Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий по высшей математике со студентами инженерно-педагогических специальностей по теме Дифференциальные уравнения

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Окончательно получаем:

1. — частное решение.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Разделим переменные

. Интегрируя обе части, получаем:

2t 1

d 2t 1

2t 1

отсюда находим ln

2t 1

2 ln

2t 1

или 2t 1

, где c

— произвольная

постоянная.

Вернемся к первоначальной переменной, тогда общее решение примет вид:

2 y x

, где c

— произвольная постоянная.

Следует также отметить, что в процессе решения возникала необходимость делить на функции x и 2t 1. Приравнивая их к нулю, получаем возможные решения:

1)x 0 ,

2)2t 1 0 , или y 2x .

Легко убедиться проверкой, что обе функции удовлетворяют данному дифференциальному уравне-

нию; вторая функция

получается из общего решения при

c 0

; функция x 0 не может

быть получена из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной c1 .

Ответ:

y x

, где c1

— произвольная постоянная,

x 0 .

Замечание: Уравнение x y dx xdy 0

можно было также записать в виде y 1

. Полученное уравнение имеет вид уравнения

y f

, где f

и поэтому является однородным.

Пример 3. Решить уравнение

1 .

Решение.

Полученное дифференциальное уравнение имеет вид уравнения y

, cследовательно, данное

уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Для того чтобы решить его,

введем вспомогательную функцию

y tx . Отметим, что введенная

нами функция t

всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифферен-

циальное уравнение, содержащее ln t ln

Найдем первую производную функции y по аргументу x : y

t x

t x t . Подставим в

исходное уравнение вместо y′ и

их выражения через t и x :

t x t t(ln t 1);

t x t t ln t t;

t x t ln t;

Разделяем переменные:

;

t ln t

Интегрируя, получаем:

ln t

ln t Cx;

t eCx ;

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции y , получаем общее решение: y xeCx .

Ответ: y xeCx . , где c — произвольная постоянная.

Задания для решения в аудитории

Задание № 1. Показать, что данные дифференциальные уравнения являются однородными и решить их.

1. 2x y dx x y dy 0

2. y2 2xy dx x2dy 0

x 2y dx xdy 0

xydy x2 2 y2 dx 0

x2 y y2 4xy 2x2

x2 y y2 8xy 12x2

y2 x2 y xyy

xyy x2 y2

2 y x

10.

x 8y

2x y

8x y

11.

xy y2

12.

x2 2xy y2

x2 2xy

2x2 2xy

3xy y2

13.

14.

2xy

15.

xy 3

x2 y2 y

16.

xy 3 2x2 y2 y

xy 2

3y3

6 yx2

17.

3x2 y2 y

18.

2 y

2 3x2

19.

3y3 10 yx2

20.

3y3

12 yx2

2 y2 5x2

2 y2 6x2

21.

22.

2 y

23.

12.

24.

10.

25.y y2 6 y 6.

x2 x

Уравнения, приводящиеся к однородным

Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут быть приведены к однородным. Рассмотрим уравнение вида

y		ax by c
	f		. При определенных значениях a1, a , b1, b, c1, c	сводится к однородному урав-

	a1x b1 y c1

нению. Рассмотрим три возможных случая коэффициентов:


1) Если определитель	a	b	0 (т.е.	a		b	, ) то переменные могут быть разделены подстановкой
	a1	b1
				a1		b1
				x u ;				y v ;
где и - решения системы уравнений					ax by c 0				. Этой заменой дифференциальное уравне-

					a1x b1 y c1 0

ние y		ax by c		dv		au bv
	f		сводится к уравнению		f		. Далее его решают как однородное.

	a1x b1 y c1			du	a1u b1v

Пример 4. Решить уравнение (x 2y 3)dy (2x y 1)dx 0.

Решение.

Получаем (x 2 y 3)

2x y 1;

x 2 y 3

Находим значение определителя

4 1 5 0 .

2x y 1 0

y 1 2x

x 1/ 5

Решаем систему уравнений

;

x 2 y

3 0

2 4x 3 0

y 7 / 5

Применяем подстановку x u 1/ 5;

y v 7 / 5; в исходное уравнение:

(u 1/ 5 2v 14 / 5 3)dv (2u 2 / 5 v 7 / 5 1)du 0;

(u 2v)dv (2u v)du 0;

2u v

2 v / u

;

du 2v u

2v / u 1

Заменяем переменную

v ut;

v t u t;

при подстановке в выражение, записанное выше,

имеем: t u t

2 t

2t 1

Разделяем переменные:

2 t

2 t 2t2 t

2(1 t t2 )

;

2t 1

1 1 2t

1 (1 2t)dt

dt;

;

1 t t2

12 ln 1 t t2 ln u ln C1 ln 1 t t2 2 ln C1u

ln	1 t t2	ln	C2	;	1 t t2	C2	;

			u2			u2

Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.

t	v	y 7 / 5	5y 7	;	u x 1/ 5;
	u	x 1/ 5	5x 1

1	5y 7	5y 7	2	25C	2	;
				2
	5x 1	5x 1		(5x 1)

(5x 1)2 (5y 7)(5x 1) (5y 7)2 25C2

25x2 10x 1 25xy 5y 35x 7 25y2 70y 49 25C2 25x2 25x 25xy 75y 25y2 25C2 49 1 7

x2 x xy 3y y2 C2 5525 C;

Таким образом, выражение x2 x xy 3y y2 C , где C — произвольная постоянная, общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

Ответ: x2 x xy 3y y2 C , где C — произвольная постоянная.

ax by c

2) В случае если в исходном уравнении вида y f

определитель

a1x b1 y c1

), то переменные могут быть разделены подстановкой

ax by .t Причем

Эта замена приводит к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

является

0 (т.е.

t t(x) .

Пример 5. Решить уравнение 2(x y)dy (3x 3y 1)dx 0.

Решение.

Получаем 2(x y)

3x 3y 1;

3x 3y 1

;

2x 2 y

6 6 0;

Находим значение определителя

Применяем подстановку 3x 3y t.

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

3(t 1)

;

2t(t 3) 9t 9;

2tt 6t 9t 9;

2tt 3t 9;

Разделяем переменные:

dt dx;

dx;

3t 9

t 3

dx;

t 3ln

t 3

x C

Далее возвращаемся к первоначальной функции y и переменной x :

2x 2y 2ln

3(x y 1)

x C2 ;

3x 2y 2ln 3 2ln

x y 1

C2 ; . 3x 2y 2ln 3 2ln

x y 1

C2 ; .

3x 2y 2ln

x y 1

таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Ответ: 3x 2y 2ln

x y 1

C; , где C — произвольная постоянная.

k(a x b y c )

3) Если

k R,

то получаем

, т. е. dy f (k)dx.

Далее интегри-

a1x b1 y c1

руют.

Пример 6. Найти решение дифференциального уравнения:

2x y 1

4x 2 y 2

Решение.

Так как

, т.е.

, то заданное уравнение сводится к уравнению

2x y 1

4 2 2

dx 2

2x y 1

После сокращения имеем 2dy dx. Интегрируем и получаем общее решение исходного дифференциального уравнения: 2y x C.

Ответ: 2y x C. , где C — произвольная постоянная.

Задания для решения в аудитории

Задание № 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

1. y	x 2 y 3	.	2. y	x y 2	.	3. y	3y x 2	.


	2x 2			2x 2			3x 3

4. y	2 y 2	.	5. y	x y 2	.	6. y	2x y 3	.

	x y 2			3x y 2			x 1
							14

7. y x 7 y 8 . 9x y 8

10. y x 2 y 3 . 4x y 3

13. y 2x 3y 5 . 5x 5

16.y y 2x 3 .

19. y	5y 5
		.
	4x 3y 1

Задание № 3. Решить задачу

8. y x 3y 4 . 3x 6

11. y x 2 y 3 . 2x 2

	y	4 y 8
14.					.
		3x 2 y 7
17.	y	x 2 y 3	.

		x 1
20.	y	x 4 y 5		.

		6x y 5

Коши:

1)(x y 1)dx (5x 7y 1)dy 0, y(0) 1;

2)(x y 1)dx (2x 2y 1)dy 0, y(0) 1;

3)(x 2y 1)dy (2x y 1)dx 0, y(0) 1.


9.	y			3y 3	.

		2x y 1
12.	y			x 8y 9				.

			10x y 9
15.	y			x 3y		4	.
				5x y		4

18.y 3x 2 y 1.

Задания для самостоятельного решения

Задание №4. Проинтегрировать уравнения:

1.xy y x2 y2 . Ответ. y x sin ln x C .

2.x y dx x y dy 0. Ответ. x2 2xy y2 C .

y2 4xy 4x2 y 0. Ответ.

. .

x y e

y. Ответ.

5. 2xydx y2

dy 0.

Ответ.

y2 x2 C y .

xy y xtg

0. Ответ. x sin

C .

ln x C .

y . Ответ. y

y. Ответ. ctg

ln x C .

sin

xy2dy y3 x3

dx. Ответ.

y3 3x3 ln

C x

xy y ln

y 1 e3. Ответ.

y xeCx 1;

y xe2x 1 .

10.

Линейные однородные дифференциальные уравнения I порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение,

которое можно записать в виде

y P(x) y Q(x),

(1)

где Q(x) и P(x) — заданные непрерывные функции, в частности — постоянные (Q(x) — свободный член или правая часть уравнения). Будем полагать, что коэффициент уравнения P(x) и свободный

член Q(x) уравнения непрерывны на некотором интервале (a; b), в котором разыскивается решение уравнения.

Если правая часть в уравнении (1), функция Q(x) тождественно не равна нулю на (a; b), то уравне-

ние (1.) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если же правая часть в уравнении (1), функция Q(x), тождественно равна нулю на (a; b), то уравнение () принимает вид: y P(x) y 0

и называется в этом случае линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка,

соответствующим линейному неоднородному уравнению (1) (линейное однородное дифференциальное уравнение I порядка не следует смешивать с однородными дифференциальными уравнениями первого порядка, содержащими однородную функцию, которые рассматривались ранее). Отметим, что линейное однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

y P(x) y 0 .

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

dyy P(x)dx

ln y P(x)dx ln C ; ln Cy P(x)dx;

Общее решение: y Ce P( x)dx .

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения x( y2 1)dx y(x2 1)dy 0 .

Решение.

Данное уравнение – линейное однородное дифференциальное уравнения I порядка. Оно легко приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

xdx

ydy

xdx

ydy

;

x2 1

y2 1

ln C y2

x2 1

y2 1

x2 1

y2 1

x2 1

Общий интеграл имеет вид:

x2 1

Ответ: y

1 — общее решение, где C – произвольная постоянная.

x2 1

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным

условиям: y cos x ( y 1)sin x;

y(0) 0.

Решение.

sin x

;

tgxdx;

y 1

cos x

ln C;

y 1

cos x

( y 1) cos x

ln C;

( y 1) cos x C;

Общее решение имеет вид:

cos x

Найдем частное решение при заданном начальном условии

y 0 0 : 0

C 1.

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений ( Q x 0 ) применяются в основном два

метода: метод Бернулли и метод Лагранжа. Рассмотрим их поподробнее.

Метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что решение уравнения y P(x) y Q(x), разыс-

кивается в виде y u x v x , где u(x)	и v(x) — новые неизвестные функции аргумента x . Затем
находят y :	y u	x v x u x v	x .
y u x v x

Полученный результат у и у' подставляют в уравнение: u v v u P x u v Q x .

Далее, группируют в левой части слагаемые с общим множителем v в первой степени (или u) v , и,
вынося общий множитель за скобки, имеют:
	v u P x u v u Q x .
Затем выбирают	функцию u такой,	чтобы множитель при v обращался в 0 :

u P x u 0	v u Q x .
Таким образом, получают систему: u P x u 0
		u Q x
	v	u Q x

Решают первое уравнение системы, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

P(x)u 0 .

P(x)dx;

P(x)dx; ln

P(x)dx;

u Ce P( x)dx ,

P(x)dx;

C 1/ C1;

Для нахождения второй неизвестной функции v подставляют полученное выражение для функции u во второе уравнение системы v u x Q x :

Сe	P( x)dx dv		Q(x);	Cdv Q(x)e	P( x)dx	dx;
		dx

Интегрируя, находят функцию v:

Cv Q(x)e P( x)dx dx C		;	v	1	Q(x)e P( x)dx dx C .

	2			C	2

Таким образом, была получена вторая составляющая произведения y uv , которое и определяет

искомую функцию.

Подставляют полученные значения, получают:

y uv Ce	P( x)dx	1	Q(x)e	P( x)dx	dx C2


		C

Следовательно получена формула решения линейного неоднородного дифференциального уравнения I порядка в общем виде с использованием метода Бернулли:

y e	P( x)dx	1	Q(x)e	P( x)dx	dx C2	C2 — произвольный коэффициент.


		C

Таким образом, реализация метода Бернулли заключается в реализации следующих шагов:
1) ищем общее решение дифференциального уравнения y P(x) y Q(x), в виде:	y u v, где
u u(x), v v(x) – некоторые функции, которые надо найти;
	17

2) подставляем функцию y u v, и ее производную в уравнение y P(x) y Q(x), , получаем: u v uv P(x)uv Q(x) или u(v vP(x)) u v Q(x);

3)	функцию v(x)	подбираем как частное решение (при C 0 ) дифференциального уравнения
	v vP(x) 0;
4)	при условии	v vP(x) 0; решаем уравнение u(v vP(x)) u v Q(x); , которое приобретает
	вид u v Q(x)	как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (находим

его общее решение);

5)общее решение исходного уравнения y P(x) y Q(x), записываем как произведение найденных функций u(x) и v(x), т. е. в виде y u v .

Пример 3. Решить уравнение y ' y tgx cos2 x .

Решение.Данное уравнение – линейное неоднородное дифференциальное уравнения I порядка. Будем решать его используя метод Бернулли.

Вводим замену:		y u(x) v(x) , которая и приведет к системе двух уравнений с разделяющимися пе-
ременными:
										v ' v tgx 0
	u ' v v ' u u v tgx cos2 x, u ' v u (v ' v tgx) cos2 x, u ' v cos2 x

1)	dv	v tgx,				dv	tgxdx, v cos x

	dx					v
	dx					v				y (sin x c) cos x — общее решение.
			2		du cos xdx,
2) u ' v cos			2	x,				u sin x c
2) u ' v cos				x,				u sin x c
Ответ: y (sin x c) cos x — общее решение, где c									– произвольная постоянная.

Пример 4. Найдите решение уравнения y 2xy x , удовлетворяющее начальному условию

y 1 0 .

Решение

Данное уравнение является линейным первого порядка. Здесь можно считать P(x) 2x , Q(x) x

Решение данного дифференциального уравнения будем искать в виде:

y u(x) v(x) . Найдем y :

y u

x v x u x v x .

Подставляя выражения для y и y′ в данное уравнение, получаем:

u ' v v ' u u v

u v ' v (u '

) x

u '

u v x

2 ln

, C0 1,

2) u v x,

v x,

dv x

dx,

y u v

— общее решение, где c

– произвольная постоянная.

Используя заданное начальное условие, будем иметь: 0

c . Откуда находим c

Тогда искомое частное решение имеет вид:

4x2

Ответ: y x	x2	1	— частное решение.
		4x2
4

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений I порядка еще называют методом вариации произвольной постоянной. Суть этого метода заключается в следующем:

1) находят общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, которое будет со-

держать произвольную постоянную C : y Ce p x dx , C const, C R;

2) решение исходного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в том же виде, что и решение соответствующего однородного уравнения, но заменив постоянную C на функцию

C(x) (т.е y C(x)e p x dx , где C C(x) – некоторая функция, которую необходимо найти).

3) подставляем функцию y C(x)e p x dx в уравнение y P(x) y Q(x), и находим функцию C(x):

C(x) C Q(x)e P x dxdx, где С – произвольная постоянная. (Для этого отбрасываем правую часть уравнения и заменяем ее нулем: y P(x) y 0 . Далее находим решение получившегося однородного

дифференциального уравнения: y C1e P( x)dx . После чего находим соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения. Для того, полагаем постоянную C1 некоторой функцией от x . Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

dC1 (x)

e P( x)dx C (x)e P( x)dx

( P(x));

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

dC1 (x)

e P( x)dx C (x)P(x)e P( x)dx P(x)C (x)e P( x)dx Q(x)

dC1 (x)

e P( x)dx Q(x);

Из этого уравнения определяем переменную функцию C1 (x) :

dC (x) Q(x)e P( x)dxdx;

Интегрируя, получаем C(x) C1 Q(x)e P( x)dxdx C .)

4) общее решение уравнения y P(x) y Q(x), записываем в виде: y e

P x dx

P( x)dx

Q(x) e

dx .

Пример 5. Решить линейное дифференциальное уравнение y y cos x e sin x .

Решение.

1) Решаем соответствующее однородное уравнение: y y cos x 0

Это уравнение с разделяющимися переменными. Заменяя y на

и разделяя переменные, полу-

чим

y cos x или

cos xdx .

После

интегрирования

имеем:

cos xdx , откуда

находим

sin x c

или

y e sin x c0 e sin x ec0 .

Полагая ec0

c ,

получаем общее решение соответствующего однородного

уравнения в виде: y e sin x c , где c – произвольная постоянная.

2) Решение исходного неоднородного дифференциального уравнения будем искать в том же виде, что и решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, только заменяя по-

стоянную c на функцию c(x):

y e sin x c x . Продифференцируем равенство по x :

x e

sin x

c(x) cos x e

sin x

Подставив вместо y и y′ полученные выражения в исходное уравнение будем иметь:

sin x

c(x) cos x e

sin x

c(x) cos x e

sin x

c x e

Преобразуя полученное равенство,

получаем: c x 1,

или

dx 1 dc dx , откуда, после инте-

грирования, находим dc dx или c x x c1

, где c1

— произвольная постоянная.

Подставляя найденное выражение для c(x), получим общее решение исходного дифференциального уравнения y e sin x x c1 , где c1 — произвольная постоянная.

Ответ: y e sin x x c1 , где c1 — произвольная постоянная.

Замечание. При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

Задания для решения в аудитории

Задание №1. Решите задачу Коши:

x 1 ,

1. y

x 1 y

y(0) 1.

3. y xy x3 , y(0) 3.

5. y

2 y

(x 1)3 , y(0)

x 1

7. y

x2 , y(1)

9. y

y x2 , y(1)

11.y 1 2x y 1, y(1) 1.

13. y

, y(1) 4.

15. y

x2 2x, y( 1)

17. y

2x2

, y(0)

1 x2

19. y

x sin x, y( / 2) 1.

21. y yctgx 2x sin x, y( / 2) 0.

y y cos x sin 2x, y(0) 1.

25. y 2xy xe x2 sin x, y(0) 1.

27. y	y	y ex (x 1), y(0)	1.

	x 1

2. y 2xy 2x3 , y(1) e 1.

4. y 4xy 4x3 , y(0) 12 .

6. y

3x, y(1) 1.

8. y

x2 , y(1) 1.

10. y

, y(1) 1.

12. y

, y(1) 1.

14. y

, y(0)

2(1 x2 )

16.y 2x 5 y 5, y(2) 4.

18. y	2xy	1 x2 , y(1) 3.
	1 x2

20. y xy sin x, y( ) 1 .

22. y ytgx cos2 x, y( / 4) 12 . 23. 24. y y cos x sin 2x, y(0) 3.

26.y y x 1 ex , y(1) e.

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]