Учебно-методический комплекс по учебной дисциплине Контроль и испытания продукции для направления специальности 1-54 01 01-01 Метрология, стандартизация и сертификация (машиностроение и приборостроение)

множитель суммарной стандартной неопределенности для получения расширенной неопределенности. Обычно численное значение коэффициента охвата находится в пределах от 2 до 3. На практике, а также при проведении калибровок принимают k=2 для интервала, имеющего уровень доверия 95%

и k=3 для интервала, имеющего уровень доверия 99%.

Согласно концепции неопределенности для каждой величины,

входящей в уравнение модели, необходимо определить оценку и стандартную неопределенность. Оценками входных величин (x1, x2 … xN)

являются их математические ожидания. Стандартная неопределенность u(xi), связанная с оценкой измеряемой величины xi, является стандартным отклонением величины. При этом каждую входную оценку xi и связанную с ней стандартную неопределенность u(xi) получают из распределения вероятностей входной величины Xi. Набор входных величин Х1, Х2, … ХN,

участвующих в измерении, можно условно разделить на две группы:

1) величины, значения и неопределенности которых определяются непосредственно в текущем измерении (в результате одного наблюдения,

повторных наблюдений или заключения, основанного на опыте); они могут требовать определения поправок в показания прибора и поправок на влияющие величины (температуру, атмосферное давление, влажность и др.) –

оценивание неопределенности по типу А;

2) величины, значения и неопределенности которых вносятся в измерение из внешних источников, связанных с аттестованными эталонами, стандартными образцами или справочными данными - оценивание неопределенности по типу В.

Если бы лаборатория обладала неограниченными ресурсами, то все составляющие неопределенности оценивались бы статистическими методами

552

на основе экспериментальных данных. Однако в некоторых измерительных ситуациях, когда не представляется возможным организовать достаточное количество независимых наблюдений, оценка стандартной неопределенности по типу В может быть такой же надежной, как и оценка по типу А.

Оценивание стандартной неопределенности по типу А может основываться на любых обоснованных методах статистической

обработкиданных, таких как:

-расчет стандартного отклонения и среднего значения на основании серии наблюдений;

-использование метода наименьших квадратов для подбора кривой к данным

(например, градуировочной кривой) и последующего расчета

соответствующих оценок параметров градуировочной функции и их стандартных отклонений;

- проведение дисперсионного анализа для идентификации и определения значений отдельных случайных эффектов в измерениях, чтобы эти эффекты могли быть правильно приняты во внимание при оценивании неопределенности измеряемой величины и др.

Наилучшей доступной оценкой математического ожидания или

ожидаемого значения μx величины x, изменяющейся случайным образом

(случайная переменная), для которой были получены n независимых

Таким образом, для входной величины Хi,оцененной из n независимых повторных наблюдений, среднее арифметическое X , полученное из уравнения (1), используется как входная оценка хi в уравнении (1) для определения результата измерения y, т.е. хi= X .

Случайные составляющие неопределенности предположительно возникают из непредсказуемых или стохастических временных или

553

пространственных изменений влияющих величин. Эффекты таких изменений

(случайные эффекты) вызывают изменения измеряемой величины при повторных наблюдениях, что следует из формулы для отклонения среднего значения измеряемой величины:

где u(x) – стандартная неопределенность входной величины x,

рассчитываемая из выражения:

научного суждения, основанного на всей доступной информации о возможной изменчивости Хi. Фонд информации может включать:

-данные предварительных измерений;

-данные, полученные в результате опыта, или общие знания о поведении и свойствах соответствующих материалов и приборов;

-спецификация изготовителя;

-данные, которые приводятся в свидетельствах о калибровке и в других сертификатах;

-неопределенности, приписываемые справочным данным, взятым из справочников.

Правильное использование фонда доступной информации для оценивания стандартной неопределенности по типу В требует интуиции,

основанной на опыте и общих знаниях, и является мастерством, которое приходит с практикой. Имеющуюся информацию и знания или даже предположения о величинах Xi необходимо правильно описать с помощью распределения вероятностей, чтобы затем определить оценки величин и их стандартные отклонения. При этом чаще всего используются распределение Гаусса (нормальное), прямоугольное (равномерное), треугольное.

Распределение Гаусса применяют, когда:

554

-оценка получена из повторных наблюдений случайно изменяющегося процесса (u(x) = s);

-неопределенность дана в форме стандартного отклонения наблюдений (s =

u(x));

неопределенность дается в форме 95%-ого или другого интервала доверия Q

без указания вида распределения: u(x) = Q/2 (для Q при 95 %).

Для входной величины, имеющей нормальное распределение с ожиданием μxи стандартным отклонением σ функция распределения вероятностей имеет вид (рисунок 4.1):

P(x)

1/2a

Рисунок 4.1 - Графическая иллюстрация нормального распределения

555

Прямоугольное распределение. Если нет конкретной информации о характере распределения Хi внутри интервала от а- до а+, то можно только предположить, что данная величина может находиться в любом месте в его пределах с одинаковой вероятностью (равномерное или прямоугольное распределение,смрисунок4.2a).

P(x)

1/2a

P(x)

1/a

Рисунок 4.2 – Графическая иллюстрация оценивания стандартной неопределенности входной величины из априорного распределения:

Если составляющая неопределенности, полученная таким образом, дает значительный вклад в неопределенность результата измерения, имеет смысл получить дополнительные данные для ее дальнейшего оценивания.

Прямоугольное распределение вероятностей применяется когда:

- об измеряемой величине только известно, что ее значение наверняка лежит в определенной области (от – а до + а), и что каждое значение между границам этой области с одинаковой вероятностью может приниматься в расчет;

556

- сертификат или другой документ дает пределы без определения уровня доверия (например, 25 мл 0,05 мл), а = 0,05 мл;

- оценка получена в форме максимальных значений диапазона ( а)

снеизвестной формой распределения.

Рассмотренные разрывы ступенчатой функции в распределении вероятностей являются часто нефизическими: во многих случаях более реалистично ожидать, что значения возле границ гораздо менее вероятны,

чем те, которые находятся возле центра. Тогда целесообразно заменить симметричное прямоугольное распределение симметричным трапецеидальным, имеющим одинаковые наклонные стороны

(равнобедренная трапеция) или треугольным распределением (рисунок 2б):

Треугольное распределение вероятностей применяется когда:

- доступная информация относительно х менее ограничена, чем для прямоугольного распределения, значения возле х (среднее арифметическое)

более вероятны, чем у границ;

- оценка получена в форме максимальных значений диапазона ( а),

описанного симметричным распределением.

Таким образом, оценку стандартной неопределенности по типу А получают из функции плотности вероятностей, основанной на наблюдаемом распределении частот, а оценку стандартной неопределенности по типу В получают из априорной функции распределения вероятностей, то есть предполагаемой функции распределения вероятностей, основанной на имеющейся информации о величине и связанной с ней (с информацией)

субъективной вероятностью. В обоих случаях распределения вероятностей являются описанием нашихнеполных знаний о входных величинах.

557

Полученные оценки измеряемых величин и их неопределенностей подставляют в выражение для расчета суммарной стандартной неопределенности uc(y).

В случае указания расширенной неопределенности результат измерения выражается в виде интервала Y = y ± U (y - U y y + U), который содержит большую часть распределения вероятностей, характеризуемого результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью, и

р является вероятностью охвата или уровнем доверия этого интервала.

Следует обратить внимание на то, что в концепции неопределенности слово

"доверие" не используется для модификации слова "интервал", когда ссылаются на интервал, определяемый U. Термин "доверительный уровень"

также не используется в связи с интервалом, так как эти термины имеют в статистике специальные определения и применяются к интервалу, когда выполнены определенные условия.

Анализ неопределенности измерения – часто также называемый бюджетом неопределенности, служит для обобщения и наглядного представления всей полученной и проанализированной ранее информации в количественной форме о входных величинах с целью облегчения непосредственного расчета значения стандартной неопределенности,

связанной с измеряемой (выходной) величиной. Бюджет неопределенности может также использоваться для анализа вкладов каждого источника неопределенности в суммарную стандартную неопределенность с целью определения точности измерительного процесса, корректировки модели измерения или поиска способов уменьшения значений неопределенностей от некоторых вкладов, оказывающих наибольшее влияние на конечный результат. Для сравнения вкладов источников неопределенности в суммарную стандартную неопределенность используют понятие процентного вклада. Процентный вклад неопределенности i-ой входной величины в суммарную стандартную неопределенность вычисляется как:

c

Сумма всех процентных вкладов должна быть равна 100%.

Таблица 4.1 – Бюджет неопределенности

Расчет значения измеряемой или выходной величины Yзаключается в нахождении значения ее оценки у. Полученное значение оценки принимается за результат измерения. Оценку выходной величины получают из уравнения модели, заменяя входные величины Xiих оценками xi:

y = f (x1, x2, …, xN)

При этом предполагается, что значения входных величин являются лучшими оценками входных величин, что они были внесены поправки на влияния и эффекты, значимые для данной модели. Если это не так, то необходимые поправки должны вводиться в модель в качестве отдельных входных величин.

Когда вклад неопределенности входной величины в суммарную стандартную неопределенность является доминирующим, то есть ее

стандартная неопределенность больше, чем суммарная стандартная неопределенность всех остальных входных величин, то распределение

559

вероятностей, характеризуемое результатом измерения и суммарной стандартной неопределенностью, предполагается аналогичным распределению вероятностей доминирующего вклада.

При записи численного результата измерения в GUM рекомендуется применять следующие способы. В качестве примера рассмотрим эти способы записи для эталона массы msc номинальным значением 100 г. Если мерой неопределенности измерения является суммарная стандартная неопределенностьuс(y):

1) "ms = 100,02147 г (с суммарной стандартной неопределенностью ) uс(y) =

0,35 мг"

или "100,02147 г; 0,35 мг";

или "100,02147 г; 3,5·10-6", где число после ";" без указания единиц величин является относительной стандартной неопределенностью uc(y)/│y│; 2) "ms = 100,02147(35) г", где цифры в скобках являются численным значением суммарной стандартной неопределенности uc(y),

соответствующие последним цифрам приведенного результата;

3) "ms = 100,02147(0,00035) г", где число в скобках является численным значением суммарной стандартной неопределенности uc(y), выраженной в единицах величин результата измерения;

или "100,02147 г (0,35 мг)", где число в скобках является численным значением суммарной стандартной неопределенности uс(y), выраженной в указанных единицах величин;

или "100,02147 г (3,5·10-6)", где число в скобках без указания единиц величин являются относительной стандартной неопределенностью uс(y)/│y│;

или "ms = (100,02147 ± 0,00035) г", где число, следующее за знаком ±,

является численным значением стандартной суммарной неопределенности uc(y), а не доверительным интервалом;

или 100,02147 г (1 ± 3,5·10-6).

Последней формы следует избегать, поскольку традиционно она использовалась для указания интервала, соответствующего высокому уровню

560

доверия, и, следовательно, может быть спутана с расширенной неопределенностью, хотя скобки, применяемые при этой форме записи,

используются с целью предотвращения такой путаницы.

Если мерой неопределенности измерения является расширенная неопределенность U, то лучше всего указать результат в виде y U.При

этомнаиболее полной будет следующая форма записи:

" ms = (100,02147 ± 0,00079) г, где число следующее за знаком ±, является численным значением расширенной неопределенности U = kuс(y), причем U

определено из суммарной стандартной неопределенности uс(y) = 0,35 мг и

коэффициента охватаk= 2, основанного на

нормальном распределении, и определяет интервал, оцененный как имеющий уровень доверия 95 %";

а более краткой "100,02147 г ± 0,00079 г (k = 2, р = 95 %)"

или "100,02147 г ± 0,79 мг (k = 2, р = 95 %)",

где в скобках указано значение коэффициента охвата и уровня доверия Численные значения оценки у и ее стандартной неопределенности uc(y)

или расширенной неопределенности U не следует давать с избыточным числом цифр. Обычно достаточно привести их с двумя значащими цифрами,

хотя в некоторых случаях может быть необходимо сохранить дополнительные цифры для того, чтобы избежать погрешности округления в следующих расчетах.

При сообщении окончательных результатов иногда может быть уместным округлить неопределенности в сторону увеличения, а не до ближайшей цифры. Например, uc(y) = 10,47 мОм можно округлить до 11

мОм. Однако здравый смысл должен возобладать, и значение,

такое как uc(y) = 28,05 кГц, следует округлить до 28 кГц.

Выходные и входные оценки должныокругляться так, чтобы соответствовать своим неопределенностям;например, если у = 10,05762 Ом с uc(y) = 27 мОм, то у следует округлить до 10,058. Коэффициенты корреляции