Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий по высшей математике со студентами инженерно-педагогических специальностей по теме Дифференциальные уравнения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

		x
				3		3
Ответ: y C1ex e					x C3 sin				C1,C2 ,C3 —произвольные по-
	2		C2 cos				x	. — общее решение, где
				2		2

стоянные.

В дальнейшем будем объединять второй и третий шаг.

Пример3. Решить уравнение yIV y 0.

Решение.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффи-

циентами.
1.	Составим характеристическое уравнение: k 4 1 0. Решим его:
	(k2 1)(k2	1) 0;	k 1;		k	2	1;	k i;	k	4	i.
			1			2		3		4
2.	Находим линейную	комбинацию		найденных				и	составляем общее решение:

y C1ex C2e x C3 cos x C4 sin x .

Ответ:	y C ex C e x C			cos x C sin x — общее решение, где	C ,C ,C ,C				—произвольные по-
	1	2	3	4	1	2	3	4

стоянные

Пример4.. Решить уравнение y 4 y 4 y 0.

Решение.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

1. Составим характеристическое уравнение: k2 4k 4 0;		k k	2	2.
		1	2
2. Находим линейную комбинацию найденных решений		и составляем общее решение:
y C e2x C xe2x ..
1	2

Ответ: y C1e2x C2 xe2x .— общее решение, где C1,C2 —произвольные постоянные Пример 5. Решить уравнение y 2 y 5y 0.

Решение.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

1. Составим		характеристическое уравнение:	k2 2k 5 0;		D 16;	k 1 2i;
						1
	k2 1 2i.
2. Находим		линейную комбинацию найденных решений и			составляем	общее решение:
	y e x (C cos 2x C sin 2x).
	1	2
Ответ:	y e x (C cos 2x C sin 2x). — общее решение, где C ,C —произвольные постоянные
	1	2	1	2

Пример 6. Решить уравнение y 7 y 6 y 0.

Решение.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

1.	Составим		характеристическое	уравнение:			k3 7k2	6k 0;	k(k2 7k 6) 0;
k1 0;		k2 1;	k 3 6;
2.	Находим линейную комбинацию			найденных		решений и		составляем	общее решение:
y C C ex C e6x ; .
	1	2	3
Ответ: y C		C ex C e6x ; — общее решение, где C ,C ,C					—произвольные постоянные.
	1	2	3	1	2	3

Пример7. Решить уравнение y y 2 y 0.

y 2C1e2 x

Решение.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

1. Составим характеристическое уравнение: k2 k 2 0;	k 1;	k	2	2 .
	1		2

2. Находим линейную комбинацию найденных решений и составляем общее решение: y C1e x C2e2x .

Ответ: y C1e x C2e2x — общее решение, где C1,C2 —произвольные постоянные.

Пример8. Решить уравнение yV 9y 0.

Решение.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

1.	Составим			характеристическое		уравнение:		k5 9k3		0;		k3 (k2 9) 0;
k1 k2 k3 0;				k4 3;	k5 3.
2.	Находим линейную комбинацию найденных решений						и	составляем				общее решение:
y C C x C x2				C e3x	C e 3x .
	1	2	3	4	5
Ответ:	y C	C x C x2 C e3x C e 3x — общее решение, где					C ,C ,C ,C ,C					—произвольные
	1	2	3	4	5		1	2	3	4	5

постоянные.

Пример 9. Найти частное решение уравнения y y 2 y 0 , удовлетворяющее начальным усло-

виям: y 0 0,		0 3 .
	y

Решение.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

1. Составим характеристическое уравнение: k2 k 2 0 . Оно имеет два различных корня

k1 2, k2 1.

2. Находим линейную комбинацию найденных решений и составляем общее решение:

y C1e2 x C2e x .

3. Находим частное решение. Для этого подставляем начальные условия в общее решение и находим его производную C2e x , получаем систему уравнений относительно


C1	и C2	0 C1		C2	. Решая ее получаем C1	1, C2	1. Значит, частное решение, удовлетворя-
		:	2C1 C2
		3

ющее поставленным начальным условиям, имеет вид y e2 x e x . Ответ: y e2 x e x — частное решение.

Задания для решения в аудитории

Задание №1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

1.	y y 0 .		2. yIV y 0.		3. y 4 y 4 y 0.
4.		y 2 y 5y 0.	5.	y 7 y 6 y 0.	6. y y 2 y 0.
7.		yV 9y 0.	8.	y 6 y 8y 0	9. у 4 y 0
10.		уIV 2y y 0	11. у y y y 0.		12. у 4 у 29 у 0.
13.		yIV 2y 2y 0.	14. yIV 8y 0;		15. yIV 4y 4y y 0.

Задание №2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

1. y 6y 10y 0, y 0 1, y 0 0 .

2. y 8y 16y 0, y 0 1, y 0 0 .

3. y 7 y 6y 0, y 0 2, y 0 0 .
5.	y y 0, y 1, y 4 .
		y											1
7.		y		2 y 10 y 0, y		2	0, y				2		1
						2					2
9.	y 16y 0, y 1, y 2
11.		y 5y 6y 0, y 0 5, y 0 0
13.		y 2y 0, y(0) 1,			y (0) 1,			y (0) 1;
15.		y	IV	16y 0, y(1) 1,									y
15.		y		16y 0, y(1) 1,	y (1) 2,				y (1) 3,				y	(1) 4.
16.		yIV		4y 8y 8y 4y 0, y						1,		y			2,

									2					2

4.					1.
4.	y 4 y 17 y 0, y		0, y		1.
		2		2

	6. y 2y y 0, y 2 0, y 2 6 .
	8. y 6y 0, y 0 2, y 0 2
	10.	y 9y 0, y 0, y 1
	12.	y 7 y 12y 0, y 0 2, y 0 2
	14.	y 5y 6y 0, y(0) 2, y (0) 3,		y (0) 4;

y	3, y		4.
	2	2

17. yV 8yIV 16y 0,

y(0) 4,

y (0) 3,

y (0) 2,

y 0 1,

yIV (0) 1.

Задания для самостоятельного решения

Задание №3. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.y 4 y 8y 0. Ответ. y e2x C1 cos2x C2 sin 2x .

2.y 9 y 0. Ответ. y C1 cos3x C2 sin3x.

3.y 2 y 0. Ответ. y C1 C2e 2x.

4.y 6 y 13y 0. Ответ. y e 3x C1 cos 2x C2 sin 2x .

5.y 2 y 2 y 0. Ответ. y e x C1 cos x C2 sin x .

6.y 25y 0. Ответ. y C1 cos5x C2 sin5x.

7.y 4 y 0. Ответ. y C1 C2e4x.

8.y 2 y 10 y 0. Ответ. y ex C1 cos3x C2 sin3x .

9.y 2 y 8y 0. Ответ. y C1e4x C2e 2x.

10.y 16 y 0. Ответ. y C1 cos 4x C2 sin 4x.

Задание №4. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

y 4y 20y 0, y 0 y 0 1.

Ответ. y e

2 x

cos 4x

sin 4x .

y 2y y 0,

y 0 2,

y 0 1. Ответ. y ex 3x 2 .

y 2y 5y 0,

y 0 2,

y 0 0. Ответ.

y ex 2cos 2x sin 2x .

y 4y 0, y

2 x

Ответ. y 2 e

2 e .

y 3y 2y 0,

y 0 1,

y 0 2. Ответ.

y 3e2x 4ex.

y 2y 0, y 0 1,

y 0 2.

Ответ.

y e 2x .

y 7 y 12y 0,

y 0 0,

y 0 2. Ответ.

y 2e4x 2e3x.

y 0 2,

y 0 4.Ответ.

e x .

8. 4y 3y y 0,

9. y 4y 5y 0,

y 0 4,

y 0 0. Ответ.

y e 2x 4cos x 8sin x .

y 0 1,

y 0 2. Ответ.

10. 4y 4y y 0,

y e2

x .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами

Определение 1. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: у(п) а1 у(п 1) ... ап 1 у ап у f (x), где ai R, i 1, n, f (x) — непре-

рывная функция.
Теорема. Общее	решение	линейного неоднородного дифференциального уравнения
y(n) p (x) y(n 1) ... p (x)y f (x)		в некоторой области есть сумма частного его решения и общего
1	n

решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким-то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором. Рассмотрим два основных метода решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений n -го порядка с постоянными коэффициентами.

Метод Лагранжа. Лагранж разработал общий метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Метод применим, если известно общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению. Этот метод называется методом вариации произволь-

ных постоянных или методом Лагранжа.


Пусть у с1 у1	с2 у2 ... сп уп — общее решение однородного уравнения
	у(п) а у(п 1) ... а			у1 а у 0	,
		1	п 1	п
соответствующего	неоднородному	уравнению	у(п) а1 у(п 1)		... ап 1 у ап у f (x),	где

ai R, i 1, n, f (x) — непрерывная функция.
Метод Лагранжа состоит в том, что общее решение уравнения ищется в виде:

у с1(х)у1 с2 (х)у2 ... сп (х)уп ,

где с1(х),с2 (х),...,сп (х) – неизвестные функции. Эти функции определяются из системы:

с (х) у		с (х) у			... с (х) у						0
1	1	2		2			п			п
с (х) у с (х) у					... с (х) у						0
1	1	2		2			п			п
...
с (х) у (п 1) с (х) у (п 1)							... с (х) у (п 1)						f (x)
	1		2			2				п		п
1	1		2			2				п		п
Например для уравнения второго порядка			у p y p y f (x)									данная система имеет вид:
						1	2
		c 1	(x) y c 1				(x) y		0
		1			1	2		2
		c 1	(x) y 1			c 1 (x) y			1	f (x)
		1			1	2		2
Суть метода Лагранжа для решения уравнения y py qy												f x	состоит в следующем:

1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y py qy 0 и записыва-

ем его в виде: y c1 y1 c2 y2 , где c1 и c2 произвольные постоянные.

2) Для нахождения общего решения неоднородного уравнения y py qy f (x) записываем его в виде

y c1(х) у1 с2 (х) у2 ,

где c1 x и c2 x — неизвестные функции, они должны быть такими, чтобы удовлетворялось неоднородное уравнение.

3) Находим выражения для производных функций c1 x и c2 x . Для этого составляем систему уравнений:

с (х) у с (х) у					2	0
	1	1	2		2
			с (х) у			f (х)
с (х) у			с (х) у			f (х)
	1	1	2		2
4) Найденные из этой системы производные c1 x				и c2 x интегрируются и выражения			c1 x и

c2 x подставляются в общее решение со своими произвольными постоянными c1 и c2 , полученными при интегрировании.

Для реализации решения дифференциального уравнения y(n) an 1(x)y(n 1) ... a1(x)y a0 (x)y f (x), используя метод Лагранжа, необходимо сделать следующее:

1.Записать соответствующее однородное дифференциальное уравнение.

2.Найти фундаментальную систему частных решений: y1 y1(x), y2 y2 (x), ..., yn yn (x) , соответ-

ствующего однородного дифференциального уравнения.

3. Найти общее решение однородного уравнения в виде y C1 y1 C2 y2 ... Cn yn , , где C1, C2 ,

..., Cn

– константы.

Решение заданного

неоднородного

дифференциального

уравнения

искать

виде

y C1 y1 C2 y2

... Cn yn , , но считать, что C1

C1 (x), C2

C2 (x), ...,

Cn Cn (x)

– функциональные

коэффициенты, которые надо найти.

5. Для нахождения коэффициентов Ck (k 1,n)

решения уравнения

y C1 y1

C2 y2 ... Cn yn ,

необ-

ходимо записать систему уравнений:

C (x) y (x) C

(x) y

(x) ... C

(x) y

(x) 0,

C (x) y (x)

(x) y

(x) ... C

(x) y

...........................................................................,

C (x) y(n 2)

(x) C

(x) y(n 2) (x) ... C

(x) y(n 2)

(x) 0,

C (x) y(n 1)

(x) C

(x) y(n 1) (x) ... C (x) y(n 1) (x) f (x).

6. Решить систему относительно C ,...,C

и получить C (x) (x),

,C (x) (x).

7. Проинтегрировать полученные равенства для C (x), k

и найти

1, n

C1 (x) 1 (x)dx C1, ..., Cn (x) n (x)dx Cn , где C1,...,Cn – произвольные постоянные.

Подставить

полученные

выражения

вместо

C1, C2 , ..., Cn

записанное

решение

y C1 y1 C2 y2

... Cn yn , . Это и есть общее решение заданного дифференциального уравнения

y(n) an 1(x)y(n 1) ... a1(x)y a0 (x)y f (x) .

2ex

Пример 1. Найти общее решение уравнения у

y ex

1 .

Решение.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y y 0 :

			у	ех	у ех , y е х
к2 1 0	к 1 у с ех с е х		у	ех
к2 1 0	к 1 у с ех с е х		1
	1	2	у	е х	1	2
			у	е х
			2

2)Записываем общее решение неоднородного уравнения: у с1(х)ех с2 (х)е х .

3)Для нахождения производных функций c1 x и c2 x составляем систему:

с (х)ех с (х)е х 0

с (х)ех с (х)е х

2е

с (х)ех с (х)е х

с (х)е х с (х)е х

ех 1

2ех

ех 1

Во втором уравнении системы получим: с (х)е х

с (х)е х

2ех

с (х)

е2 х

с (х)

ех 1

4) Интегрируя найденные с (х)

и с (х) , получим:

1 ex ex

(ex 1) ex

exdx

с (х)

x ln(ex 1) c

ex 1

e2 x dx

ex 1 t

c (x)

exdx dt

dt (t

ln t) (ex 1 ln

ex 1

) c

(1 ex lп

ex 1

) с

ex t 1

Общее решение данного уравнения имеет вид: y ex (c x lп

ex 1) e x

(1 ex lп

ex 1

c ).

Метод неопределенных коэффициентов (метод Эйлера) Рассмотрим неоднородное дифференци-

альное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами			y(n) a y(n 1) ... a y f (x) , где
			1	n

ai R, i 1,	n	, f (x) – непрерывная функция.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n				-го порядка представля-

ется в виде суммы: y y y* , где y — общее решение соответствующего линейного однородного

дифференциального уравнения n -го порядка

a0 y n x a1 y n 1 x ... an 2 y x an 1 y x an y x 0

с постоянными коэффициентами, а y* — частное решение линейного неоднородного дифференци-

ального уравнения n -го порядка. Рассмотрим метод, который применим, если правая часть уравне-

ния

a0 y n x a1 y n 1 x ... an 2 y x an 1 y x an y x f x

в общем случае имеет вид: f x P x e x cos x Q x e x sin x , где P x и Q x — одночлены или многочлены (в общем случае различных степеней от x ). Пусть при этом n — наивысшая степень одного из многочленов P x или Q x .

Алгоритм построения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравне-

ния a0 y n x a1 y n 1 x ... an 2 y x an 1 y x an y x f x следующий:

1. Находим корни характеристического уравнения:

a0 y n x a1 y n 1 x ... an 2 y x an 1 y x an y x 0

2. Сравниваем конкретно заданную правую часть уравнения

a0 y n x a1 y n 1 x ... an 2 y x an 1 y x an y x f x

с общим выражением f x P x e x cos x Q x e x sin x , при котором применим метод подбора, и находим из этого сопоставления три числа: n, , . И получаем «контрольное комплексное число» i .

3.Сравниваем «контрольное комплексное число» с корнями характеристического уравнения и находим число m корней, совпавших с ними (если таких корней нет, то m 0 ).

4.Принимаем частное решение неоднородного уравнения

a0 y n x a1 y n 1 x ... an 2 y x an 1 y x an y x f x

в виде: y* xm Rn x e x cos x Tn x e x sin x , где Rn x , Tn x — многочлены одной и той же n -ой степени, но с неопределенными и различными коэффициентами.

5. Записываем решение y* xm Rn x e x cos x Tn x e x sin x в развернутой форме в зависимости от n . Так,

если n 0	,	то y* xm A e x cos x B e x sin x
если n 1 ,		то	y* xm Ax B e x cos x Cx D e x sin x
если n 2 ,		то	y* xm Ax2 Bx C e x cos x Dx2 Kx L e x sin x и т.д.
6. Подставляем y*		в исходное уравнение
		a0 y n x a1 y n 1 x ... an 2 y x an 1 y x an y x f x

и получаем систему алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов

A, B, C,... .

Замечание 1. Если правая часть уравнения

a0 y n x a1 y n 1 x ... an 2 y x an 1 y x an y x f x

имеет более простой вид, например, содержит произведение степенной функции на показательную f x Pn x e x (в частности, возможны случаи n 0 или (и) 0 или содержит только линей-

ную комбинацию тригонометрических функций вида f x M cos x N sin x , где M и N

— постоянные числа, то частные решения неоднородного уравнения следует искать в форме, указанной в таблице 2 (в нее для полноты включен также общий случай).

Пример 1. Найти общее решение уравнения yV yIII x2 1.

Решение.

yV y x2 1 — линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n -го порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого будем искать в виде суммы: y y y .


																	к5 к3 0, к3 (к2 1) 0,
1) Находим корни характеристического уравнения:											y	: уV у 0,					к5 к3 0, к3 (к2 1) 0,
к2 1 0					к2 1						к2 1							к1 к2 к3	0
к	к	2	к	0,	к	к	2	к	0	к			к	2	к	0		к4,5 i
1		2	3		1		2	3			1			2	3

yс1 с2 х с3 х2 с4 cos x c5 sin x.

2)Находим частное решение неоднородного уравнения:

y : f (x) x2 1, y xre xun (x), 0 , n 2, r 3,

0 у х3 ( Ах2 Вх с) Ах5 Вх4 Сх3

0 у 5Ах4 4Вх3 3Сх2 0 у* 20 Ах3 12Вх2 6Сх

т.е.

1 у* 60 Ах2 24Вх 6с 0 у* IV 120 Ах 24В

1 у V 120 А

Подставляя в данное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получим:

120А 60Ах2 24Вх 6с х2 1.

Таблица 2. Структура частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами a0 y n x a1 y n 1 x ... an 2 y x an 1 y x an y x f x ,в зависимости от вида правой части

№

Вид правой части дифференци-

Корни характеристического уравнения

Вид частного решения

ального уравнения

f x Pn x , где Pn x —

Число 0 не совпадает ни с одним из корней характери-

y* Qn x , где Qn x — многочлен n -ой степени с неопреде-

стического уравнения k j j 1, 2,...n

ленными коэффициентами

многочлен

Число 0 является корнем характеристического урав-

n -ой степени от x .

y x Qn x

где Qn x — многочлен n -ой степени с неопре-

нения кратности m .

деленными коэффициентами

f x

Число не является корнем характеристического уравне-

y* Qn x e x , где Qn x — многочлен n -ой степени с не-

Pn x e

ния k j

j 1, 2,...n .

определенными коэффициентами

где Pn x —многочлен

Число k j является корнем характеристического урав-

Qn x — многочлен n -ой степени с не-

n -ой степени от x .

Qn x e

где

нения кратности m .

определенными коэффициентами

f x M cos x N sin x

Мнимое число i не совпадает ни с одним из корней ха-

y* A cos x B sin x , где A, B — неопределенные ко-

рактеристического уравнения i k j j 1, 2,...n

эффициенты

, где

M , N — заданные постоян-

Мнимое число i совпадает с корнем характеристического

y* xm A cos x B sin x , где A, B — неопределен-

ные числа

уравнения i k j (k j — корень кратности m

ные коэффициенты

f x P

x cos x Q

Числа

не являются корнями характеристического

y* P

cos

sin

где

P x ,Q

x — многочле-

x sin x

уравнения

ны t -ой степени с неопределенными коэффициентами

где Pn x ,Qs x —многочлены

Числа i

не являются корнями характеристического

y* xm

cos

sin

где

P x ,Q x — мно-

n, s -ой степени от x .

уравнения кратности m

гочлены t

-ой степени с неопределенными коэффициентами

Комплексные числа i не совпадает ни с одним из

y* Rn x e x cos x Tn x e x sin x , где многочлены n -ой сте-

корней характеристического уравнения

пени одного из многочленов P x или Q x , но с неопределен-

e x cos x Q

e x

sin x

i k j j 1, 2,...n

ными и различными коэффициентами.

, где P x ,Q

x — многочлены в

Комплексные числа i совпадает с одним из корней

y* xm Rn x e x cos x Tn x e x sin x , где многочлены n -ой сте-

общем случае различных степеней

характеристического уравнения i k j , где k j —

пени одного из многочленов P x или Q x , но с неопределен-

корень кратности m

ными и различными коэффициентами.

Замечание 2. Правая	часть уравнения a0 y n x a1 y n 1 x ... an 2 y x an 1 y x an y x f x может содержать только	функцию вида
f x M cos x или	f x N sin x . Тогда частное решение методом подбора следует искать в полной форме, содержащей и cos x	и sin x (см.
п.3 таблицы).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]