Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовые расчеты и методические указания по темам Ряды, Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Элементы теории поля и операционного исчисления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.18 Mб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Министерство образования РеспубликиБеларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшаяматематика № 1»

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по темам: «Ряды», «Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Элементы теории поля и операционного исчисления»

М и н с к 2 0 0 4

УДК 517.5

517.4

517.445 ББК 22.16

Настоящая работа содержит типовые расчеты по темам "Ряды", "Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Элементы теории поля и операционного исчисления". Типовые расчеты составлены в соответствии с программой 2002г. по курсу математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Типовые расчеты содержат перечень вопросов теоретической подготовки, необходимых для выполнения работы. Следует предварительно изучить теоретические вопросы, а затем приступать к выполнению задания. Представлен списоклитературыи приводятся образцы решения одного из вариантов.

Составители:

Н. А. Микулик, Г. К. Воронович, И. Н. Катковская, В. М. Климович, Г. Н. Рейзина, Н.И. Чепелев, Т.И. Чепелева,А.Е.Руденок, А.В. Метельский

Рецензенты И.И.Мелешко; В.И. Каскевич

Н.А. Микулик, Г.К. Воронович, И.Н. Катковская и др., составление, 2004

РЯДЫ

Теоретические вопросы

1.Определение числового ряда. Сходимость и сумма ряда.

2.Основные свойства сходящихсярядов.

3.Необходимоеусловие сходимости ряда.

4.Теоремысравнениярядовс положительными членами.

5.ПризнакДаламбера для сходимости ряда с положительными членами.

6.Радикальный признак Коши.

7.Интегральный признак Коши.

8.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.

9.Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

10.Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса.

11.Свойства равномерно сходящихся функциональных ря-

дов.

12.Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости.

13.Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.

14.Применение рядов в приближенных вычислениях.

15.Ряд Фурье. Теорема Дирихле. Разложение функций в

16.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

17.Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом.

Теоретические упражнения

1. Написать ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию, если сумма ряда равна a, первый член равен b. Для каких a и b это возможно?

2. Доказать, что если остатки ряда образуют геометрическую прогрессию, то члены ряда также образуют геометрическую прогрессию.

						, то ряд
3. Доказать, что если сходятся ряды a2					и b2	, то ряд
				n	n
				n 1	n 1
	0, bn 0)
anbn (an	0, bn 0)		также сходится.
n 1

4. Пусть	an	и	bn	– расходящиеся числовые ряды.
	n 1	n 1

Может ли сходиться ряд (an bn ) ? Приведите примеры.

n 1

5. Дан условно сходящийся ряд. Изменится ли сумма ряда, если его первые 1000 членов переставить, а порядок следования остальных членов оставить без изменения?

6. Доказать, что если ряд fn (x) сходится равномерно на

n 1

[a,b], то ряд | fn (x) | также равномерно сходится на [a,b].

n 1

					xn имеет радиус сходимости			R	, а ряд
7. Если ряд a				n	xn имеет радиус сходимости			R	, а ряд
	n 1			n				1
	n 1
	– радиус сходимости R						, то какой радиус сходимости
b xn	– радиус сходимости R					2	, то какой радиус сходимости
n						2
n 1
			b )xn ?
R имеет ряд (a		n	b )xn ?
	n 1	n			n
	n 1

Взадачах 1, 2 исследовать сходимость числового ряда.

Взадаче 3 исследовать сходимость знакочередующегося ряда. В случае сходимости исследовать его на абсолютную и условную сходимость.

Взадаче 4 найти область сходимости функционального ряда.

Взадачах 5, 6 определить область сходимости степенных рядов.

В задаче 7 разложить функцию f (x) в ряд по степеням x, используя разложения основных элементарных функций.

Взадаче 8 найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд функции f (x) по степеням x x0 .

Взадаче 9 вычислить с помощью ряда определенный интеграл с точностью до 0,001.

Взадаче 10 найти с помощью ряда решение дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

Взадаче 11 разложить в ряд Фурье функцию f x на ука-

занном промежутке.

В а р и а н т 1

1.		1	2	n
		n	5		;
	n 1
4.		1	;

		n x
	n 1

2.		n 1		;

		n	2
	n 1
5.	1		n 1		x	n

	n 1	n(n 1)

3. 1		n 1	;

n 1	3n 1

; 6. n 1	x 1 n ;

n 1 n3n

7.	f x sin2 x cos2 x ;				8. f x	1	, x0 1 ;
	1					x
	1	2
9.	e	x	dx ;	10. y xy y 0;			11. y 3x ; ; .
9.	e	2	dx ;	10. y xy y 0;			11. y 3x ; ; .
	0			e 0

					1, y 0 2

В а р и а н т 2

;

n 2

2 n

n 1

sin(2n 1)x

2n 1 2

;

n 1

3.	1			n 1
3.	1				;

	n 1		n 2 n
		n 1 2 xn
; 6.						;
; 6.			n2			;
	n 1		n2

7. f x	x	;	8. f x e x , x0 2 ;
	1 x4

0,1

9. 3x cos2xdx ; 10.

1.	n 1 ;

	n 1	3n 2
			x
4.	2n sin		x		;
4.	2n sin		n		;
	n 1	3
7.	f x ln 1 x					;
				x

y xy y 0 ;

y(0) 1, y 0 2,


y 0 1;
В а р и а н т 3
		1
2.		1		;
2.		n ln n		;
	n 2	n ln n
	n 1		x		n
5.		n			;
5.				3	;
	n 1			3

x, 0 x 1 11. y

1, 1 x 2.

	1 n 1	2n 1
3.
		n n 1
n 1

6. x 5 n ; n 1 n n

8. f x cos x, x0 2 ;

9.	0,5		xe xdx ;		10. y xy y 0;				11. y 2x 2		1 1;1 .
9.			xe xdx ;		10. y xy y 0;				11. y 2x 2		1 1;1 .
	0

					y(0) 1, y 1 1;
					В а р и а н т 4
		3n 1					1			n	2n 1 n
1.			n3n	;	2.			;	3. 1		;
1.				;	2.			;	3. 1		;
	n 1				n 2	n ln2 n			n 1		3n 1

4. ne nx ;

7.f x xchx ;

0,1

9. x sin2 xdx ; 10.

5.					;
5.	3n 1 xn				;		6. nn x 3 n ;
	n 1 2n							n 1
8.	f x	1	, x	0	4 ;
8.	f x	x	, x		4 ;
		x
y xy x			2		y	2	11.	x; x 0;		.
y xy x					y		11.	y	0; 0 x .	.
									0; 0 x .

y(0) 1;

В а р и а н т 5

2n 1

n 2 n

2n 1 n

;

2n 1

3n 1

n 1

3n 1

(x 3)n

x 1 3n

4. n2 nx ;

; 6.

;

n9n

n 1

f x 3 8 x ;

8. f x cos2 x, x

;

0,5

x ln(1 x2 )xdx ;

10.

y x 2 y 2

y sin x

1 ;

y(0)

x, 2 x 0;

11.

0 x

В а р и а н т 6

n 1

1 n ln n

;

(2n)!

10n 1

n 1

x 3 n

;

2n 1 x

n 1

1 x

8. f x e

, x0 1;

7. f x ln x

;

0,2

;

10. y e2 x

2xy 2 ;

11.

2; 1; 1 .

3 1 x2

y(0) 1;

В а р и а н т 7

ln n

;

3. 1 n

;

(2n 1)

n 10

n 1

x 2

;

n 1 ln n

n 1

n 1 n

n 1

f x

;

8. f x ctg x,

;

0,2 ln 1 x

1, 2 x 1;

dx ;

10. y 2 yx ye

;

11.

x 1;

y x, 1

0,1

1, 1 x 2.

y(0) 1;

В а р и а н т 8

3n 2

1 n 1

;

5n 1

;

n ln n

n 2

n 1

n x

x 4 n

;

1 x

n 2 1

n 1

3x 5

n 1

f x

; 8. f x shx, x0 1;

0,5

2 4x 3

10. y x e y ;

11. y 2x; ; .

arcsin x dx ;

0,2

y(0) 0;

В а р и а н т 9

1 n

n n

;

6n 4

n 1

n 1 n

n 1

3n sin

;

n x

;

n 1

n 1 n

n 1 n3 1

f x

;

8. f x ctgx

;

9 x2

0,5

y x 2 y 0;

y 2x2 1; 0; 1 .

arcsin x dx ;

10.

11.

0,1

y(0) 1,

y 0 1;

В а р и а н т 10

n 1

1 n

;

n 1

1 n 1 xn

2 n

;

nln x

n 1

f x ln 2 x ;

8. f x tg x,

x0 0 ;

y x 2

y 2 ,

11. y

2x, 0 x 1,

e x dx ;

10.

2, 1

x 2.

y(0) 1;

В а р и а н т 11

n 2

;

2. n 1 ;

;

n 1 n!

n 1

1 n

n 1

;

5. 1 n 2x 1 2 3n ;

;

2n 1

n 1

f x cos x ;

f x x

y 4 3x2 ; ; .

shx dx ;

10.

y x 2 y 0,

11.

0,5

y(0) 1, y 0 3;

В а р и а н т 12

1.	n 12		;

	n 1	1 n
		n
4.		n			;
4.		2x	1	n	;
	n 1	2x	1
7.	f x xsin x2 ;

;

(n 1)( 1)

2. n3

;

n 1 n!

n 1 n 1 n

2n 1

;

6. 1 n

x 4

;

n 1 2n

n 1

n3n

8. f x

, x0 2 ;

2; x 0,

xexdx ;

10.

xy y xy 0,

11.

2; 0 x

y(0) 1, y 0 1;

В а р и а н т 13

3 n

;

3. 1

;

n n 1

n 1

;

6. 3

1 ;

n! x

n 1

n2 1

7. f x

;

8. f x ch x,

x0 1;

1 x

2 x 1,

1 x

dx ;

10. xy xy y 0, 11.

y x

1 x 1,

x 2.

1, 1

y(0) 0, y 0 1;

В а р и а н т 14

1 n 1

n 1

1. n tg

;

n 1

n 1 3n 2 3n

n 1

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20252.68 Mб1Технология термической обработки.pdf
#
30.11.20251.17 Mб0Технология термической структуроизменяющей обработки.pdf
#
30.11.20253.37 Mб0Технология швейного производства.pdf
#
30.11.20251.55 Mб0Технология энергетического производства.pdf
#
30.11.20252.36 Mб0Типовая гидравлическая аппаратура станочных приводов.pdf
#
30.11.20252.18 Mб0Типовые расчеты и методические указания по темам Ряды, Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Элементы теории поля и операционного исчисления.pdf
#
30.11.20251.51 Mб0Типовые расчеты по математике для студентов первого курса (II семестр) факультета технологий управления и гуманитаризации.pdf
#
30.11.20251.11 Mб0Типовые схемы гидравлических приводов.pdf
#
30.11.202510.89 Mб0Типология производственных зданий и сооружений.pdf
#
30.11.2025594.7 Кб0Товароведение (грузоведение).pdf
#
30.11.20252.53 Mб0Токарные автоматы.pdf