Уравнения математической физики
.pdf(ɇɍ) u(x,0) M(x) , |
0 d x d1. |
|||||
Ȼɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɪɟɲɟɧɢɹ, |
ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦɵɟ ɜ ɜɢɞɟ u(x,t) X (x)T(t) . Ⱦɥɹ |
|||||
ɷɬɨɝɨ ɩɨɞɫɬɚɜɢɦ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ |
X (x)T(t) |
ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ. ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ |
||||
ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɢ ɩɨɥɭɱɚɟɦ |
c |
|
D |
2 |
X |
cc |
X (x)T (t) |
|
(x)T(t) . Ɍɟɩɟɪɶ ɪɚɡɞɟɥɢɦ ɨɛɟ |
||||
ɱɚɫɬɢ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚ D2 X (x)T(t) , ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɱɟɝɨ ɩɨɥɭ-
|
c |
|
cc |
|
ɱɚɟɦ |
T (t) |
|
X (x) |
. |
D2T(t) |
|
|||
|
|
X (x) |
||
ɉɨɥɭɱɢɥɢ (ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ) ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ ɪɚɡɞɟɥɟɧɧɵɦɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ, ɬ.ɟ. ɥɟɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɡɚɜɢɫɢɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ t, ɚ ɩɪɚɜɚɹ ɱɚɫɬɶ – ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ ɯ. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɯ ɢ t ɧɟ ɡɚɜɢɫɹɬ ɨɞɢɧ ɨɬ ɞɪɭɝɨɝɨ, ɬɨ ɤɚɠɞɚɹ ɱɚɫɬɶ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɤɨɧɫɬɚɧɬɨɣ. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ
ɷɬɭ ɤɨɧɫɬɚɧɬɭ k, ɬɨɝɞɚ |
Tc |
|
X cc |
k . |
|
D2T |
X |
||||
|
|
|
Ɍɟɩɟɪɶ ɦɨɠɧɨ ɪɟɲɢɬɶ ɤɚɠɞɨɟ ɢɡ ɷɬɢɯ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɨɬɞɟɥɶɧɨ. ɉɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɪɟɲɟɧɢɣ ɛɭɞɟɬ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɢɫɯɨɞɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɢɫɯɨɞɧɨɟ Ⱦɍɑɉ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɪɟɜɪɚɬɢɥɨɫɶ ɜ ɞɜɚ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
ɋɥɟɞɭɟɬ ɨɬɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɤɨɧɫɬɚɧɬɚ k ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɣ.
ɂɧɚɱɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ X cc kX 0 ɫ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ X (0) X (1)
(ɬ.ɧ. ɡɚɞɚɱɚ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ) ɢɦɟɟɬ ɬɨɥɶɤɨ ɬɪɢɜɢɚɥɶɧɨɟ ɪɟɲɟ-
ɧɢɟ X (x) { 0 . Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɮɭɧɤɰɢɢ T(t) ɞɨɥɠɧɵ ɫɬɪɟɦɢɬɶɫɹ ɤ ɧɭɥɸ ɩɪɢ t o f. ɉɨɷɬɨɦɭ ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ k O2 , ɝɞɟ O z 0 (ɜ ɷɬɨɦ
ɫɥɭɱɚɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ O2 ɛɭɞɟɬ ɜɫɟɝɞɚ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɦ). ɋ ɭɱɟɬɨɦ ɧɨɜɨɝɨ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɞɜɚ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɡɚɩɢɲɭɬɫɹ
|
Tc O2D2T |
0 , |
|
X cc O2 X |
0 . |
Ɋɟɲɢɜ ɷɬɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɩɨɥɭɱɢɦ |
ɢɯ ɨɛɳɢɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɜ ɜɢɞɟ |
|
T (t) Ce O2D2t , X (x) |
Asin(Ox) Bcos(Ox) , A, B ɢ ɋ – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ |
|
ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɮɭɧɤɰɢɹ ɜɢɞɚ |
||
u(x,t) |
eO2D2t >Asin(Ox) Bcos(Ox)@, |
|
20 |
|
|
ɝɞɟ A, B ɢ O – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ Ⱦɍɑɉ ut D2uxx . Ɍɨ ɟɫɬɶ ɬɟɩɟɪɶ ɦɵ ɢɦɟɟɦ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɣ ɧɚɛɨɪ ɮɭɧɤɰɢɣ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɯ ɧɚɲɟɦɭ Ⱦɍɑɉ.
ɒȺȽ2. (ɇɚɯɨɠɞɟɧɢɟɪɟɲɟɧɢɣ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɯɝɪɚɧɢɱɧɵɦɭɫɥɨɜɢɹɦ.) ɍ ɧɚɫ ɟɫɬɶ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɟɲɟɧɢɣ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɧɨ ɧɟ ɜɫɟ ɨɧɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɢɥɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ. ɋɥɟɞɭɸɳɢɣ ɲɚɝ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɜɵɛɨɪɟ ɬɚɤɨɝɨ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɪɟɲɟɧɢɣ
ɜɢɞɚ e O2D2t >Asin(Ox) Bcos(Ox)@, ɤɨɬɨɪɵɟ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɝɪɚɧɢɱ-
ɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ |
|
u(0, t) |
0 |
¯®u(1, t) |
0 |
ɑɬɨɛɵ ɫɞɟɥɚɬɶ ɷɬɨ, ɩɨɞɫɬɚɜɢɦ ɜ ɷɬɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɪɟɲɟɧɢɹ e O2D2t >Asin(Ox) Bcos(Ox)@. ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɭɱɚɟɦ
u(0,t) Be O2D2t |
0 , ɨɬɫɸɞɚ B 0 , |
u(1,t) Ae O2D2t sinO |
0 , ɨɬɫɸɞɚ sin O 0 . |
ȼɬɨɪɨɟ ɝɪɚɧɢɱɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ ɧɚɤɥɚɞɵɜɚɟɬ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɟ ɧɚ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɧɫɬɚɧɬɵ ɪɚɡɞɟɥɟɧɢɹ O : ɨɧɚ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɤɨɪɧɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ sin O 0 . Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɱɬɨɛɵ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɢɬɶ ɭɫɥɨ-
ɜɢɸ u(1,t) 0 , ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɨɬɪɟɛɨɜɚɬɶ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɣ
O rS,r2S,... ɢɥɢ On rnS, n=1, 2, … .
Ɇɨɠɧɨ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɢɬɶ ɜɬɨɪɨɦɭ ɝɪɚɧɢɱɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ, ɟɫɥɢ Ⱥ = 0, ɧɨ ɜ ɬɚɤɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɪɟɲɟɧɢɟ e O2D2t >Asin(Ox) Bcos(Ox)@ ɛɭɞɟɬ ɬɨɠɞɟ-
ɫɬɜɟɧɧɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɭ ɧɭɥɸ.
ɉɨɫɥɟ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɜɬɨɪɨɝɨ ɲɚɝɚ ɪɚɫɩɨɥɚɝɚɟɦ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɦ ɧɚɛɨɪɨɦ ɮɭɧɤɰɢɣ un(x,t) Ane (nSD)2t sin(nSx) , n = 1, 2, …., ɤɚɠɞɚɹ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɢɫɯɨɞɧɨɦɭ Ⱦɍɑɉ ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɛɭɞɟɬ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɬɶ ɫɨɛɨɣ ɧɟɤɨɬɨɪɭɸ ɫɭɦɦɭ ɷɬɢɯ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɪɟɲɟɧɢɣ. Ʉɨɧɤɪɟɬɧɵɣ ɜɢɞ ɫɭɦɦɵ ɛɭɞɟɬ ɡɚɜɢɫɟɬɶ ɨɬ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɭɫɥɨɜɢɹ.
ɒȺȽ 3. (ɇɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɪɟɲɟɧɢɹ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ, ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ).
21
ɉɨɫɥɟɞɧɢɣ ɲɚɝ ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢ ɫɭɦɦɵ ɮɭɧɞɚɦɟɧ-
f |
|
ɬɚɥɶɧɵɯ ɪɟɲɟɧɢɣ u(x,t) ¦ A e (nSD)2t sin(nSx) , ɬ. ɟ. ɜ ɩɨɞɛɨɪɟ ɬɚɤɢɯ |
|
n 1 |
n |
|
|
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ An , ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ ɛɭɞɟɬ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ u(x,t) M(x) .
ɉɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚ ɫɭɦɦɵ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɪɚɜɟɧɫɬɜɭ
f
M(x) ¦ An sin(nSx) . ɗɬɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɚ ɫɚɦɨɦ ɞɟɥɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ
n 1
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ, ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɧɚɫ ɤ ɢɧɬɟɪɟɫɧɨɦɭ ɜɨɩɪɨɫɭ: ɦɨɠɧɨ ɥɢ ɧɚɱɚɥɶɧɭɸ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ M(x) ɪɚɡɥɨɠɢɬɶ ɜ ɪɹɞ ɩɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɦ ɮɭɧɤ-
ɰɢɹɦ ɜɢɞɚ A1 sin(Sx) A2 sin(2Sx) A3 sin(3Sx) ... ?
ɉɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɧɚ ɷɬɨɬ ɜɨɩɪɨɫ ɞɚɥ ɮɪɚɧɰɭɡɫɤɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤ ɀɨɡɟɮ Ɏɭɪɶɟ. Ɉɤɚɡɚɥɨɫɶ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ «ɯɨɪɨɲɢɯ» ɮɭɧɤɰɢɣ ɬɚɤɨɟ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɜɨɡɦɨɠɧɨ. Ɍɨɝɞɚ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɧɨɜɵɣ ɜɨɩɪɨɫ: ɤɚɤ ɧɚɣɬɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ An ?
ɇɚ ɫɚɦɨɦ ɞɟɥɟ ɫɞɟɥɚɬɶ ɷɬɨ ɥɟɝɤɨ. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɫɢɫɬɟɦɵ ɮɭɧɤɰɢɣ ^sin(nSx);n 1,2,3...`, ɢɡɜɟɫɬɧɵɦ, ɤɚɤ ɨɪɬɨɝɨ-
ɧɚɥɶɧɨɫɬɶ. ȼ ɧɚɲɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɷɬɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
1 |
0,m z n |
|
³sin(mSx)sin(nSx)dx |
° |
|
®1 |
,m n. |
|
0 |
° |
|
|
¯2 |
|
ɂɬɚɤ, ɦɵ ɯɨɬɢɦ ɧɚɣɬɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɜ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɢ
M(x) A1 sin(Sx) A2 sin(2Sx) A3 sin(3Sx) ... .
Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɭɦɧɨɠɢɦ ɨɛɟ ɱɚɫɬɢ ɷɬɨɝɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɧɚ sinmSx (m – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɟ ɰɟɥɨɟ ɱɢɫɥɨ) ɢ ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦ ɨɬ ɧɭɥɹ ɞɨ ɟɞɢɧɢɰɵ. ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɭɱɚɟɦ
1 |
1 |
Am |
|
|
³M(x)sin(mSx)dx |
Am ³sin2(mSx)dx |
, |
||
2 |
||||
0 |
0 |
|
||
|
|
22
Рɢɫ. 6. Ɉɪɬɨɝɨɧɚɥɶɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɮɭɧɤɰɢɣ
ɜɫɟ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ ɨɛɪɚɬɢɥɢɫɶ ɜ ɧɭɥɶ, ɛɥɚɝɨɞɚɪɹ ɨɪɬɨɝɨɧɚɥɶɧɨɫɬɢ. Ɋɟɲɚɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ Ⱥɬ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ
|
1 |
Am |
2³M(x)sin(mSx)dx . |
|
0 |
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɦɵ ɩɨɥɭɱɢɥɢ, ɱɬɨ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ
f |
|
u(x,t) ¦ A e (nSD)2t sin(nSx) , |
|
n 1 |
n |
|
|
ɝɞɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ⱥɩ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ
|
1 |
An |
2³M(x)sin(nSx)dx . |
|
0 |
Ɇɨɠɧɨ ɭɛɟɞɢɬɶɫɹ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɧɚɦɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɜɫɟɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ.
ɇɟɫɦɨɬɪɹ ɧɚ ɫɥɨɠɧɨɫɬɶ ɡɚɩɢɫɢ ɞɚɧɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ, ɨɧɨ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɛɨɥɶɲɨɣ ɢɧɮɨɪɦɚɬɢɜɧɨɫɬɶɸ.
1. Ɉɛɪɚɬɢɦ ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɧɚ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɭɸ ɪɚɡɧɢɰɭ ɦɟɠɞɭ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢ-
f
ɟɦ ɮɭɧɤɰɢɢ M(x) ¦ An sin(nSx) ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɧɭɫɚɦ ɢ ɪɟɲɟɧɢ-
n 1
f |
|
ɟɦ u(x,t) ¦ A e (nSD)2t sin(nSx) , ɤɨɬɨɪɚɹ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɧɚɥɢɱɢɢ ɜɪɟɦɟɧ- |
|
n 1 |
n |
|
|
ɧɨɝɨ ɦɧɨɠɢɬɟɥɹ e (nSD)2t ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɱɥɟɧɟ ɪɹɞɚ. ɉɨɷɬɨɦɭ, ɟɫɥɢ ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ ɢɦɟɟɬ ɩɪɨɫɬɨɟ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɜɢɞɚ:
M(x) sin(Sx) 0,5sin(3Sx)
ɬɨ ɪɟɲɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɫɪɚɡɭ
23
u(x,t) e S2D2t >sin(Sx) 0,5sin(3Sx)@
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɦɵ ɪɚɡɥɨɠɢɦ M(x) ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɧɭɫɚɦ, ɬɨ
ɩɨɥɭɱɢɦ A1 1, A2 0, A3 0,5, A4 A5 |
... 0 |
|
2. Ɇɨɠɧɨ ɨɛɴɹɫɧɢɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ u(x,t) |
f |
|
¦ A e (nSD)2t sin(nSx) ɫɥɟɞɭɸ- |
||
|
n 1 |
n |
|
|
|
ɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ: ɦɵ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɦ ɧɚɱɚɥɶɧɭɸ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ M(x) ɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɪɟɲɟɧɢɣ ɜɢɞɚ An sin(nSx) , ɤɚɠɞɚɹ ɬɚɤɚɹ
ɮɭɧɤɰɢɹ ɩɨɪɨɠɞɚɟɬ ɨɬɤɥɢɤ Ane (nSD)2t sin(nSx) ). ɋɤɥɚɞɵɜɚɹ ɜɫɟ ɬɚ-
ɤɢɟ ɨɬɤɥɢɤɢ, ɦɵ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɪɟɲɟɧɢɟ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ u(x,0) M(x) .
3. Ʉɚɠɞɨɟ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ɜ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɢ
u(x,t) A1e (SD)2t sin(Sx) A2e (2SD)2t sin(2Sx) ...
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɨɬ x ɢ t. ȼɤɥɚɞ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɫ ɛɨɥɶɲɢɦɢ ɧɨɦɟɪɚɦɢ
ɩɪɢ t > 0 ɨɱɟɧɶ ɦɚɥ ɛɥɚɝɨɞɚɪɹ ɦɧɨɠɢɬɟɥɸ e (n SD)2t . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɨ ɢɫɬɟɱɟɧɢɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɝɨ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɚ ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɨɥɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɩɟɪɜɵɦ ɫɥɚɝɚɟɦɵɦ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɡɚɬɭɯɚɸɳɭɸ ɫɨ ɜɪɟɦɟɧɟɦ ɩɨɥɭɜɨɥɧɭ ɫɢɧɭɫɨɢɞɵ.
Рɢɫ. 7. Ɉɫɰɢɥɥɹɰɢɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɜɨ ɜɪɟɦɟɧɢ
24
ɁȺȾȺɑɂ:
1. ɉɨɤɚɠɢɬɟ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜɢɞɚ u(x,t) eO2D2t >Asin(Ox) Bcos(Ox)@ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ut D2uxx , ɩɪɢ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ
Ⱥ, ȼ ɢ O .
|
1 |
^0,5,0, mmz n n. , ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɬɨɠɞɟ- |
2. |
ɉɨɤɚɠɢɬɟ, ɱɬɨ ³sin(mSx)sin(nSx)dx |
|
|
0 |
|
ɫɬɜɨ sin(mx)sin(nx) 0,5>cos(m n)x cos(m n)x@. |
||
3. |
ɇɚɣɞɢɬɟ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɧɭɫɚɦ ɮɭɧɤɰɢɢ M(x) 1 ɧɚ |
|
ɨɬɪɟɡɤɟ [0,1]. ɉɨɫɬɪɨɣɬɟ ɝɪɚɮɢɤ ɩɟɪɜɵɯ ɬɪɟɯ-ɱɟɬɵɪɟɯ ɱɥɟɧɨɜ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ.
4. |
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɡɚɞɚɱɢ |
3, ɧɚɣɞɢɬɟ |
ɪɟɲɟɧɢɟ |
ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ |
||||
ɫɦɟɲɚɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ: ut |
D2uxx , |
0 |
< x< 1, ɫ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ |
|||||
u(0,t) |
0, u(1,t) 0 , 0 < t < f , u(x,0) 1, 0 d x d1 . |
|
||||||
5. |
Ɋɟɲɢɬɟ |
ɡɚɞɚɱɭ |
4, ɟɫɥɢ |
ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ |
ɭɫɥɨɜɢɟ |
ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ |
||
u(x,0) |
x |
x2 , 0 < x < 1. |
|
|
|
|
||
25
Лекция №3 3.1. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
Рассмотрим туго натянутую струну (тонкая нить, «работающая» на растяжение без изгиба) длины l , конечные точки которой закреплены. Если вывести струну из положения равновесия, (например, оттянуть её или ударить по ней), то струна начнет колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно её положению равновесия (поперечные колебания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости.
Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных координат x0u . Тогда, если в начальный момент времени струна располагалась вдоль оси 0x от 0 до l , то u есть отклонение струны от положения равновесия. В процессе колебания величина отклонения u будет зависеть от абсциссы точки струны x и от времени t . Таким образом, чтобы знать положение любой точки струны в произвольный момент времени, нам надо найти зависимость u от x и t , т.е. найти функцию u(x,t) . При каждом фиксированном значении t график функции
u(x,t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 8), при этом частная производная ux ux (x,t) выражает угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой x .
Рис. 8. Форма колеблющейся струны
При постоянном значении x функция u(x,t) дает закон движения точки с абсциссой x вдоль прямой, параллельной оси 0u , а произ-
водная ut ut (x,t) – скорость, вторая производная t2u2 – ускорение.
Наша задача состоит в том, чтобы составить уравнение, которому
26
ɞɨɥɠɧɚ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹ u(x,t) , ɜɵɪɚɠɚɸɳɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɩɟ-
ɪɟɦɟɳɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ ɫɬɪɭɧɵ ɫ ɚɛɫɰɢɫɫɨɣ x ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t . Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɫɞɟɥɚɟɦ ɩɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɭɩɪɨɳɚɸɳɢɯ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɣ. Ȼɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ ɫɬɪɭɧɭ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɝɢɛɤɨɣ (ɬ.ɟ. ɧɟ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɹɸɳɟɣɫɹ ɢɡɝɢɛɭ), ɭɩɪɭɝɨɣ (ɩɨɞɱɢɧɹɸɳɟɣɫɹ ɡɚɤɨɧɭ Ƚɭɤɚ), ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɣ ( U – ɦɚɫɫɚ ɟɞɢɧɢɰɵ ɞɥɢɧɵ ɫɬɪɭɧɵ).
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɦɵ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦ ɦɚɥɵɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɫɬɪɭɧɵ ɜ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ x0u , ɬɨ ɬɚɤɠɟ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɢɬɶ, ɱɬɨ ɞɥɢɧɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɫɬɪɭɧɵ ɆɆ1 ɪɚɜɧɹɟɬɫɹ ɟɺ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɧɚ ɨɫɶ 0x , ɚ ɧɚɬɹɠɟɧɢɟ ɜɨ ɜɫɟɯ ɬɨɱɤɚɯ ɫɬɪɭɧɵ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɟ ɢ ɧɟ ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɫɨ ɜɪɟɦɟɧɟɦ. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɟɝɨ ɱɟɪɟɡ Ɍ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɷɥɟɦɟɧɬ ɫɬɪɭɧɵ ɆɆ1. ɇɚ ɤɨɧɰɚɯ ɷɬɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɩɨ
ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɵɦ ɤ ɫɬɪɭɧɟ ɞɟɣɫɬɜɭɟɬ ɫɢɥɚ Ɍ. ɉɭɫɬɶ ɷɬɢ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɵɟ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɫ ɨɫɶɸ 0x ɭɝɥɵ ij + ¨ ij ɢ ij (Ɋɢɫ. 9).
|
|
Рɢɫ. 9. ȼɵɜɨɞ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɪɭɧɵ |
|
|
|||||||
Ɍɨɝɞɚ ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɧɚ ɨɫɶ |
0u |
ɫɢɥ, |
ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɷɥɟɦɟɧɬ ɆɆ1, |
||||||||
ɪɚɜɧɚ T sin(M 'M) T sin(M) . Ɍɚɤ ɤɚɤ ɭɝɨɥ ij ɦɚɥ, |
ɬɨ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɩɨ- |
||||||||||
ɥɨɠɢɬɶ |
sinM|tgM. Ɉɬɫɸɞɚ |
|
T(sin(M 'M) sin(M))|T(tg(M 'M) |
||||||||
tg(M)) |
T |
wu(x 'x,t) |
|
wu(x,t) |
T |
w2u(x T'x,t) |
'x |T |
w2u(x,t) |
'x , |
||
wx |
|
wx |
|
wx2 |
wx2 |
||||||
ɝɞɟ 0 T 1 (ɡɞɟɫɶ ɦɵ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɥɢɫɶ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɦ ɫɦɵɫɥɨɦ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɢ ɬɟɨɪɟɦɨɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ ɨ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɹɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ).
Ɍɚɤ ɤɚɤ U – ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɫɬɪɭɧɵ, ɬɨ ɦɚɫɫɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɆɆ1
ɫɬɪɭɧɵ ɛɭɞɟɬ U'x , ɚ ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ wwt2u2 . Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɫɢɥɚ ɢɧɟɪɰɢɢ
ɪɚɜɧɚ wwt2u2 U'x . ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɩɪɢɧɰɢɩɭ ɞƍȺɥɚɦɛɟɪɚ (ɫɭɦɦɚ ɩɪɨɟɤɰɢɣ ɧɚ ɨɫɶ 0u ɜɫɟɯ ɫɢɥ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɵɯ ɤ ɷɥɟɦɟɧɬɭ ɫɬɪɭɧɵ, ɜɤɥɸɱɚɹ ɫɢɥɭ
27
ɢɧɟɪɰɢɢ, ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ) ɢɦɟɟɦ T w2u 'x U'x w2u |
0 , ɢɥɢ ɩɨɫɥɟ ɫɨ- |
||
|
wx2 |
wt 2 |
|
ɤɪɚɳɟɧɢɹ ɧɚ 'x ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɢɜ a2 |
T /U |
|
|
w2u |
a2 w2u . |
|
|
wt 2 |
wx2 |
|
|
ɗɬɨ ɢ ɟɫɬɶ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɟ ɜɨɥɧɨɜɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ – ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɪɭɧɵ. ȿɫɥɢ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɧɚ ɫɬɪɭɧɭ ɞɟɣɫɬɜɭɟɬ ɟɳɟ ɢ ɜɧɟɲɧɹɹ ɫɢɥɚ P(x,t) , ɪɚɫɫɱɢɬɚɧɧɚɹ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɞɥɢɧɵ ɢ ɞɟɣɫɬɜɭɸ-
ɳɚɹ ɧɚ ɫɬɪɭɧɭ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨ ɨɫɢ 0u , ɬɨ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɪɭɧɵ
w2u |
a2 w2u f (x,t) , |
wt 2 |
wx2 |
ɝɞɟ f (x,t) P(x,t)/U .
3.2. ȻȿɋɄɈɇȿɑɇȺə ɋɌɊɍɇȺ. ɆȿɌɈȾ ȾƍȺɅȺɆȻȿɊȺ
ȿɫɥɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɫɟɛɟ ɨɱɟɧɶ ɞɥɢɧɧɭɸ ɫɬɪɭɧɭ, ɬɨ ɹɫɧɨ, ɱɬɨ ɧɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ, ɜɨɡɧɢɤɚɸɳɢɟ ɜ ɟɟ ɫɪɟɞɧɟɣ ɱɚɫɬɢ, ɤɨɧɰɵ ɫɬɪɭɧɵ ɧɟ ɛɭɞɭɬ ɨɤɚɡɵɜɚɬɶ ɡɚɦɟɬɧɨɝɨ ɜɥɢɹɧɢɹ. Ɍɚɤ, ɟɫɥɢ ɜɡɹɬɶ ɞɥɢɧɧɭɸ ɧɚɬɹɧɭɬɭɸ ɜɟɪɟɜɤɭ ɢ ɫɥɟɝɤɚ ɤɚɱɧɭɬɶ ɟɟ ɜ ɫɟɪɟɞɢɧɟ, ɬɨ ɩɨ ɜɟɪɟɜɤɟ ɜɥɟɜɨ ɢ ɜɩɪɚɜɨ ɩɨɛɟɝɭɬ ɜɨɥɧɵ. Ʉɚɪɬɢɧɚ ɧɚɱɧɟɬ ɢɫɤɚɠɚɬɶɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɜɨɥɧɵ ɞɨɣɞɭɬ ɞɨ ɤɨɧɰɚ ɜɟɪɟɜɤɢ ɢ, ɨɬɪɚɡɢɜɲɢɫɶ, ɩɨɣɞɭɬ ɨɛɪɚɬɧɨ.
Ɋɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɹ ɫɜɨɛɨɞɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɣ ɫɬɪɭɧɵ, ɪɟɲɢɦ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɭɸ ɡɚɞɚɱɭ Ʉɨɲɢ ɢɥɢ ɡɚɞɚɱɭ ɫ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ: ɇɚɣɬɢ ɮɭɧɤɰɢɸ u(x,t) , ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ
w2u |
a2 w2u |
(3.1) |
wt 2 |
wx2 |
|
ɢ ɡɚɞɚɧɧɵɦ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ |
|
|
u(x,0) f (x),ut (x,0) M(x) . |
(3.2) |
|
ɇɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨɣ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɨɣ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɥɟɝɤɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɟ ɞɜɟ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
28
u(x,t) |
M1(x at) M2(x at) |
(3.3) |
|
Ⱦɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɣ M1 ɢ M2 , ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ |
|||
(3.2), ɩɨɥɭɱɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ: |
|
|
|
u(x,0) |
M1(x) M2(x) |
f (x) |
|
^ut (x,0) |
aMc1(x) aMc2(x) |
M(x) |
|
ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɹ ɜɬɨɪɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɬ 0 ɞɨ x , ɢɦɟɟɦ:
|
|
|
|
M (x) M |
|
(x) |
|
f (x) |
|
|
|
|
|
||
|
|
° |
|
1 |
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
1a |
³M(z)dz C |
|
|
|
|
||||
|
|
° M1(x) M2(x) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Ɉɬɫɸɞɚ ɧɚɯɨɞɢɦ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
M (x) |
1 f (x) |
1 |
M(z)dz 1 C, |
M |
(x) |
1 f (x) |
|
|
1 |
M(z)dz 1 C . |
|||||
|
|
||||||||||||||
1 |
2 |
2a ³ |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2a ³ |
2 |
||
|
|
0 |
|
ɮɨɪɦɭɥɚɯ ɚɪɝɭɦɟɧɬ x |
|
0 |
|
||||||||
Ɂɚɦɟɧɹɹ |
ɜ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ |
|
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɧɚ |
||||||||||||
x at ɢ x at ɢ ɩɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɜ ɮɨɪɦɭɥɭ (3.3) ɩɨɫɥɟ ɩɪɨɫɬɵɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣ ɩɨɥɭɱɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɩɨɫɬɚɜɥɟɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ
|
1 |
|
1 |
x a t |
u(x,t) |
2 |
( f (x at) f (x at)) |
|
³ M(z)dz |
2a |
||||
|
|
|
|
x a t |
ɗɬɭ ɮɨɪɦɭɥɭ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɮɨɪɦɭɥɨɣ ɞƍȺɥɚɦɛɟɪɚ. Ɉɧɚ ɞɚɟɬ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ, ɟɫɥɢ f (x) ɢɦɟɟɬ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɞɨ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨ-
ɪɹɞɤɚ ɜɤɥɸɱɢɬɟɥɶɧɨ, ɚ M(x) – ɞɨ ɩɟɪɜɨɝɨ. ɋɥɟɞɭɟɬ ɨɬɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ
ɢɡɥɨɠɟɧɧɵɣ ɦɟɬɨɞ ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɬ ɤɚɤ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɫɬɶ, ɬɚɤ ɢ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɨɫɬɚɜɥɟɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ.
ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɩɪɢɦɟɪɚ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɡɚɞɚɱɭ ɨ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɢ ɜɨɥɧ ɧɚ ɩɨɥɭɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ. ɗɬɚ ɡɚɞɚɱɚ ɢɦɟɟɬ ɨɫɨɛɨ ɜɚɠɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɪɢ ɢɡɭɱɟɧɢɢ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ ɨɬɪɚɠɟɧɢɹ ɜɨɥɧ ɨɬ ɤɨɧɰɚ ɢ ɫɬɚɜɢɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ.
ɇɚɣɬɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ (3.1), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɝɪɚɧɢɱɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ
u(0,t) J(t) (ɢɥɢ ut (0,t )E t (),) t t 0
29