Типовые расчеты и методические указания по темам Ряды, Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Элементы теории поля и операционного исчисления

верти.

5. Найти площадь поверхности части конуса z x2 y2 ,

заключенного внутри цилиндра x2 y2 2x .

6. Найти div[u, v] , где u xi 2 yj zk ; v yi 2zj xk .

Применяя операционное исчисление, найти решение дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений:

x x 2 y 0,

8.x 2 y 2t cos2t,

Ва р и а н т 5

1.Изменив порядок интегрирования, записать данное вы-

числить интеграл.

2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

x2 4 y2 z 1; z 0 .

щей в первой четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе этой точки.

31

5. Найти массу полусферы x R2 y2 z2 , если поверх-

ностная плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до начала координат.

6. Найти циркуляцию векторного поля F yi zj xk вдоль замкнутого контура, полученного от пересечения сферы x2 y2 z2 R2 координатными плоскостями в первом октанте.

Применяя операционное исчисление, найти решение дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений:

7.y y t, y(0) 0 .

x 2 y 0,

8.y 2x 0,

Ва р и а н т 6

1.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фи-

гуры, ограниченной линиями ay x 2 2ax; y x .

2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями

y x2 y2 ; y b , если плотность в каждой точке пропорциональна ординате этой точки.

32

yzdz xzdy xydz по любому замкнутому контуру равен ну-

c

лю. Проверить, вычислив интеграл по контуру треугольника с вершинами O(0,0,0); A(1,1,0); B(1,1,1) .

6. Вычислить поток вектора a x3i y3 j z3k через поверхность шара x2 y2 z2 a2 .

Применяя операционное исчисление, найти решение дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений:

x x 2 y 0,

8.x 2 y 2t cos 2t,

33

2.Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями

x2 y2 z2 4; x2 y2 3z , если плотность в каждой точке

x до x 0 .

5.Вычислить площадь части поверхности x 6 y 2z 12 , лежащей в первом октанте.

6.Вычислить поток вектора a (x y)i ( y x) j zk че-

рез поверхность шара единичного радиуса с центром в начале координат.

Применяя операционное исчисление, найти решение дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений:

x 3x y 0,

8.y x y 0,

где x(0) y(0) 1.

В а р и а н т 8

1. Найти массу фигуры, ограниченной линиями y x2 ; x y 2 , если плотность ее в каждой точке равна ординате этой точки.

34

2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

5. Вычислить xdydz ydxdz zdxdy , где S – внешняя сто-

S

рона поверхности куба, ограниченного плоскостями x 0; y 0; z 0; x 4; y 4; z 4 .

Вычислить непосредственно и с помощью формулы Остроградского.

6.Найти div(grad u) , где u sin(x y z) .

Применяя операционное исчисление, найти решение дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений:

7.y y t, y(0) y (0) 0 .

x 4x 4 y 0,

8.y 2x 6 y 0,

35

порядок интегрирования.

2.Определить объем тела, ограниченного поверхностями

x2 y2 z2 0; z h , если плотность в каждой точке про-

порциональна аппликате этой точки.

4. Доказать, что выражение3x2e y dx (x3e y 1)dy является

полным дифференциалом некоторой функции. Найти эту функцию.

5. Вычислить (x2 z2 )dydz , где S – внешняя сторона по-

S

верхности x 9 y2 , отсеченной плоскостями z 0; z 2 .

Применяя операционное исчисление, найти решение дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений:

8 x y x et ,x y 1,

36

Ва р и а н т 10

1.Найти массу фигуры, ограниченной параболой y 1 x2

иосью Ox , если плотность (x, y) x2 y2 .

2.Найти объем тела, ограниченного поверхностями

лу Грина, где C – контур треугольника с вершинами в точках A 1,1 , B 2, 2 , C 1, 3 , пробегаемый против часовой стрелки.

5. Вычислить x2 y2 z2 ds , где S – поверхность ко-

Применяя операционное исчисление, найти решение дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений:

7. y y 3, y(0) y (0) 0 .

37

Ва р и а н т 11

1.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фи-

гуры, ограниченной линиями r a(1 cos ); r a cos .

2. Определить массу сферического слоя между поверхностями x2 y2 z2 a2 ; x2 y2 z2 4a2 , если плотность в

каждой точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

контуру равен нулю. Проверьте, вычислив интеграл по конту-

Применяя операционное исчисление, найти решение дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений:

3.Вычислить массу дуги кривой

xln(1 t 2 ); y 2arctg t t от t = 0 до t = 1,

ной между плоскостями z 0; z 1 , если поверхностная плот-

ность пропорциональна x2 y2 .

6. Найти rot F , если F x2 y2i y3zj xz3k .

Применяя операционное исчисление, найти решение дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений:

39

Ва р и а н т 13

1.Двойным интегрированием найти объем тела, ограни-

ниченная цилиндром y x и плоскостями x z 2; y 0; z 0.

3. Найти массу дуги y 1 ln x , если плотность в каждой ее точке обратно пропорциональна абсциссе этой точки: 1 x 3 .

4. Применяя формулу Грина, вычислить x2 ydx xy2dy ,

C

где С – окружность x2 y2 a2 (в положительном направлении).

женной над плоскостью хОу.

6. Найти поток вектора a yi zj xk через часть плоскости x y z a , расположенной в первом октанте.

Применяя операционное исчисление, найти решение дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений:

x y 1,

8.y x 0

40