Технология приборостроения

Несмотря на то, что в обеих партиях число деталей одинаково, а следовательно, и площади одинаковы, несмотря на равенство

10

размахов ω1 и ω2 и равенство Х, эти партии не равноценны по точности. У первой партии большое количество деталей находится

украйних пределов и возможен выход этих деталей из поля допуска,

увторой партии, наоборот, детали тесно группируются у размера Х (центра группирования), и выход за пределы допуска маловероятен. Технологический процесс, по которому была обработана вторая партия деталей, более надежен и брак будет менее вероятным.

Рассмотренные ранее характеристики Х, ω не дают возможности оценить плотность группирования размеров деталей около значения Х, что очень важно для оценки качества технологического

процесса и вероятности возникновения брака. Характеристикой, которая может дать такую оценку, является среднеквадратическое отклонение от среднего значения , которое вычисляется по сле-

дующей формуле:

Величина среднеквадратического отклонения оценивает форму кривой распределения и фактически дает характеристику того, какие количества величин х и на каких расстояниях отстоят от величи-

ны Х. Так, например, для показанной на рис. 1.6, а кривой распределения, величина , подсчитанная по формуле (1.2), дает значение

= 0,038 мм,

адля кривой распределения на рис. 1.6, б

= 0,025 мм.

Размерность совпадает с размерностью случайной величины х (в нашем примере мм).

Для оценки генеральной совокупности по результатам оценки выборочной партии необходимо эмпирическую кривую распределения заменить теоретической кривой.

11

Кривая Гаусса строится в координатах х и у, где х – значение случайной величины, у – плотность вероятности возникновения той или иной величины. В эмпирическом законе распределения взамен плотности вероятности у = f(x) используется частота Ki. По смыслу эти понятия одинаковы, но Ki используется для оценки выборки, а у = f(x) – для оценки генеральной совокупности.

Уравнение кривой Гаусса

12

где х – переменная случайная величина; у = f(x) – плотность вероятности;

– среднеквадратическое отклонение величин х от Х.

Кривая Гаусса обладает рядом свойств. Отметим главные из них. 1. Ветви кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс, сливаясь с ней в бесконечности, то есть зона рассеивания случайной

величины х лежит в пределах .

2. Максимальное значение величины у будет при х = Х и соответственно составит

уmах 12π 0,4 .

3.Значение величины у для значений х = составляет

уσ 12πе 0,24 .

4.Кривая имеет перегибы, отстоящие на расстоянии от среднего значения Х.

5.При увеличении кривая «сплющивается», а при уменьшении – «вытягивается» вверх (рис. 1.7).

6.Площадь под кривой нормального распределения может быть найдена путем интегрирования уравнения (1.3) и характеризует собой вероятность того, что случайная величина будет располагаться

внутри интервала . Совершенно очевидно, что в пределы попадут полностью все значения х. Поэтому вероятность попадания в этот интервал равна единице:

7.Для практики достаточными являются пределы, равные не ,

а±3 от значения Х, так как в эти пределы попадает 99,73 % всех значений случайной величины х. Практически считают

13

Вероятность значений величины х в любом другом интервале может быть найдена по аналогичной формуле:

в табл. 1.2. Там же приведены и удвоенные значения 2Ф(t). Значение Ф(t) выражает отношение площади, соответствующее заданному ин-

тервалу 0, t ко всей площади под кривой, котораяравнаединице.

14

Введением переменной t начало отсчета величин x переносится

в точку, соответствующую Х.

Ранее при рассмотрении полигонов распределения было показано, что отношением площадей может быть найден процент годных и бракованных деталей. Следовательно, этот процент может быть найден и через значения Ф(t). По полигону распределения (рис. 1.8) был найден процент брака для выборки из n = 24, который равнялся 8,3 %. Для определения процента брака для генеральной совокупности необходимо заменить полигон теоретической кривой распреде-

ления с теми же характеристиками Х и и найти значения Ф(t) в диапазоне значений х, выходящих за пределы допуска.

Определим вероятный процент брака генеральной совокупности по выборке, представленной на рис. 1.8. Прежде всего, определимпо формуле (1.2).

Для подсчета удобно воспользоваться табл. 1.1 и, несколько увеличив количество интервалов, продолжить ее, как это показано в табл. 1.3.

15

Таблица 1.3

Последовательность вычислений параметров теоретической кривой распределения

Построить на одном графике полигон распределения (был ранее построен на рис. 1.8) и теоретическую кривую распределения с оди-

16

X =29,923

Dcp=29,94

Рис. 1.8. Замена полигона распределения размеров теоретической кривой

17

Совмещенные кривые распределения представлены на рис. 1.8. Нанеся на график заданные размеры Dср и поле допуска IT = 0,12 мм, видим, что часть значений размеров оказывается вне поля допуска (участки заштрихованы).

Для определения процента брака необходимо определить отношение этих площадей ко всей площади кривой. Левый заштрихованный участок справа ограничен значением x1 = 29,88. Найдем t:

t x1 Х 29,88 29,923 1,39.0,03

Знак минус можно опустить, так как функция Ф(t) является нечетной:

Ф(–t) = –Ф(t).

По табл. 1.2 для t = 1,39 находим

Ф(1,39) 0,41.

Вероятный процент брака определятся из выражения

[Ф( ) – Ф(t)]100 [Ф(3) – Ф(1,39)]100

(1.8)

(0,5 – 0,41)100 9,0 %.

Размеры деталей, попавших в этот диапазон, меньше допустимого предельного значения, поэтому брак является неисправимым.

Правый заштрихованный участок

Ф(2,48) 0,4938.

Вероятный процент брака:

[Ф(3) – Ф(2,48)]100 = (0,5 – 0,4938)100 0,6 %.

18

Размеры этих деталей выше верхнего предельного значения, следовательно, этот брак исправим.

Законы распределения Симпсона, равной вероятности и Релея

При различных условиях обработки заготовок рассеяние их действительных размеров может подчиняться и другим законам распределения.

Закон Симпсона (равнобедренного треугольника) применяется для описания погрешности размеров заготовок, на которых оказывает влияние один доминирующий фактор с переменным характером изменения во времени, сначала ускоренным, потом замедленным, а затем вновь ускоренным. Такие условия могут возникнуть при быстром изнашивании инструмента (рис. 1.9, а).

Рис. 1.9. Характер изменения доминирующего фактора (а) и кривая распределения размеров по закону Симпсона (б)

Дифференциальный закон распределения Симпсона

19