Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий по высшей математике со студентами инженерно-педагогических специальностей по теме Дифференциальные уравнения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

	1		1		1
y		e2 x C1x C2 dx		e2 x		C1x2	C2 x C3 .
			8		2
	4

Подставим начальные условия и получим:

1		1	С ;				1	1	C ;			0	1		C ;
1			С ;				1		C ;			0			C ;
	8			3				4	2				2				1
	8							4					2
	C				1	;	C			5	;	C		7		;
	C					;	C				;	C				;
	1			2			2		4			3	8
				2					4				8

Получаем частное решение (решение задачи Коши): y 18 e2 x 14 x2 54 x 78 .

Ответ: y 18 e2 x 14 x2 54 x 78 — частное решение.

Пример 2. Решить уравнение y sin x .

Решение.

Очевидно, данное уравнение относится к рассматриваемому виду ( n 3 ). Запишем данное уравнение в

виде: y sin x . Тогда							y sin dx C1 cos x C1 y cos x C1 dx sin x C1x C2 .
							y sin x C1x C2 dx cos x								1	C1x2 C2 x C3 .
							y sin x C1x C2 dx cos x								2	C1x2 C2 x C3 .
															2
Получаем общее решение: y cos x										1	C x2	C x C , где			C ,C ,C — произвольные постоянные.
									2		1	2		3	1		2	3
									2
Ответ: y cos x				1	C x2		C x C , где				C ,C ,C			— произвольные постоянные.
Ответ: y cos x					C x2		C x C , где				C ,C ,C			— произвольные постоянные.
			2			1	2		3		1	2	3
			2
Пример 3. Найти частное решение уравнения														yIV cos2 x ,			удовлетворяющее начальным условиям:
y 0	1	,				y 0		1	, y 0 0.
y 0	32	,	y 0 0,			y 0		8	, y 0 0.
	32							8

Решение.

Очевидно, данное уравнение относится к рассматриваемому виду ( n 4 ). Найдем общее решение по-

следовательным интегрированием данного уравнения:

				2	x dx			1	1 cos 2x dx			1		x	1	sin 2x C1.
								2				2			4
y	cos

		1				1				x2	1
			x				sin 2x		C1 dx				cos 2x C1x C2.
y		2				4				4	8

					x2				1											x3				1									x2
		y								cos 2x C1x C2						dx									sin 2x C1										C2 x C3.
		y				4			8	cos 2x C1x C2						dx				12			16		sin 2x C1							2			C2 x C3.
						4			8											12			16									2
	x3			1									x2								x4			1							C1x3					C2 x2
y					sin 2x C1									C2 x C3		dx										cos 2x													C3 x C4
y					sin 2x C1									C2 x C3		dx										cos 2x													C3 x C4
	12		16										2							48				32								6					2
Воспользуемся начальными условиями: x															0, y			1	,	y 0,					y				1	, y 0.
Воспользуемся начальными условиями: x															0, y				,	y 0,					y					, y 0.
														o	o	32						o					o	8			o
																32												8
0 C C 0;							1				1	C C				1	;			0 C C 0;														1			1	C C 0.
0 C C 0;												C C					;			0 C C 0;																		C C 0.
1	1					8				8			2		2	4								3				3				32					32		4	4
						8				8						4																32					32
Следовательно, искомое частное решение имеет вид: y																						x4			1		cos 2x						x2		.
Следовательно, искомое частное решение имеет вид: y																											cos 2x								.
																				48				32								8
								Задания для решения в аудитории
Задание №1. Решить уравнения в полных дифференциалах:
1. y 3 cos2 x,						y 0 0,							y 0 2, y 0 1.

2.	y		1			,	y 2 3,	y 2 2,		y 2		1	.

		x 3 3										2
			cos x
3.	y 2						, y	0, y	1,		y			2 .
			sin	3	x
							2	2				2

4.	y		sin x			, y 0 3, y 0 0,			y 0 7 .
			3cos3 x

5.	y 27e3x 120x3 , y 0 3,						y 0 1,			y 0 2 .
6.	y		1	,	y 1 1, y 1 2,		y 1 2

			x
7.	y	ln x			, y	e 4, y e	2	.

			x2				e
8.	y tg2 3x, y 0 9, y 0 5 .

Задания для самостоятельного решения

Задание №2. Решить уравнения в полных дифференциалах:
1. y x sin x, y 0 0, y 0 0, y 0 2. Ответ.	y x cos x sin

2.y sin4 x sin 2x. Ответ. y lnsin x C1x2 C2 x C3.

3.y 2sin x cos2 x sin3 x. Ответ. y 13 sin3 x C1x C2.

4.	y x e x ,	y 0 0,	y 0 2,					y 0 2 .				Ответ.		y x 3 e x
5.	y e5x 4x. Ответ.		y	1		e5x			x4	C1x2		C2 x C3.

			125					6			2
6.	y x ln x,	y 1 0,	y 1		1		. Ответ.				y ln x		x3		5x3	13	x	2	.
														36		36		9

					9							6

x x2 .

3x2 3.

2. Уравнения, не содержащие искомой функции. Различают несколько основных типов диффе-

ренциальных уравнений высших порядков, не содержащих искомой функции. Рассмотрим их подробнее.

(n)

) 0.

I. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной x . Это уравнения вида F(y, y ,..., y

Порядок таких уравнений

может

быть

понижен

на

единицу с помощью замены переменных

y p y , где

p y — новая искомая функция. Тогда

p; и т.д.

Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

		dp		d n 1 p	0 .
F1	y, p,		,...,
		dy		n 1
				dy

Если это уравнение проинтегрировать, и Ф(y, p,C1,C2 ,...,Cn 1) 0 — совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:

Ф(y, y ,C1,C2 ,...,Cn 1) 0.

Заметим также, что при осуществлении замены	y p y возможна потеря решения			y const .
					(n)	) 0
Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у уравнения F(y, y ,..., y						) 0
решений такого вида.
Пример 4. Найти общее решение уравнения yy	2	4yy	0.
Пример 4. Найти общее решение уравнения yy	(y )	4yy	0.

Решение.

Очевидно, данное уравнение — дифференциальных уравнений высших порядков, не содержащее не-

зависимую переменную х. Следовательно, можем ввести замену переменной: y p y y dpdy p .

	dp		dp
Подставляем в исходное уравнение получаем: yp		p2 4 yp 0 p y		p 4 y	0 . Произведе-
Подставляем в исходное уравнение получаем: yp	dy	p2 4 yp 0 p y	dy	p 4 y	0 . Произведе-
	dy		dy

ние равно нулю, когда один из множителей равен нулю, следовательно:

p 4y 0

Для решения

полученного

дифференциального уравнения

произведем замену переменной: u

. Тогда u

y 4 u

du 4

u 4ln

4ln C

u 4ln

C y

p 4 y ln

C y

С учетом того, что p

, получаем:

4 y ln

C1 y

4 y ln

C y

d (ln

C1 y

)

C y

C .

C y

4x C .

Общий интеграл имеет вид: ln

C1 y

2) p 0 y 0 y C .

Таким образом, получили два общих решения.

C1 y

4x C

Ответ:

, где C — произвольная постоянная.

y C

Пример 5. Решить уравнение 1 y 2 yy .

Решение.

Очевидно, данное уравнение — дифференциальных уравнений высших порядков, не содержащее независимую переменную х. Следовательно, можем ввести замену переменной: y p y Тогда

y p dpdy . Уравнение примет вид 1 p2 y p dpdy . Это уравнение первого порядка относительно

p с разделяющимися переменными. Далее разделяем переменные и интегрируем:

pdp

;

ln 1 p2 2ln

2ln

или 1 p2 C12 y2 ;

y ,

p C12 y2

1 . Возвращаясь к функции

имеем

y C2 y2

dx.

Интегрируя

получаем

общий

интеграл:

C2 y2

x C

C y

C2 y2 1

F(x, y k , y k 1

	1					x C		— общий интеграл, где C ,C
Ответ:	1	ln	C y	C2 y2	1							— произвольные постоянные.
Ответ:		ln	C y	C2 y2	1							— произвольные постоянные.
	C1		1	1			2			1	2
	C1						2	0, y 0 1,		0 2 .
							2
Пример 6. Решить уравнение yy							y		y

Решение.

Очевидно, данное уравнение — дифференциальных уравнений высших порядков, не содержащее независимую переменную х.

Положим y p . Тогда y p p . Уравнение примет вид y p p p2 0 p y p p 0 . Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, следовательно:

1) y dpdy p 0. Разделяя переменные и интегрируя, получим: dpp dyy 0, ln p ln y ln C1 ,

p C1 y . Возвращаясь к функции у, получаем y C1 y . Разделяя переменные и интегрируя, получа-

ем:

dyy C1dx, ln y C1x C2 , y eC1x C2 .

2) p 0 y 0 y C .
Таким образом, получили два общих решения.
Находим	частное решение 2 C 1 C 2. 1 eC1 0 C2		C 0.	Таким образом,	частное решение:
	1	1	2
y e2x . И C 1
y e2 x
Ответ:	— частное решение.
y 1
II. Дифференциальное уравнение которое не содержит ни искомой функции y x					, ни ее производ-

ных до порядка k 1 включительно, т. е. имеет вид F(x, y k , y k 1 ,..., y(n) ) 0 .

Его порядок может быть понижен на k единиц в результате подстановки y k p x , где p x — но-

вая искомая функция. Тогда уравнение ,..., y(n) ) 0 принимает вид:

			(n k )	) 0 .
F(x, p, p , p ,..., p
После определения функции p x искомую функцию y x находят из уравнения k -кратным инте-
грированием его обеих частей.
		y
Пример 7. Найти решение уравнения xy	y ln		.

		x
Решение.

Это уравнение не содержит искомой функции y x .

Полагая y p , где

p p x , преобразуем

p ln

. Отсюда имеем

однородное уравнение первого

уравнение к виду x p

порядка. Введем еще одну замену переменной:			p	u , откуда	p u x,	p u x u , получим урав-
			x

нение u x u u lnu или	du	x u 1 ln u 0 . Разделяя переменные,				получим	du	dx	0.
							u 1 ln u	x
	dx

Интегрируя

, получим ln

ln u 1

или

lnu 1 C x , откуда

u 1 ln u

u eC1x 1 . Возвращаясь к функции y , приходим к уравнению y p x eC1x 1 .

Следовательно,

y x eC1x 1dx

x eC1x 1

eC1x 1 C2 .

Ответ: y

x eC1x 1

eC1x 1 C

, где C ,C — произвольные постоянные.

III. Дифференциальные уравнения, которые содержат только две последовательные производные

неизвестной функции, т. е. уравнения вида F( y n 1 , y(n) ) 0 . Если это уравнение удается разрешить

относительно	y n , то	оно принимает вид: y n y n 1 и решается с помощью подстановки
y n 1 p x ,	где p x	— новая искомая функция. Такая подстановка						y n p x приводит урав-
нение y n y n 1		к виду	dp	p . Определив из уравнения			dp	p функцию p x и
нение y n y n 1		к виду		p . Определив из уравнения				p функцию p x и
			dx				dx
подставив ее в уравнение y n 1 p x , находят неизвестную функцию y x .
Пример 8. Найти общее решение уравнения y 5 y					1	.
Пример 8. Найти общее решение уравнения y 5 y						.
					x
				Решение.

Данное уравнение не содержит искомой функции y x , поэтому для его решения проведем заме-

ну: y

p x y

— новая искомая функция. Тогда данное уравнение примет

p x , где p x

вид :

p 5 p

5 p

. Разделив переменные, получим

откуда, интегрируя,

будем иметь

dx ln

5ln

p x C x5 , где

—

p x в

y p x , получим уравнение

произвольная постоянная. Подставляя найденную функцию

для определения первоначальной искомой функции y x :

y C1 x5 , решая которое, будем иметь:

C1 x5 . Разделив переменные: dy C1 x5dx dy C1 x5dx . После интегрирования получим

x6 C

, где C ,C

—произвольные постоянные.

Ответ: y

x6 C

— общее решение, где C ,C —произвольные постоянные.

Задания для решения в аудитории

Задание №1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

y x ln x

2. 2x y y

3. y 2 y

xy 2y x3

x2 y xy 1

6. x4 y x3 y 1

x y 2 y 0

8. y 2 2 y y 0

9. 4y3 y y4

10.

y 128 y3

11.

y y3 49 0

12. 4y3 y 16y4 1

13.

y 8sin y cos3 y 0

14.

y 32cos y sin3 y

15. y 18sin3

y cos y

Задание №2. Решите уравнение:

6x;

y cos3x 2;

3. ( y )

y ;

2cos xsin

x cos

(y )

( y )

7. yy

( y )

;

y x sin

;

9. xy y x2 sin x;

10. (1 x2 )y 2xy 3x2.

Задание №3. Решите задачу Коши:

1. sin3 xy cos x,	y		,	y		1	;

			2		2
		2		2

		3	1,			1			1
3.	y y			y			1,	y		1;

						2			2
5.	ex y x,				y(0) 3,			y (0) 1,			y (0) 0;
		3	1,			1			1
7.	y y			y			1,	y		1;

						2			2


2.	y 2ey ,			y(1) 0,				y (1) 2;
	2		y y ,
4.		y			y(2) 1,				y (2) 1;
6. y (y )2				0,		y(1) 1,			y (1) 0,	y (1) 1;
8.						2	0,	y(1) 0, y (1) 1.
	y (3y 1) 3y

Задания для самостоятельного решения

Задание №2. Решить задачу Коши:

x x 1 ,

y 2 1,

y 2 1.

Ответ. y

3x4

4x3

36x2

72x 8

1 x2

y xy 2. Ответ. y arcsin x 2 C1 arcsin x C2.

y y x. Ответ.

x 1 2

C ex C .

4. 1 sin x y cos x y . Ответ.

y C1x C1 cos x C2.

tgx y 2 y . Ответ. y

C1x

C1 sin 2x

C2.

Задание №3. Решить уравнения.

1.y 2y 3 2y 2 0. Ответ. 0,5ln 2y 3 C1x C2.

2.y y y 2 y 3 , y 1 1, y 1 1. Ответ. y 2 ln y x.

3. y	y		. Ответ.
	y			y 0,5C1 ln	2	y C1	C2 x.


		y
		y

y 3y2 y 3.

Ответ. y

C2 x

5. y y 3 0.

Ответ. y

4x 4C2

5C1

y y 3 1 0. Ответ.

Линейные дифференциальные уравнения порядка n

Определение1. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравне-

ние первой степени относительно функции у и ее производных y , y ,..., y(n) вида: p0 y(n) p1 y(n 1) p2 y(n 2) ... pn 1 y pn y f (x)

где p0 , p1,..., pn — функции от x или постоянные величины, причем p0 0 .

Левую часть этого уравнения обозначим L y : p0 y(n) p1 y(n 1) p2 y(n 2) ... pn 1 y pn y L(y)

Определение 2. Если f x 0 , то уравнение	L y 0 называется линейным однородным уравнени-
ем, если f x 0 , то уравнение L y f x	называется линейным неоднородным уравнением, если

все коэффициенты p0 , p1,..., pn — постоянные числа, то уравнение L y f x называется линейным

дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных — наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные дифференциальные уравнения описывают реальные процессы или дают первое приближение к этим процессам, поэтому имеют широкое практическое применение. Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами

Определение 1. Линейным однородным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

an y(n) an 1 y(n 1)	an 2 y(n 2) ... a1 y a0 y 0		1
где an , an 1, an 2 ,...,a1, a0 — известные постоянные коэффициенты, причем an		0 ,	y y x — не-
известная функция аргумента x ,	y n , y n 1 ,..., y — ее производные порядка	n, n 1 ,...,1 соответ-

ственно.

Приведем основные свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n с постоянными коэффициентами.

I. Если y1, y2 ,..., ym решения уравнения (1), то и любая их линейная комбинация

c1 y1 c2 y2 ... cm ym

также является решением уравнения (1), где c1,c2 ,...,cm — некоторые постоянные.

II. Если линейное однородное уравнение (1) с действительными коэффициентами имеет комплексное решение y u i v , то и функции u Re y и v Im y в отдельности являются решениями уравнения (1).

Определение 2. Функции 1 x , 2 x ,..., m x называются линейно зависимыми на множестве A,

если существуют постоянные 1, 2 ,..., m , такие, что

1 1 x 2 2 x ... m 1 x 0, x A , причем 12 22 ... m2 0 .

Если же тождество имеет место лишь при 1 2 ... m , то функции 1 x , 2 x ,..., m x

называются линейно независимыми.

Определение 3. Любая система из n линейно независимых решений y1 x , y2 x ,..., yn x линейно-

го однородного уравнения (1) называется фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n с постоянными коэффициентами.

III. Общее решение линейного однородного уравнения (1) представляет собой линейную комбинацию фундаментальных решений, т. е. имеет вид: y x c1 y1 x c2 y2 x ... cn yn x , где c1,c2 ,...,cn – произвольные постоянные, а , y1 x , y2 x ,..., yn x — фундаментальная система решений уравнения (1). Формула y x c1 y1 x c2 y2 x ... cn yn x определяет структуру

общего решения линейного однородного дифференциального уравнения порядка n с постоянными коэффициентами.

IV. Линейное однородное уравнение (1) всегда имеет решение y 0 , которое называется триви-

альным решением.

Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений. Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты a зависят от x , эта задача не может быть решена в общем виде. Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.

Теорема. Если задано уравнение вида y p1(x)y p2 (x)y 0 и известно одно ненулевое решение

y y1 , то общее решение может быть найдено по формуле:	1			p1	( x)dx
	y C2 y1		e			dx C1 y1.
	y C2 y1	y2	e			dx C1 y1.
	1

Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое — либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.

Пример 1. Решить уравнение (1 x2 )y 2xy 2y 0.

Решение.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо

частное

решение. Таким

частным

решением

будет

являться

функция

y1 x. (так как

y1 1 y1 0 0 2x 2x 0 ). Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

2 y

1 x2

2 x

А тогда общее решение имеет вид: y C1x

dxdx C2 x;

1 x2

y C1x

ln(1 x2 )

dx C2 x;

y C1x

C2 x

y C2 x C1x

(1 x

)

2(1 x)

1 x

y C2 x C1x

Окончательно:

y C x C x ln

1 x

, где C ,C ,C

—произвольные постоянные.

1 x

Ответ:

y C x C x ln

1 x

C — общее решение, где

C ,C ,C —произвольные постоянные.

1 x

V. Задача Коши для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами an y(n) an 1 y(n 1) an 2 y(n 2) ... a1 y a0 y 0

y x0 y0 y x0 y0 y x0 y0

…

y n 1 x0 y0 n 1

всегда имеет и притом единственное решение при любых начальных условиях.

Определение 4. Характеристическим уравнением для линейного однородного дифференциального уравнения порядка n с постоянными коэффициентами

	an y(n) an 1 y(n 1) an 2 y(n 2)				... a1 y a0	y 0
называется алгебраическое уравнение степени n				вида
a kn a		kn 1 a	kn 2 ... a	k a	0 .	2
n	n 1	n 2	1	0

Таким образом, чтобы составить характеристическое уравнение (2), надо в уравнении (1) заменить

производные y n , y n 1 ,..., y соответственно степенями неизвестной величины k , точнее, показатель степени с основанием k должен быть равен порядку соответствующей производной неизвестной функции y , а сама искомая функция y заменена единицей (т. е. k0 ).

В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные. Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, заключается в следующем:

1) Составляют характеристическое уравнение

( a0kn a1kn 1 ... an 2k2 an 1k an 0 )

и находят его корни, причем согласно основной теоремы алгебры (многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом их кратности), их ровно n и они могут быть как действительными числами так и комплексными.

2) Находят соответствующие частные линейно независимые решения этого уравнения, причем в за-

висимости от вида корней соответствующие частные линейно независимые решения будут иметь различный вид:

a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

ekx ; xekx ; ... xm 1ekx .

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней i характеристического уравнение

ставится в соответствие два решения: e x cos x и e x sin x .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней i характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

e x cos x,	xe x cos x,	... xm 1e x cos x,
e x sin x,	xe x sin x,	...xm 1e x sin x.

(более подробно возможные случаи представлены в таблице1. )

3) Составляют общее решение уравнения, которое представляется в виде линейной комбинации n линейно независимых частных решений этого уравнения:

y Cm ym C1 y1 C2 y2 ... Cn yn

m 1

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Таблица 1. Частные линейно независимые решения зависимости от вида корней характеристического уравнение линейного однородного дифференциального уравнения n го порядка с постоянными коэф-

фициентами

№

Вид корней

Вид частных решений

Корни

k i 1, 2,..., n характери-

ek1x

стического уравнения действитель-

ek2 x

ны и различны.

…

ekn x

Корни характеристического уравне-

cos

ния комплексные числа k1 i

y1 e

y2 e x sin x

, k2 i .

Корни характеристического уравне-

cos x

ния мнимые числа k1 i ,

sin x

k2 i .

Корни характеристического урав-

y1 e

нения действительны и кратны:

y2 xekx

... k

x2ekx

…

xm 1ekx

Корни характеристического уравне-

cos x

sin x

ния комплексные числа k1 i ,

y2 e

xe x cos x

xe x sin x

k2 i

и кратности m каждый.

x2e x cos x

x2e x sin x

xm 1e x cos x

…

xm 1e x sin x

2m 1

Таким образом, линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно решить в элементарных функциях, причем решение сводится к алгебраическим операциям. Пример 2. Решить уравнение y y 0 .

Решение.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

1. Составим характеристическое уравнение: k3 1 0;

					(k 1)(k2 k 1) 0;								k	1;		k2 k 1 0;
													1

				D 1 4 3;					k			1		3	i;	k	1	3	i;
				D 1 4 3;					k	2					i;	k			i;
										2		2		2		3	2	2
												2		2			2	2
2. Находим				частные					решения							дифференциального				уравнения
			x				x
		e	x		3	x; y e	x			3
y	ex ; y		2	cos	3		2	sin		3	x .
y	ex ; y		2	cos			2	sin			x .
1	2				2	3			2
					2				2

3. Составляем линейную комбинацию найденных решений . Общее решение будет иметь вид:

		x
				3		3
4. y C1ex e					x C3 sin
	2		C2 cos				x .
				2		2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]