Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий по высшей математике со студентами инженерно-педагогических специальностей по теме Дифференциальные уравнения

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(2xy ln y)dx

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

29. y

ln x

, y(1) 1.

31.

y 2y e3x , y(0) 0

33.

xy 2y xe x ,

y(0) 0

35.

y 0 1;

ln y

2 2

y 0 1;

37.

y 4y2 0,

Задание №2. Решите уравнения:

30. y

ln x

, y(1)

32.

y cos x y sin x 1,

y(0) 1;

34.

y 2xy 2x4 , y(0) 1.

36.

3x y y 0,

38. y sin 2x 2y 2cos x,

y 2 y 3x;

y 3y e2x ;

3. xy y 4x;

4. y 4xy 3x.

y 2tg x y ctg

y y cos x 2e

sin x

;

y2 ln x

ytg x cos x

;

8. xy y

2 .

Задания для самостоятельного решения

Задание №3. Решите уравнения:

1.y 3xy 4. Ответ. y x13 x4 C .

2.2xy x2 y ln x. Ответ. y ln x 1 C.

3.y ctgx y 2. Ответ. y 2 C cos x.

4.y y x 2. Ответ. y x 1 Ce x.

5.y 2y e2x. Ответ. y x C e2x.

6.y cos x y sin x 1 0. Ответ. y sin x C cos x.

y y

e x

; y 0 2. Ответ.

y e x arctgx 2 .

y x2

C ex2 .

y 2xy 2xex2 . Ответ.

xy y cos x. Ответ. y

C sin x .

10.

y ytgx

. Ответ.

x2 C

cos x

11. xy 3x 4 y. Ответ. y x

x .

Уравнение Бернулли

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида: y P x y Q x yn , где P(x) и Q(x) — функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Существует несколько способов решения уравнения Бернулли. Один из них состоит в том, что при-

меняя подстановку z	1	, уравнение Бернулли приводится к линейному к линейному диффе-
	yn 1

ренциальному уравнению первого порядка, которое можно решить любым из вышеизложенных

способов. Рассмотрим данный способ более подробно. Для этого разделим исходное уравнение на

yn:

P x

Q x .

yn 1

Применим подстановку z

, учтя, что

(n 1) yn 2

(n 1) y

yn 1

y2n 2

	z	z (n 1)	P x z (n 1) Q x .

n 1 P x z Q x
n 1 P x z Q x

Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z .Решение этого уравнения будем искать в виде:

z e

P x dx

P1 x dx

, где

Q x (n 1)Q x ;

P x (n 1)P x

Q1 x e

dx C

Пример 1. Решить уравнение xy y xy2 ln x.

Решение

Приведем наше уравнение к виду:

y P x y Q x yn . Для этого разделим обе части уравнения

на x :

y y2 ln x . Полученное уравнение — уравнение Бернулли, где P(x)

и Q(x) ln x —

функции от х или постоянные числа, а

n 2

— постоянное число. Разделим уравнение на y2 :

1 1

y2 x y ln x .

Полагаем,

что z y , тогда z

y2 .

Применяя данную подстановку получаем:

z ln x

z ln x . Полагаем P x

Q x ln x , получаем:

z eln x ln xe ln xdx C

z e x

ln xe

x dx C

	ln x	dx		z x ln xd (ln x) C
z x			C
z x			C
		x

	1		ln2	x
Произведя обратную подстановку, получаем:		x			C .
Произведя обратную подстановку, получаем:	y	x	2		C .
	y		2

zx ln2 x C .

Ответ: y		1			— общее решение, где C	– произвольная постоянная.

		ln2	x
		ln2	x
	x			C
	x	2		C
		2

Пример 2. Решить уравнение xy 4y x2 y.

Решение

Приведем наше уравнение к виду:

y P x y Q x yn . Для этого разделим обе части уравнения на x :

Q(x) x

y x y x

y. . Полученное уравнение — уравнение Бернулли, где P(x) x

— функ-

ции от х или постоянные числа, а

n 2

— постоянное число. Разделим обе части уравнения на

1 dy

y x . Полагаем, что

y , тогда

y y 2

z . Применяя данную подста-

y dx

dz 2z

новку получаем:

x z x

dx x

2 .

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение, которое решать будем используя метод Лагранжа. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

2dx

ln z 2ln x ln C

z Cx2 .

Полагаем C C(x)

и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с

учетом того, что:

2xC(x) x2

dC(x)

. Тогда:

2xC(x) x2

dC(x)

2x2C(x)

dC(x)

dx C(x)

ln x C .

Получаем: z x

ln x

. Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

y x

ln x .

Ответ: y x4

ln x

2 — общее решение, где

– произвольная постоянная.

Рассмотрим второй способ решения уравнения Бернулли используя метод Бернулли. Суть способа

заключается в том,			что искомая функция представляется в виде произведения двух функций от x :
y u x v x
		y	u x v x u x v x
Подставим	у и	у'	в уравнение	y P x y Q x yn :u v v u P x u v Q x un vn . Далее, группи-

руем в левой части слагаемые с общим множителем v в первой степени (или u), и, выносим общий множитель за скобки: v u P x u v u Q x un vn .Затем выберем функцию u такой, чтобы мно-

житель при v обращался в 0 : u P x u 0,	v u Q x un vn
	u P x u 0
Таким образом, получим систему:
	u Q x u	n	v	n
		n		n
v

Решаем первое уравнение системы, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное

дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

P(x)u 0 .

P(x)dx;

P(x)dx; ln

P(x)dx;

u Ce P( x)dx ,

P(x)dx;

C 1/ C1;

Для нахождения второй неизвестной функции v подставляют полученное выражение для функции u во второе уравнение системы v u x Q x un x vn x :

P( x)dx 1 n dv

C1 n

P( x)dx

1 n

Сe

Q(x) v

;

dv Q(x) e

dx;

Интегрируя, находят функцию v:

v n 1

Q(x) e P( x)dx 1 ndx C

;

n 1

P( x)dx 1 n

n 1

Q(x) e

dx C2

Таким образом, была получена вторая составляющая произведения y uv , которое и определяет искомую функцию. Подставляют полученные значения, получают:


	P( x)dx			C
y uv Ce							, C2 — произвольный коэффициент.
y uv Ce					P( x)dx 1n		, C2 — произвольный коэффициент.
		n1			P( x)dx 1n
			n 1	Q(x) e		dx C2

Пример 3. Решить уравнение y 2y ex y2

Решение

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Решим его используя метод Бернулли, т.е. вве-

дем замену переменных н y u v

, где

u u(x)

v v(x) — новые функции относительно x .

Найдем y :

y u v u v . Подставим в исходное уравнение вместо y

их выражения через

u и v , и получим:

u v u v 2u v ex u2

v2 . После группировки слагаемых в левой части полу-

ченного равенства и вынесения общего множителя за скобки будем иметь:

v 2 v

2v 0

Таким образом, получаем систему:

. Решаем первое уравнение си-

u v ex u2 v2

u ex u2 v

стемы: v 2v 0

2dx

dx ln

2x c v e 2 x c0 .

Полагая, что c

, получим v e 2 x . Полученный результат подставляем во второе уравнение си-

стемы и решаем его:

u ex u2 e 2 x u ex 2 x u2 u e x u2

e x u2

e xdx

e x c u

где

c —

произвольная постоянная. Заметим,

что,

кроме полученного

e x c

общего решения u

уравнению u e x u2

удовлетворяет функция u 0 , которая не мо-

e x c

жет быть получена из формулы

ни при каком произвольном значении постоянной c .

e x c

Таким образом, решения исходного уравнения таковы:

При u 0 ,

v e 2 x ,

y 0 .

При u

v e 2 x ,

e 2 x

— общее решение, где c — произвольная постоянная.

e x c

e x

Ответ: y

e 2 x

— общее решение, где c — произвольная постоянная, y 0 .

e x

Пример 4. Решить уравнение y

y x3 y2 .

Решение.

В уравнении присутствуют

y , y и yn ,

значит, уравнение можно назвать уравнением Бернулли.

Проверим.

Общий

вид

уравнения

Бернулли

y P x y Q x yn .

нашем уравнении

P x 4x , Q x x3; n 2 .

y u v uv , тогда

uv x

Сделаем замену y uv,

u v uv

u v

u v x

Выберем функцию v x

так, чтобы v

, получаем u v x

, т.е.

3 2

u v

x u

Из

первого уравнения

найдем

v :

4 ln

3 2

Полагая, что C 0 , получим v

. Подставляем v

во второе уравнение u v x u v

3 2 1

x4 x3

x u

dx.

Интегрируем уравнение:

u 2du

u 1

xC1

. , где C1 — произвольная постоянная.

Заметим, что, кроме полученного общего решения u

уравнению u v x u

удовлетво-

xC1

-ряет функция u 0 ,

которая не может быть получена из формулы u

ни при каком про-

xC1

извольном значении постоянной C1 . Таким образом, решения исходного уравнения таковы:

При u 0 ,

y 0 .

При u

y u v

— общее решение, где

C .— произвольная

xC1

x4 ln

постоянная.

Ответ: y

— общее решение, где C1 — произвольная постоянная, y 0 .

x4 ln

Задания для решения в аудитории

Задание №1. Решите уравнение Бернулли, удовлетворяющее заданному начальному условию:

xy 1 x e x

y2 ,

y(0) 1.

2xy 2y xy2 ,

y(1) 2

3y x y ,

y 1 3

3xy

dx y 2xy ,

y(0) 2

2xy 2x

dx y tgx 3 y

sin x,

y(0) 1

7.	xy y 2 y2 ln x, y(1)							1	.
7.	xy y 2 y2 ln x, y(1)							2	.
								2
9.	3xy 3y y2 ln x,					y(1) 3
11.			dy	4x3 y 4	1 x3		e 4 x y2 , y				0	1 .
11.				4x3 y 4	1 x3		e 4 x y2 , y				0	1 .
			dx
			dx
13.		2xy 2y x 1 e x y2 ,								y(0) 2 .
15.		3xy 5y 4x 5 y4 ,							y(1) 1

8. x

y y2

ln x,

y(1)

10.

y y2 ln x,

y(1) 1

12.

y 4x3 y 4

1 x3

e4 x y2 ,

14.

4 y 4x3 y x3 8 e 2 x

y2 ,

y 0 1

16. 2xy 3y 5x2

3 y3 ,

y 1

Задания для самостоятельного решения

Задание №2. Найти общее решение или общий интеграл данного уравнения.


1. y	y	y2. Ответ.	y	1		.
1. y	x	y2. Ответ.	y	1		.
	x			C
				x ln
				x ln
					x

M x, y dx N x, y dy 0 , то есть:

y ex y4

. Ответ.

ex C 3x .

y xy3. Ответ.

2x Cx2

y x2

cos x y2.

Ответ.

x2 sin x C .

y y

y Cx x2 1 ln x .

ln x. Ответ.

Ответ.

xy y y2 2x3 x . Ответ.

Cx x3 x ln

xy 4y x2

. Ответ. y x4 ln

C 2 ; y 0 .

y xy

y x C ln

. Ответ.

10. 3xy 2 y

. Ответ.

y3 Cx2 x3 .

11. xy y y2 ln x. Ответ.

1 Cx.

Уравнения в полных дифференциалах

Определение 1. Дифференциальное уравнение вида M x, y dx N x, y dy 0 называется уравне-

нием в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u F(x, y) , т. е. dF x, y dFdx dx dFdy dy M x, y dx N x, y dy .

Справедливо следующее утверждение: для того чтобы уравнение M x, y dx N x, y dy 0 было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

M x, y N x, y . Таким образом, для решения необходимо определить:

y x

1)в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;

2)как найти эту функцию u .

Чтобы решить уравнение M x, y dx N x, y dy 0 , необходимо найти такую функцию u

, полный дифференциал которой равен левой части уравнения

	u		u			u	M (x, y)
	u		u			x	M (x, y)
du M (x, y)dx N(x, y)dy		dx		dy.	Следовательно, получили систему:
du M (x, y)dx N(x, y)dy	x	dx	y	dy.	Следовательно, получили систему:
	x		y			u
						y N (x, y)
						y N (x, y)

F (x, y)

. Затем

находим смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по y ,

	2u		M (x, y)

		x y	y
а второе — по x :				.
		2u	N (x, y)

		x y	x

Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также назы-

вается условием тотальности (

M x, y

N x, y

Теперь рассмотрим вопрос о

нахождении

функции

u , для

этого проинтегрируем равенство

u M (x, y) : u M (x, y)dx C( y).

а некоторую функцию C y ,

Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину

C ,

т.к. при интегрировании переменная

y полагается постоянным параметром. Определим функцию

C y . Для этого продифференцируем полученное равенство по y :

N(x, y)

M (x, y)dx C ( y).

M (x, y)dx.

Откуда получаем: C ( y) N (x, y)

Для нахождения функции C y

необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Одна-

ко, перед интегрированием необходимо доказать, что функция C y

не зависит от x . Это условие

будет выполнено, если производная этой функции по x

равна нулю:

N (x, y)

С ( y)

M (x, y)dx

M (x,

x y

C y :

Теперь определяем функцию

C( y) N (x, y)

M (x,

зультат в выражение для функции u, получаем:

y)dx

y)dx dy

N (x, y) M (x, y) 0.

x y

C . Подставляя этот ре-


u M (x, y)dx N (x, y)		M (x, y)dx dy C.
u M (x, y)dx N (x, y)	y	M (x, y)dx dy C.
	y

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:


M (x, y)dx N (x, y)		M (x, y)dx dy C.
M (x, y)dx N (x, y)	y	M (x, y)dx dy C.
	y

Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если при решении урав-

нения M x, y dx N x, y dy 0 просто следовать следующим шагам:

1) проверить выполнение равенства			M x, y		N x, y	;
				y	x

2) если равенство	M x, y	N x, y		выполняется, следует определить функцию u u(x, y) из
	y
		x
						27

	u	M (x, y)
	x	M (x, y)
системы уравнений	x	;
	u	N (x, y)
	y	N (x, y)

3) общий интеграл уравнения M x, y dx N x, y dy 0 получают в виде u(x, y) C .
Пример 1. Решить уравнение (3x2 10xy)dx (5x2 1)dy 0 .
		Решение.
Проверим условие тотальности:	M (x, y)	(3x 2 10xy)		10x;
	y	y

	N (x, y)	(5x2 1)	10x.
	x	x

Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Определим функцию u: u M (x, y)dx C( y) (3x2 10xy)dx C( y) x3

5x2 y C( y);

C ( y) N(x, y) 5x

C ( y) 1;

C( y) ( 1)dy y C1 ;

Таким образом,

u x3 5x2 y y C .

Находим общий

интеграл

исходного дифференциального

уравнения: x3 5x2 y y C.

Ответ: x3 5x2 y y C. — общее решение, где C — произвольная постоянная.

Пример 2. Решить уравнение (3y2 2xy)dx (x2 6xy 3y2 )dy 0 .

Решение.

В данном случае имеем M x; y 3y2

2xy,

N x, y x2 6xy 3y2 . Проверим условие тотально-

сти:

M (x, y)

(3y 2 2xy) 2x 6 y ,

N(x, y) (x2

6xy 3y2 )

2x 6 y Условие тотальности

x выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнени-

ем в полных дифференциалах. Определим функцию u:

u M (x, y)dx C( y) (3y2 2xy)dx C( y) x2 y 3y2 x C( y) ,

6xy

6xy C ( y) N(x, y)

C ( y) 3y

dC y

dC y 3y

dC y 3 y

dx C( y) y

C1 ;

Таким образом,

u x2 y 3y2 x y3 C

. Находим общий интеграл исходного дифференциального

уравнения: x2 y 3y2 x y3

C .

Ответ: x2 y 3y2 x y3 C — общее решение, где C — произвольная постоянная.

Задания для решения в аудитории

Задание №1. Проверить, что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах и решить их:

1. 3x2 y 2y 3 dx x3 2x 3y2 dy 0

3. 3x2 ey dx

x3 ey

1 dy 0

5. e y dx x e y 2y dy 0

2xy tgx dy 0

7. y

cos

y3 ln x dy 0

Задание №2. Решить уравнение:

1 dx

dy 0;

dy 0.

Задание №3. Решить задачу Коши:

2.		1		3y2			2 y
						dx			dy 0
			2	x	4		x	3
	x
4. 3x2 4 y2 dx 8xy ey dy 0

6. 1 y2

sin 2x

dx 2y cos2 xdy 0

8. sin 2x 2cos x y dx 2cos x y dy 0

10. xe

dy 0

2. (x2 xy)dx

dy 0;

	3x(y x)2 dx x2 (3y 2x)dy 0, y(1) 2;
1.	3x(y x)2 dx x2 (3y 2x)dy 0, y(1) 2;		2. x y2 dx 2y(1	x y2 )dy 0,	y(1) 1;
3.	( y cos x sin y)dx (x cos y sin x)dy 0, y		1.

		2

Задания для самостоятельного решения

Задание №4 Проверить, что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах и решить их:

x cos 2y 1

dx x2 sin 2y dy 0

xy 1

1 xy

dy 0

4. 1

e y dx e y 1

dy 0

ey dx x ey

cos y dy 0

y3 cos x dx 3xy2

ey dy 0

ln y dx

2 y

dy 0

sin y y sin x

x cos y cos x

dy 0

Задание №5. Решить уравнение:

1. (x2 y3 )dx 3xy2dy 0;		2. ( x 3xy2 )dx (3x2 y y2 2)dy 0;
3. (4x e x y)dx e xdy 0;			4. (3x cos2x)dx (sin y e4 y )dy 0.
Задание №6. Решить задачу Коши:	1. (2x3 3x2 y 7y2 )dx (x3 14xy 4y3 )dy 0,			y(2) 0;
2. (y2 6xy 3x2 )dx (3x2 2xy)dy 0,		y(1) 1;

Дифференциальные уравнения высших порядков

Определение 1. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

F(x, y, y ,..., y(n) ) 0

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):

y(n) f (x, y, y ,..., y(n 1) ).

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

(n 1)

Определение

Решение

y (x) удовлетворяет начальным

условиям x0 , y0 , y0 ,..., y0

, если

(x0 ) y0 ,

, ....

(n 1)

(x0 ) y0

(n)

) 0 , удовлетворяющего началь-

Определение 3. Нахождение решения уравнения F(x, y, y ,..., y

(n 1)

ным условиям x0 , y0 , y0 ,..., y0

, называется решением задачи Коши.

Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи

	(n 1)	) в некоторой области	D	n 1
Коши): Если функция n 1 –й переменных вида f (x, y, y ,..., y

-мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по y, y ,..., y(n 1) , то

			(n 1)
какова бы не была точка ( x0 , y0 , y0 ,..., y0					) в этой области, существует единственное решение
y (x) уравнения y	(n)		(n 1)	) ,	определенного в некотором интервале, содержащем
y (x) уравнения y		f (x, y, y ,..., y		) ,	определенного в некотором интервале, содержащем
						(n 1)
точку х0, удовлетворяющее начальным условиям x0 , y0 , y0 ,..., y0							.

Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов. Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Понижение порядка дифференциального уравнения —основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

1. Уравнения вида y n f x .		Если			f x — функция непрерывная на некотором промежутке
a x b , y y x — неизвестная функция, y n							— производная порядка n неизвестной функции y
, то для получения общего решения уравнения							y n f x следует n раз проинтегрировать его обе
части: y(n 1) f (x)dx C1 y(n 2) f (x)dx C1 dx C2 dx f (x)dx C1x C2 ;...
y dx dx.... f (x)dx C1	xn 1				xn 2
		C2				... Cn , где C1,C2 ,...,Cn — произвольные постоянные.
	(n 1)!
				(n 2)!

Пример 1. Решить уравнение y		e	2x		с начальными условиями x0 0, y0 1, y0 1;			y0 0.

Решение.

Очевидно, данное уравнение относится к рассматриваемому виду ( n 3 ). Запишем данное уравнение

		1			1		2 x		1		2 x
в виде: y e2 x . Тогда	y e2 x dx C1	1	e2 x C1	y		e		C1 dx		e		C1x C2 .
					2				4
		2
		2

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]