 x cos x.

Ответ: y 32 sin x 32 x cos x.— частное решение.

Задания для решения в аудитории

Задание №1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1. y 4y 4 y e2 x sin 2x

4. y 2y y e2x

7. y y 2 y 8sin 2x

10. y y 2y 6x2

13. y 2y 5y 2sin x.

16. y 6y 13y e 3x cos 4x. y 4y 4y e2x sin 3x.

2. y 6y 5y 4ex	3. y 3y 2y ex
5. y y cos x	6. y y x sin x
8. y 4y 8x3	9. y 3y 9x
11. y 4 y sin x	12. y 2y 5y sin 2x.
14. y 9y e3x cos x	15. y 4y 4y e2x sin 6x.
17. y 4y 4y e2x sin 5x.	18.
	54

19. y 6y 13y e 3x cos 5x.	20. y 6y 13y e 3x cos x.	21. y 4y 4y e2x sin 4x.
22. y 4y 4y e2x sin 4x.	23. y 6y 13y e 3x cos8x.	24. y 2 y 5y 17 sin 2x.
25. y 2 y 5y cos x.	26. y y 2cos 7x 3sin 7x.	27. y y 2cos 5x 3sin 5x.
28. y y 2cos 7x 3sin 7x.	29. y y 2cos 4x 3sin 4x.	30. y y 2cos 3x 3sin 3x.
31. y 2y 5y 10 cos x.	32. y 2y 4ex (sin x cos x).	33. y 2y 2ex (sin x cos x).
34. y 2y ex (sin x cos x).	35. y 2y 10ex (sin x cos x).	36. y 2y 3ex (sin x cos x).

37. y 4y 8y ex (5sin x 3cos x). 39. y 4y 8y ex (2sin x cos x).

41. yIV 2 y y 2 cos x 3sin x . 43. y 4 y y 6 y ex .

38. y 4y 8y ex (3sin x 5cos x). 40. y 2y 6ex (sin x cos x).

42. y y 4 y 4 y e x (cos 2x x sin 2x).

44. y y 2x ex .

45. y y x2 ex sin x	46. y 3y e3x cos x
47. y 2y y e x (cos x x)	48. y y 2sin xsin 2x.

Задание №2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

1.	y 2y 2ex , y 1 0,		y 1 1.
2.	y 4 y x, y 0 ,		y 0 1
	2	y 0 0,8,		y 0 0,6
3.	y 6y 9y 10sin x,
4.	y y 2x, y 0 0,		y 0 y 0 2
5. y 2y 2y 4ex cos x,		y e ,		y e
6.	yIV y 8ex , y 0 1, y 0 0, y 0 1, y 0 0
7.	y 3y 2 y e3x x2 x , y 0 2,				y 0 1
8.	y 4y 4 sin 2x cos 2x , y y 2

9.	y 9 y ctg3x,			0,
9.	y 9 y ctg3x,	y		0,
			6

		8
y	6	3

10. y 4 y x2 , y(0) 2, y (0) 158 , y (0) 4.

3y e

11.

, y(0) 48 ,

y (0) 48

;

12.

y 2 y 4,

y(0) 2,

y (0) 0;

13.

y y x,

y(0) 4,

y (0) 3, y (0) 1.

14.

y y x2 ,

y(0) 2, y (0) 4;

15.

y 2y y ex sin x,

y(0) 1,

y (0) 2;

16.

y 9y cos3x,

y(0) 1,

y (0) 3;

y xe

y (0)

17.

y(0) 4 ,

2 .

Задание №3. Решить уравнение методом Лагранжа:

y y x;

y y

2. y y 2sin x

3. y 3y x 2

sin x

y 7 y 6 y cos x

5. y 4 y 4x

6. y 2 y 3y e2x

7. y 4 y

8. y y x

y 25y cos5x

cos 2x

10.

y 4y tg 2x

11. y 4 y 4 y

e2 x

12.

y y

cos x

sin2 x

13.

y 4 y

cos3 2x

Задание №4. Найти общее решение методом Лагранжа:

9x2 6x 2

;

y y e2x 1 e2x ;

2. y 6 y 9 y

y y

4x2

;

4. y 2 y y

x2 2x 2

x x

Задания для самостоятельного решения

Задание №5. Решить уравнения:

1.y 12 y 40 y 2e6 x . Ответ. y e6x C1 cos 2x C2 sin 2x 12 e6x .

2.y 9y 4cos x 8sin x. Ответ. y C1 cos3x C2 sin 3x 12 cos x sin x.

3.y 5y 6 y 3cos x 19sin x. Ответ. y C1e3x C2e2x 115 cos x 85 sin x.

4.6 y y y 21e2 x . Ответ. y C1e2 C2e 3 e2 x .

5.y 8y 25y 18e5 x . Ответ. y e 4 x C1 cos 3x C2 sin 3x 15 e5x .

Задание №6. Найти частное решение ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

1. y 4y 5y 5x2 32x 5, y 0 4, y 0 0. Ответ.		y e 2 x 2sin x 3cos x x2							8x 7.
2. y 4y 20y 16x2e2x , y 0 y 0 1. Ответ.	y e2 x			7	cos 4x	1	sin 4x	e2 x x2			1	.

			8			4				4

3. 4y 4y y 25cos x, y 0 1, y 0 2 Ответ. y e2			2		x	3cos x	4sin x.
		x

4. y y 2x 1, y 0 1, y 0 0. Ответ.	y 2 3e x		x2	3x.
5. y 16y 8cos4x, y 0 2, y 0 4. Ответ.	y 2cos 4x sin 4x x 1 .

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Определение 1. Система дифференциальных уравнений вида

	dy1			f1 x, y1, y2 ,	, yn ,

	dx
		dy2		f2 x, y1, y2 ,	, yn ,

	dx
	............................................
	dy		n	fn x, y1, y2 ,	, yn ,


	dx
где y1, y2 , ..., yn –	искомые функции переменной x, называется нормальной системой. Совокуп-
ность n функций	y1, y2 , ..., yn , удовлетворяющих каждому уравнению этой системы , называется

решением этой системы. Задача Коши для данной системы состоит в нахождении решения этой системы, удовлетворяющего начальным условиям: y1(x0 ) y10 , y2 (x0 ) y20 , …, yn (x0 ) yn0.

Основные методы интегрирования нормальных систем — метод исключения (позволяет свести нормальную систему из n линейный дифференциальных уравнений к одному линейному дифференциальному уравнению n-го порядка относительно одной неизвестной функции) и метод интегрируемых комбинаций (заключается в том, что посредством арифметических операций из уравнений системы получают легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции).

dy	z2		sin x,

Пример 1. Решить систему ДУ dxdz		y	, используя метод исключения.
			;

dx		2z

Решение.

Дифференцируем первое уравнение системы по x:

d 2 y

cos x.

Подставив в полученное

dx2

уравнение из второго уравнения системы выражение вместо

, имеем:

d 2 y

cos x или

dx2

d 2 y

y cos x.

Уравнение

d 2 y

y cos x

— линейное неоднородное дифференциальное уравнение

dx2

2-го

порядка

со специальной правой

частью. Его соответствующее

однородное уравнение:

y y 0.

Характеристическое уравнение последнего: 2 1 0,

корни которого

1. Тогда общее реше-

1,2

ние однородного уравнения:

C1e x C2ex . Найдем

частное решение полученного неоднородно-

го уравнения

d 2 y

y cos x. в виде: y*

Acos x Bsin x ,

где A, B – неопределенные коэффициен-

dx2

ты.

y* Acos x B sin x.

Подставляем их в урав-

Вычисляем производные: y* Asin x Bcos x,

нение

d 2 y

y cos x , группируем относительно sinx и cosx, приравниваем коэффициенты. Получаем

dx2

2 A 1,

систему 2B 0,

из которой находим

, В 0. Общее решение дифференциального уравне-

ния 2-го порядка:

y C e x C ex

cos x

Возвращаемся к первому уравнению заданной системы, из

которого выражаем z2 :

sin x. Подставляя в это уравнение продифференцированное общее

решение y C e x C ex

cos x

получим:

z2 C ex C e x

sin x

Функции

z2 C ex C e x

sin x

. и

y C e x

C ex

cos x

. составляют общее решение заданной системы.

y 1,

Пример 2. Решить систему ДУ

, используя метод интегрируемых комбинаций.

x 1.

Решение.

Сложим

оба

уравнения системы, получим:

x y 2

или (x y) x y 2.

Обозначим

x y z,

где z z(t), получим: z z 2 – уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его

в виде:

		dz	z 2	dz		dt.
			z 2	z	2	dt.
		dt		z	2
Отсюда находим z C1et 2.	Возвращаемся к старым переменным: x y C1et 2.							Выразим теперь y
через x: y C1et 2 x. Продифференцируем это равенство и подставим вместо							dy	во 2-е уравнение
							dt	во 2-е уравнение
							dt

системы: y C1et x . После подстановки получим уравнение вида: C1et x x 1 x x C1et 1 —

это линейное

уравнение 1-го порядка.

Решим

его методом Бернулли. Пусть x uv, тогда

u v uv uv C1et

Отсюда v e t ,

e2t

et C2 ,

тогда

x t

C2e t 1,

C2e t 1.

Это и есть общее решение исходной системы.

Определение 2. Система дифференциальных уравнений вида

dy1

a y

... a y ,

... a

21 1

....................................... ,

an1 y1

an2 y2

... ann yn ,

где a11,..., ann – числа, называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с

постоянными	коэффициентами.	Решение	данной	системы	ищут	в	виде:
y1 1e x , y2 2e x , ..., yn ne x , где		1, 2 , ..., n ,	– постоянные, которые подбираются по системе.

Подставляя эти функции в исходную систему, получаем систему n алгебраических уравнений с n

(a11				)			1 a12			2	... a1n n					0,
a						(a		)			... a					0,
неизвестными:		21		1			22			2				2n	n
......................................................
									... (ann ) n							0.
an1 1 an2 2									... (ann ) n							0.
dy					a		y a					... a
		1								y					y ,
dx										y					y ,
dx						11	1		12		2			1n		n
						11	1		12		2			1n		n
dy
			2			a21 y1 a22 y2							... a2n yn , имела ненулевое решение, необходимо и достаточно,
			2
Чтобы система	dx
....................................... ,
dy			n			an1 y1			an2 y2				... ann yn
			n

dx
																	a11		a12	...	a1n
																	a11		a12	...	a1n
чтобы ее определитель был равен нулю:																		a21	a22	...	a2n	0.	Полученное уравнение
чтобы ее определитель был равен нулю:																		...	...	...	...	0.	Полученное уравнение
																		...	...	...	...
																		an1	an2	...	ann

называется характеристическим уравнением системы. Оно имеет n корней, вид которых опреде-

	dy				a y	a y	a y ,
		1
	dx
				11 1		12 2	1n n

	dy		2
ляет решение системы					a21 y1	a22 y2 ...	a2n yn ,

	dx
	.......................................						,
	dy		n		an1 y1	an2 y2	ann yn .


	dx

Правило нахождения общего решения системы линейных однородных уравнений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами включает в себя реализацию следующих шагов:

Любому

простому

действительному корню

характеристического уравнения

a11

a12

...

a1n

a21

a22

...

a2n

соответствует решение

y11 11e 1x ,

y21

21e 1x , ...,

yn1 n1e 1x , где ко-

...

an1

an2

...

ann

(a11

)

1 a12 2

...

a1n n

эффициенты

, ,

)

... a

при найденном ,

определяют из системы 21

......................................................

an2 2

(ann ) n 0.

an1 1

(a11

1 )

a12 2

...

a1n n

т.е.

)

...

Тогда общее решение исходной системы записывают в виде:

......................................................

(ann 1 ) n 0.

an1 1 an2 2

y1 C1 y11 C2 y12 ...

Cn y1n ,

y2 C1 y21 C2 y22 ...

Cn y2n,

................................................

yn C1 yn1 C2 yn2

Cn ynn , где C1,C2 ,...,Cn

– произвольные постоянные.

2. Каждому комплексному корню 1 a bi

и ему сопряженному 2

a bi

соответствуют два ли-

нейно-независимых действительных решения. Для построения этих решений находим комплекс-

ное решение по формуле y1 1e x , y2 2e x , ..., yn ne x , для корня 1 , как и в случае 1, и выделяем действительную и мнимую части этого решения (корень 2 уже не рассматриваем, так как но-

вых решений исходной системы он не дает).

3. Если – корень кратности k, то решение, соответствующее этому корню, ищут в виде:

y P (x)e 0 x ,

(x)e 0 x , ..., y

(x)e 0 x ,

где

(x)

– многочлен с неопределенными коэффи-

1 k 1

k 1

P i

циентами степени k 1,

i 1, n. Чтобы найти коэффициенты многочленов

(x), i 1, n, подставля-

k 1

dy1

y ... a

y ,

0 x

a21 y1

a22 y2

... a2n yn ,

ем решение

y1 Pk 1(x)e

, y2 Pk 1

(x)e

, ...,

yn Pk 1 (x)e

в систему dx

....................................... ,

an1 y1

an2 y2

... ann yn ,

приравниваем коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравнений. Выразив все коэффициенты через любые k, полагаем по очереди один из них равным единице, а остальные равными нулю.

Пример 3. Решить систему однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффици-

	dy1				y	8 y		,

	dx
ентами:	dx			1			2	.
		dy	2		y	y	;
					y	y	;
	dx			1		2
	dx
										Решение.
												8
Составим характеристическое уравнение системы:											1	8	0. Вычисляя определитель, полу-
											1	1
чаем 2	9,		откуда 3,							3 — простые действительные корни, тогда частные решения систе-
							1		2

										(a11		1 ) 1		a12 2		... a1n n		0,
мы ищем в виде: y (x)						e x . При 3				a			(a	)		... a		0,
мы ищем в виде: y (x)			e x ,	y (x)	2	e x . При 3			система		21	1	22	1	2	2n	n
		1	1	2	2		1			......................................................
													an2 2 ... (ann 1 ) n					0.
										an1 1			an2 2 ... (ann 1 ) n					0.
вид:							4 1
							4 1	8 2 0,
							1 2 2 0.
Эта система имеет бесконечное множество решений. Для определенности положим 1																	2,
	2	1. Получаем частные решения: y				(x)	2e 3x ,	y	(x)	e 3x .
	2				11			21

имеет

тогда

При 2 3

Положим

y22 (x) e3x

(a11	1 ) 1		a12 2			...	a1n n		0,		2 1 8 2 0,
a		(a	)			...	a		0,	принимает вид:
система 21	1	22	1		2		2n	n
......................................................		an2 2		(ann 1 ) n					0.		1 4 2 0.
an1 1
1 4, тогда	2 1.		Значит,				корню		2 3 соответствуют		частные решения: y12 (x) 4e3x ,

. Таким образом получаем общее решение исходной системы:

y1 (x) 2C1e 3x 4C2e3x ,y2 (x) C1e 3x C2e3x .

Ответ: y1 (x) 2C1e 3x 4C2e3x , — общее решение системы.

y2 (x) C1e 3x C2e3x .

Пример 4. Решить систему однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффици-

3x y,

ентами:

5 y x.

Решение.

Составим

характеристическое уравнение

системы:

0, которое

приобретает

вид

(3 )(5 ) 1 0 или 2 8 16 0. Уравнение имеет двукратный корень 4.

Ему соответствует

решение вида: x(t) ( At B)e4t ,

y(t) (Ct D)e4t . Продифференцируем функции x(t) и y(t) и подста-

e4t ( A 4At 4B) e4t (3At 3B Ct D),

Сокращаем на e

0 и группируем.

вим в исходную систему:

(C 4Ct 4D) e

( At B 5Ct

5D).

A C 0,

Получаем систему для коэффициентов: A B D 0,

B C D 0.

Так как кратность корня 4

равна двум (k = 2), то выразим все коэффициенты последней си-

стемы через любые два, например, через A и B: C A,

Полагая A 1, B 0, находим

C 1,

D A B.

D 1. Полагая A 0, B 1, находим C 0,

D 1. Получаем два линейно-независимых частных ре-

шения:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]