Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовые расчеты и методические указания по темам Ряды, Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Элементы теории поля и операционного исчисления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

un x

;

lim

un x

lim

n n

При x 1,1

ряд сходится. Проверим ряд на сходимость на

концах интервала.

Пусть х =–1, тогда

. Это знакочередующийся ряд,

n 1 n2

по теореме Лейбница сходится.

Пусть х = 1, тогда

. Это обобщенный гармонический

n 1

ряд p 2 1 , он сходится. Область сходимости x 1, 1 .

Ответ: x 1, 1 .

7). Запишем разложение в ряд Тейлора функции y eu .

eu 1 u

n 0

Запишем представление функции e4 x2

в виде ряда

e4 x 2 1

16x

(4x

)

n 0

Умножим полученный ряд на x2 и получим искомый ряд

x2e4x 2 x2 4x

16x

2n 2

2(n 1)

n 0

	4n x2(n 1)
Ответ:	n!	.
n 0	n!

8). Ряд Тейлора для функции y f (x) в окрестности точки x x0 имеет вид

(n)

(x0)

f (x) f (x )

f (x0)

(x x )

f (x0)

(x x )2

(x x )n

Найдем значения функции y 2x

и ее производных в точ-

кеx0 1 :

f (x0 ) f (1)

ln 2;

2ln 2;

(x)

(1)

2ln

(x)

(1)

...

f (n) (x) 2 x lnn 2;

f (n) (1) 2 lnn 2.

Подставим найденные значения в ряд:

2x 2

2ln 2 (x 1) 2ln2 2 (x 1)2 2lnn 2 (x 1)n

Ответ: 2x

2ln

(x 1)n .

n 0

9). Запишем разложение подынтегральной функции в ряд

eu 1 u

;

n 0

x 2

n x

1 x

( 1)

n 0

0,4		2		0,4			x	4				x	2 n									x	2 n 1	0,4
																								0,4

	e x								( 1)n										( 1)n
			dx		1	x2										dx
			dx		1	x2										dx
						2						n!										n!(2n 1)
0,1				0,1		2						n!						n 0						0,1
0,1				0,1							2n 1							n 0		2n 1				0,1
										(0,4)	2n 1						(0,1)			2n 1
						( 1)n				(0,4)				( 1)n			(0,1)				.
						( 1)n				n!(2n 1)				( 1)n			n!(2n 1)				.
						n 0				n!(2n 1)					n 0		n!(2n 1)

Так как полученные ряды являются знакочередующимися, то остаток по абсолютной величине не превосходит суммы абсолютных величин первых отбрасываемыхчленов обоихрядов.

0,4	e x 2 dx 0,4		3		5			3		0,064		0,001
	e x 2 dx 0,4	0,4		0,4		0,1		0,1	0,3	0,064	0,001	0,001
0,1		3		2! 5				3		3		3
0,301 0,021 0,280.
			Ответ:			0,4	e x 2 dx 0,280.
			Ответ:				e x 2 dx 0,280.
						0,1

10). Решение дифференциального уравнения ищем в виде ряда Тейлора

y(x) y(x0 )	y (x0 )		(x x0 )	y (x0 )	(x x0 )	yn (x0 )		(x	x0 )	n
	1!			2!		n!

По условию		задачи x0 0;			y(0) 1;		2.		Найдем
						y (0)

производные более высоких порядков и вычислим их при x0 0.

xy ;

y (0)

xy ;

(0)

2 y

(0) 0;

;

yV 3y xyIV ;

yV (0) 6.

Подставим в ряд:

y(x) 1 12! x 32! x3 56! x5

Ответ: y(x) 1 2x x3 x5

3 20

11). По условию дана 2 – периодическая функция. Запишем для нее ряд Фурье:

															a0									cos nx bn sin nx ) .
											f ( x ) ~				a0					(an				cos nx bn sin nx ) .
																2			n 1
		Вычислим коэффициенты Фурье:
										a0			1			f ( x)dx							1		xdx				1		x 2										;
													1										1						1		x 2

																																						2
																								0										0				2
																								0										0
				1												1									x u,				du dx;
																									x u,				du dx;
an									f (x) cosnx dx									x cosnx dx							dv cosnx dx;


																	0									v 1 sinnx
																	0

																											n
	1										1									1							1														1		1 n 1;

					x		sinnx						sinnx dx									cosnx								(cosn 1)
							sinnx						sinnx dx								2	cosnx						2		(cosn 1)												2
																					2							2														2
			n							0	n 0									n					0		n													n
			n							0	n 0									n					0		n													n
						1												1											x u,							dx du;
						1												1
bn								f ( x) sin nx							dx						x sin nx dx									dv sin nx dx;
bn								f ( x) sin nx							dx						x sin nx dx									dv sin nx dx;
																				0										v					1		cos nx
																														v					n		cos nx
																																			n
		1						x						1											1			n			1												n 1


									cos nx						cos nx dx											1							sin nx										1	.
								n	cos nx			0		n	cos nx dx										n	1					n	2	sin nx										n	.
															0																								0

Подставим найденные значения коэффициентов в ряд:

1 n 1 cos nx

n 1

f ( x ) ~

sin nx .

n 1

1 n 1 cosnx

n 1

Ответ:

sin nx .

n 1

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ И ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Перечень вопросов для самоподготовки

1.Интеграл по фигуре. Основные понятия и определения.

2.Геометрический и механический смысл интегралов по фигуре.

3.Основные свойства интегралов по фигуре.

4.Вычисление двойных интегралов в декартовых прямоугольных координатах.

5.Вычисление тройных интегралов в декартовых прямоугольных координатах.

6.Вычисление двойныхинтеграловв полярныхкоординатах.

7.Вычисление тройных интегралов в цилиндрических и сферических координатах.

8.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и физический смысл.

9.Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и физический смысл.

10.Зависимость между криволинейными интегралами первого и второго рода.

11.Зависимость между поверхностными интегралами первого и второго рода.

12.Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода.

13.Вычисление поверхностных интегралов первого и второго рода.

14.Формула Грина.

15.Применение формулы Грина к вычислению площадей.

16.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

17.Формула Остроградского.

18.Формула Стокса.

19.Векторное поле. Векторные линии.

20.Поток вектора через поверхность.

21.Дивергенция векторного поля.

22.Формула Остроградского в векторной форме.

23.Соленоидальное векторное поле и его свойства.

24.Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля.

25.Ротор и вихрь векторного поля и их физический смысл.

26.Формула Стокса в векторной форме.

27.Потенциальное векторное поле. Вычисление линейного интеграла в случае потенциального поля.

28.Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа.

29.Операционное исчисление. Основные определения. Свойства оригиналов.

30.Свойства изображений.

31.Дифференцирование изображения.

32.Интегрирование изображения.

33.Теорема подобия.

34.Теорема запаздывания (сдвига).

35.Теорема смещения (затухания).

36.Теорема опережения (упреждения).

37.Изображение периодических оригиналов.

38.Определение и свойства свертки функций.

39.Теорема о произведении изображений (теорема Бореля).

40.Дифференцирование оригиналов.

41.Интегрирование оригиналов.

42.Обратное преобразование Лапласа. Теорема обращения. Формулы обращения.

43.Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальныхуравнений с постояннымикоэффициентами.

44.Формулы Дюамеля и их применение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

45.Таблица основных операционных соотношений.

За д а н и я

Ва р и а н т 1

1.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями r a 3 sin ; r a cos .

2.Определить массу пирамиды, образованной плоскостями

xy z a; x 0; y 0 , z 0 , если плотность в каждой точке

равна аппликате этой точки.

3.	Вычислить	y2dl , где L – дуга кривой x ln y между
		L
точками A(0,1) и B(1, e) .
4.	Применяя формулу Грина, вычислить y2dx (x y)2 dy
			ABC	c
по	контуру	треугольника	ABC	с	вершинами
A(a,0); B(a,a);C(0,a) .
5.	Пользуясь	формулой Остроградского,			вычислить
xzdxdy xydydz yzdxdz , где S –			внешняя сторона поверх-

ности пирамиды, ограниченной плоскостями x 0; y 0; z 0; x 2 y z 1.

6. Найти циркуляцию вектора F yi xj по окружности x2 ( y 1)2 1.

Применяя операционное исчисление, найти решение дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений:

7.	y		t	,		0 .
7.	y	2y	y e	,	y(0) y (0)	0 .
	x x 2 y t;
8.					где x(0) 2,		y(0) 4.
8.			y t,		где x(0) 2,		y(0) 4.
	y 2x		y t,

Ва р и а н т 2

1.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фи-

гуры, ограниченной линиями y ex ; y e2 x ; x 1 .

2.	Найти	массу тела,	ограниченного поверхностями
2az x2 y2 ;		x2 y2 z2	3a2 , если плотность в каждой
точке равна аппликате этой точки.
3.	Вычислить x2dl , где L – верхняя половина окружности
		L
x2 y2 a2 .
4.	Выяснить, будет ли интеграл

2xy 5y 3 dx x 2 15xy 2 6 y dy

зависеть от пути интегрирования и вычислить его по линии AB, соединяющей точки A(0,0), B(2,2) .

5. Вычислить zdxdy xdxdz ydydz , где S – внешняя сто-

рона треугольника, образованного пересечением плоскости x y z 1 и координатными плоскостями.

6. Найти rot a , если

a 3 x 2 y 2 z 3 x 2 i 2 x 3 yz j x 3 y 3 3z 2 k .

7.	y y sin t,	y(0) 0 .

	x y z
8.	y z 2x ,

	z 2x y,

где x(0) 1, y(0) z(0) 0.

Ва р и а н т 3

1.Изменив порядок интегрирования, записать данное вы-

1	x 2	4	1 / 3(4 x)
ражение в виде двойного интеграла dx dy dx				dy .
0	0	1		0

Вычислить интеграл.

2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z 6 x2 y2 ; z x2 y2 .

3.Найти массу дуги кривой y ln x ( 3 x 2 2 ) , если плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.

4. Вычислить ydx ( y x2 )dy , где L – дуга параболы

y 2x x2 , расположенная над осью 0x , пробегаемая по ходу часовой стрелки.

5. Применяя формулу Остроградского, вычислитьxzdxdy xzdydz yzdxdz , где S – внешняя сторона поверхно-

сти, образуемой плоскостями x 0; y 0; z 0; x y 2z 1. 6. Найти дивергенцию градиента функции

u x3 y3 z3 3x2 y2 z 2 .

7.	y y t,	y(0)		0 .
8.	x 2 y 0;		,
8.			,
	y 2x 0,
где x(0) 0, x		(0)	1,	y(0) y (0) 1.

Ва р и а н т 4

1.Найти массу половины круга R с центром в начале координат, лежащей в области y 0 , если плотность равна квад-

рату полярного радиуса.

2.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z 4 y2 ; y		x2	; x 0 , z 0 .

	2		(3x 5y z 2)dl , где L – отрезок прямой
3.	Вычислить
			L

между точками A(4,1,6) и B(5,3,8) .

4. Поле образовано силой F yi aj . Определить работу при перемещении массы m по контуру, образованному осями

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20252.68 Mб1Технология термической обработки.pdf
#
30.11.20251.17 Mб0Технология термической структуроизменяющей обработки.pdf
#
30.11.20253.37 Mб0Технология швейного производства.pdf
#
30.11.20251.55 Mб0Технология энергетического производства.pdf
#
30.11.20252.36 Mб0Типовая гидравлическая аппаратура станочных приводов.pdf
#
30.11.20252.18 Mб0Типовые расчеты и методические указания по темам Ряды, Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Элементы теории поля и операционного исчисления.pdf
#
30.11.20251.51 Mб0Типовые расчеты по математике для студентов первого курса (II семестр) факультета технологий управления и гуманитаризации.pdf
#
30.11.20251.11 Mб0Типовые схемы гидравлических приводов.pdf
#
30.11.202510.89 Mб0Типология производственных зданий и сооружений.pdf
#
30.11.2025594.7 Кб0Товароведение (грузоведение).pdf
#
30.11.20252.53 Mб0Токарные автоматы.pdf