Типовые расчеты и методические указания по темам Ряды, Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Элементы теории поля и операционного исчисления
.pdf
Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (x 2 y 2 ) |
1 4(x 2 |
y 2 )dxdy. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Областью |
интегрирования |
D |
|
|
является |
|
круг |
|
x2 y2 2, |
|||||||||||||||||||||||||||||
поэтому |
|
|
при |
|
|
переходе |
|
к |
|
|
|
полярным |
|
координатам |
||||||||||||||||||||||||||
x cos , |
|
y sin , имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I 2 |
1 4 2 d d |
|
1 |
|
1 4 2 2d 2d |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
1 4 2 2 d 2 1 |
|
|
1 50 |
|
|
5 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(50 |
5 |
2) |
(25 |
5 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 15 |
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Отдельно вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4t z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4t 1 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
z(z |
2 |
1) |
|
z |
|
1 |
5 |
|
|
|
||||||
1 4 2 2d 2 |
|
2 t |
|
1 4ttdt |
4t z2 1 |
|
|
|
|
|
dz |
(z4 |
z2 )dz |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
z2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
2 |
8 |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2zdz |
|
z |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
z |
5 |
|
z |
3 |
|
5 |
1 |
25 5 |
|
5 5 1 1 |
|
1 |
|
|
|
|
5 5 1 1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 5 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( 5 |
|
|
3 5 3) |
8 |
(5 5 |
|
|
3 3 5) |
8 |
(3 |
5 5 |
|
) 8 |
15 . |
|||||||||||||||||||
8 |
5 |
3 |
8 |
|
|
|
15 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6. Найти rot F , |
F x3i y3 j zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61 |
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
z3 |
|
y3 |
|
|
|
y3 |
|
x3 |
|
|
|
y3 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
rotF |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
0. |
x |
|
y |
|
z |
|
y |
t |
|
x |
t |
|
x |
y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x3 |
|
y3 |
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решитьдифференциальноеуравнениеоперационнымметодом:
7. y 2 y 0, |
y (0) 1. |
|
|
|
|
|
|
Переходя к |
изображениям |
y(t) y( p); |
y (t) py( p) y(0) , |
||||
имеем py ( p ) 1 2 y ( p ) 0 |
y ( p )( p 2) 1 |
y ( p ) |
1 |
. |
|||
p 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Пользуясь таблицей изображений элементарных функций,
находим оригинал y ( p ) e 2 t . |
|
|||||
8. |
|
|
|
Ответ: |
х е2t . |
|
|
x 2 y , |
|
x ( 0 ) 0 , |
y ( 0 ) 5 . |
||
x |
|
|
|
|
||
|
|
2 x y |
1, |
|
|
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Переходим к изображениям |
|
|||||
|
|
x(t) x( p); |
x (t) px( p) x(0), |
|||
|
|
y(t) y( p); |
|
|
||
|
|
y (t) py( p) y(0). |
||||
В нашем случае px( p) 0
py( p) 5
Решая систему относительно
x( p) 2 y( p),
2x( p) y( p) 1.
x( p) и y( p) , имеем
x ( p) |
10 p 2 |
y( p) |
5 p 2 4 p 1 |
; |
|
p( p 1)( p 3) |
p( p 1)( p 3) |
||||
|
|
|
Найдем x( p) , представив его в виде
10 p 2 |
|
A |
|
B |
|
C |
|
|
p( p 1)( p 3) |
p |
p 1 |
p 3 |
|||||
|
|
|
|
62
|
A ( p 1)( p 3 ) Bp ( p 3 ) Cp ( p 1) |
|
p ( p 1)( p 3 ) |
и методом неопределенных коэффициентов, найдем А, В, С:
10p 2 A( p2 2 p 3) B( p2 3p) C( p2 p) .
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
A B C 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
2A 3B C 10, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p0 |
|
3A 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решая данную систему, получим А |
2 |
, В 2, С |
|
8 |
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x( p) |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
8 |
|
1 |
|
x(t) |
|
2 |
2e |
t |
|
8 |
e |
3t |
. |
|||
3 |
p |
p 1 |
3 |
p 3 |
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Аналогично находим y t 13 2e t 83 e3t .
Ответ: x(t) 23 2e t 83 e3t , y(t) 13 2e t 83 e3t .
63
Ли т е р а т у р а
1.Пискунов И.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т.Т. 2. – М.: Наука, 1985.
2.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 4. Ч.2,3 / Под ред. А.П.Рябушко. – Мн.: Выш. школа, 1990.
3.Сухая Т.А., Бубнов В.Ф. Задачи по высшей математике: Учебное пособие. В 2 ч.Ч. 2 – Мн.: Выш. школа, 1993.
4.Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Справочное пособие к решению задач. – 2-е изд.–
Мн., 2000.
5.Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление: Справочное пособие к решению задач. – Мн.: Тетра система, 2002.
64
Учебное издание
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕУКАЗАНИЯ
по темам: «Ряды», «Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.
Элементы теории поляи операционного исчисления»
Составители: МИКУЛИК Николай Александрович ВОРОНОВИЧ Галина Константиновна КАТКОВСКАЯ Ирина Николаевна и др.
Компьютерная верстка А.А. Бусько Подписано в печать 16.11.2004.
Формат 60х84 1/16. Бумага типографская № 2. Печать офсетная. Гарнитура Таймс.
Усл. печ. л.3,7. Уч.-изд. л.29. Тираж 200. Заказ 28. Издатель и полиграфическое исполнение:
Белорусский национальный технический университет.
Лицензия№ 02330/0056957 от01.04.2004. 220013, Минск, проспектФ.Скорины, 65.