Учебно-методический комплекс по учебной дисциплине Контроль и испытания продукции для направления специальности 1-54 01 01-01 Метрология, стандартизация и сертификация (машиностроение и приборостроение)

541

1)Расчет отклонений Vi результатов наблюдений от среднего

арифметического значения:

̃

2) Расчет суммы отклонений (отклонения суммируют с учетом знаков):

∑

Если сумма отклонений практически равна нулю, расчеты значений Ã и Vi

можно считать правильными, в противном случае необходимо перепроверить

расчеты.

Расчет оценки S СКО результатов наблюдений:

Оценку ~ среднего квадратического отклонения результата измерения

S A

(оценку СКО среднего арифметического значения) определяют из зависимости

При наличии ранее рассчитанного значения Sможно воспользоваться той же зависимостью, представленной в виде:

( ̃) ⁄√

Доверительные границы (без учета знака) случайной погрешности ε результата

измерения рассчитывают из зависимости

~ , t S A

где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений n (находят из таблицы 3.1,

взятой из справочного приложения 2 ГОСТ 8.207). В случае отсутствия значимых неисключенных систематических составляющих погрешности за значения границ погрешности результата измерения принимают полученное значение ε.

542

Таблица 3.1 – Значение коэффициента t для случайной величины Y,

имеющей распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы

Обычно принимают Р = 0,95 или (в особых случаях) 0,99 и выше.

Особые случаи – те, в которых результаты измерений связаны со здоровьем и безопасностью жизни людей, с возможными значительными экономическими потерями. Иногда принимают Р = 0,99 если существенно затруднены возможности повторения измерительного эксперимента или имеются иные причины.

При числе степеней свободы более 30, что приравнивается к бесконечности, чаще всего используют округленные значения коэффициента t, принимая t ≈ 2 при Р = 0,95 и t ≈ 2,6 при Р = 0,99, а при вероятности свыше 0,99 для простоты принимают t ≈ 3.

Далее при наличии известных оценок частных неисключенных систематических составляющих погрешностей Θi рассчитывают границы неисключенной систематической составляющей погрешности. В качестве границ частных неисключенных систематических погрешностей принимают,

например, пределы допускаемых погрешностей используемых мер (гирь,

концевых мер длины) и/или других средств измерений, если эти погрешности представлены в их паспортах или иных документах. При использовании аттестованных средств измерений, если в результаты измерений вносится взятая из аттестата поправка, границей частной неисключенной систематической погрешности считают предельную погрешность аттестации.

543

Суммирование составляющих неисключенной систематической погрешности результата осуществляют на основе допущения о том, что все неисключенные систематические погрешности можно рассматривать как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределений этих величин, их распределения принимают за равновероятные. Такое распределение приписывают погрешностям, поскольку егоможно считать наихудшим из возможных вариантов.

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляют следующим образом. При наличии нескольких неисключенных систематических погрешностей,

заданных своими границами i, доверительную границу неисключенной систематической погрешности результата измерения (Р) (без учета знака)

вычисляют по формуле:

√∑

где – граница i-й неисключенной систематической погрешности;

k– поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом m составляющих Θi.

При Р = 0,90 k= 0,95; при Р = 0,95 k= 1,1.

Значение доверительной вероятности для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают таким же, как и при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

При доверительной вероятности Р = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырех (m> 4). Если число суммируемых погрешностей равно четырем или менее четырех (m ≤ 4), то коэффициент k определяют по графику (рисунок 3.1) зависимостей k = f (m, l), представленному в стандарте ГОСТ 8.207.

544

Значение аргумента l рассчитывают по формуле

где – составляющая, наиболее отличающаяся от других числовым

значением,

– составляющая, ближайшая к .

Рисунок 3.1 – Графики зависимостей ( ): кривая 1 для m=2, кривая 2

для m=3 и кривая 3 для m=4

Далее для оценки значимости неисключенных систематических погрешностей

по сравнению со случайными берут соотношение ⁄ ( ̃).

Неисключенные систематические погрешности считают пренебрежимо малыми по сравнению со случайной составляющей если их значение менее 0,8

S(Ã). В таком случае принимают, что граница погрешности результата

измерения = ε.

Если значение неисключенной систематической погрешности превышает

8,0S(Ã), то пренебрегают случайной погрешностью как пренебрежимо малой по сравнению с систематической и принимают, что граница погрешности результата = Θ.

Если отношение неисключенной систематической составляющей погрешности к случайной находится между двумя указанными пределами, т.е.

0,8 ≤ /S(Ã) ≤ 8,0,

545

то границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей. В таком случае допускается границы погрешности результата измерения (без учета знака) вычислять с использованием зависимости

∑

где K – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;

SΣ – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Коэффициент K вычисляют по эмпирической формуле

( ̃) √∑

Оценку суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения определяют из зависимости

∑ √∑ ( ̃)

где ⁄√ – оценка среднего квадратического отклонения i-й неисключенной систематической погрешности, полученная на основе ранее представленного допущения о равновероятном распределении этих погрешностей в границах

± i, а соответственно i2/3 – дисперсия этого отклонения.

3.2 Статистическая обработка результатов косвенных измерений

Порядок статистической обработки результатов косвенных измерений

можно представить следующим образом:

1.Статистическая обработка результатов прямых измерений и нахождение Ãiи S(Ã)i.

2.Расчет искомого значения ФВ (точечной оценки результата косвенных измерений)

( ).

546

3. Определение оценки каждой частной погрешности с учетом ее

весового коэффициента

( ̃) ,

где ̂.

4. Определение оценки погрешности (среднего квадратического отклонения) результата косвенного измерения. Оценку погрешности результата косвенного измерения рассчитывают с учетом весовых коэффициентов частных погрешностей. При значимой стохастической связи оценка среднего квадратического отклонения (оценка погрешности косвенного измерения)

рассчитывается с учетом коэффициента корреляции Rij (определяют традиционными статистическими расчетами)

√∑( ) ∑

и практическом отсутствии корреляции между величинами, получаемыми в результате прямых измерений, что имеет место, например, в независимых измерениях длин для определения объема или длин и массы для расчета плотности

√∑( )

5. Определение значения коэффициента Стьюдента t в зависимости от выбранной доверительной вероятности Р и запись результата косвенного измерения в установленной форме

, P=0,95 и P=0,99

Результаты прямых и косвенных измерений должны отвечать требованиям обеспечения единства измерений, то есть в описании результата следует использовать узаконенные единицы физических величин и указывать оценки погрешностей.

547

Оформление результатов измерений должно соответствовать требованиям МИ 1317-86 «Методические указания. ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров».

Простейшая форма представления результатов измерений, предложенная ГОСТ 8.207 для случая симметричной доверительной погрешности

̃

где ~ – точечная оценка результата измерения,

A

– доверительная граница результата измерений,

Р– доверительная вероятность.

Числовое значение точечной оценки результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности .

При отсутствии данных о видах функций распределений случайных

инеисключенных систематических составляющих погрешности,

результаты измерений можно представить в форме

В случае если границы неисключенной систематической погрешности вычислены как композиция неисключенных частных систематических погрешностей, следует дополнительно указывать принятую в расчетах доверительную вероятность Р.

Эту форму нельзя считать окончательной, очевидна необходимость анализа погрешностей и дальнейшей обработки результатов для представления их в нормированном виде, соответствующем требованиям МИ

1317.

Требования к оформлению результата измерений:

наименьшие разряды должны быть одинаковы у точечной оценки результата и у характеристик погрешностей;

548

характеристики погрешностей (или их статистические оценки)

выражают числом, содержащим не более двух значащих цифр, при этом для статистических оценок цифра второго разряда округляется в большую сторону, если последующая цифра неуказываемого младшего разряда

больше нуля;

допускается характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражать числом, содержащим одну значащую цифру, при этом для статистических оценок второй разряд (неуказываемый младший) округляется в большую сторону при отбрасывании цифры младшего разряда от 5 и более и в меньшую сторону при отбрасывании цифры меньше 5.

Примеры форм представления результатов измерений:

1.(8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95.

2.32,014 мм. Характеристики погрешностей и условия измерений по РД 50-98 – 86, вариант 7к.

3.(32,010…32,018) мм; Р = 0,95. Измерение индикатором ИЧ 10

класса точности 0 на стандартной стойке с настройкой по концевым мерам длины 3 класса точности. Измерительное перемещение не более 0,1 мм;

температурный режим измерений ± 2 оС.

измерений: температура среды 20 оС, кинематическая вязкость измеряемого объекта 1,5·10 –6 м2/с.

4.Оценивание точности измерений на базе концепции неопределенности

4.1 Общие положения

Согласно РМГ 29-99точность результата измерений (точность измерений) –одна из характеристик качества измерения, отражающая близость к нулю погрешности результата измерения (считают, что чем меньше погрешность измерения, тем больше его точность).

549

Согласно VIM точность измерения –близость согласования между измеренным значением величины и истинным значением измеряемой величины.

В Примечаниях к VIM сказано, что «понятие «точность измерения» не является величиной и не задается численным значением величины», «под точностью измерения иногда понимают близость согласования между измеренными значениями величины, которые приписываются измеряемой величине».Для оценивания точности измерения можно использовать аппарат теории погрешностей и концепции неопределенностей.

Согласно GUM«неопределенность» – параметр связанный с результатом измерения, характеризующий рассеяние значений, которые могут быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

Согласно VIM 3 «неопределенность измерений» – не отрицательный параметр характеризующий рассеяние значений приписываемых измеряемой величине на основании используемой информации.

Стандартная неопределеннность – неопределенность, выраженное как стандартное отклонение u(x) по типу А или по типу B.

Суммарная стандартная неопределенность– стандартная неопределенность результата измерения, когда результат получают из значений ряда других величин, равная положительному квадратному корню суммы членов, причем члены являются дисперсиями или ковариациями этих других величин, взвешенными в соответствии с тем, как результат измерения изменяется в зависимости от изменения этих величин.

Суммарная стандартная неопределенность uc(y) представляет собой оцененное стандартное отклонение и характеризует разброс значений,

которые могут быть с достаточным основанием приписаны измеряемой величине Y и рассчитывается из суммарной дисперсии uc2(y) по закону распределения неопределенностей:

При прямых измерениях:

могут быть рассчитаны через частные производные, могут быть получены экспериментально методом приращений и т.д.

(4)

Для не линейных моделей можно применять метод разложения в ряд Тейлора с производными более высоких порядков.

Для удовлетворения требований в некоторых областях промышленности и торговли, здравоохранения и безопасности необходимо также указывать расширенную неопределенность U.

Расширенная неопределенность – величина, определяющая интервал вокруг результата измерения, в пределах которого, можно ожидать,

находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могли быть приписаны измеряемой величине. Эта часть распределения может рассматриваться как вероятность охвата или уровень доверия для интервала. Расширенная неопределенность находится путем