4. ВЫВОД ФОРМУЛЫ БОГУСЛАВСКОГО – ЛЕНГМЮРА
Пусть имеется два плоских электрода площадью S, расположенных параллельно друг другу (рис.6). Расстояние между электродами обозначим через d. Левый электрод будем считать катодом и потенциал его положим равным нулю. Тогда потенциал правого электрода (анода) равен ϕ = U. Источником электронов является катод. Ускоряемые полем электроны двигаются от катода к аноду и создают ток.
Риc. 6. К выводу закона “трех вторых”
Начало координат поместим на поверхности катода и ось ОХ направим перпендикулярно катоду в сторону анода. Температура катода поддерживается постоянной. Разность потенциалов электростатического поля между анодом и катодом ϕ = U и является функцией только координаты х. Вектор напряженности
электрического поля E связан с потенциалом выражением
E = −gradϕ,
и направлен вдоль оси х. Как и напряжение U, вектор напряженности E является функцией координаты х
dϕ |
|
Ex = − dx . |
(5) |
Рассмотрим на расстоянии х от катода плоский слой толщиной dх, который параллелен электродам. Вычислим поток вектора напряженности электрического поля через поверхность этого слоя по теореме Гаусса.
Теорема Гаусса: поток вектора напряженности через произвольную замкнутую
поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых данной поверхностью, деленной на электрическую постоянную ε0.
dФЕ = (E + dE)S – ES = dES = dq/ε0, |
(6) |
где dq = ρSdx – заряд внутри слоя.
12
ρ – объемная плотность заряда. Из формулы (6) получаем
dES = ρSdx/ε0,
или
dE = ρ dx ε0 .
С учетом выражения (5) имеем
d 2ϕ |
= − |
ρ |
|
|
dx2 |
ε0 . |
|||
|
||||
(7)
Уравнение (7) представляет собой уравнение Пуассона для потенциала электростатического поля в одномерном случае. В формулу (7) распишем объемную плотность заряда через концентрацию электронов
d 2ϕ |
= − |
ρ |
= |
|
eN |
= |
en |
|
|
dx2 |
ε0 |
Vε0 |
ε0 , |
(8) |
|||||
|
|
|
|||||||
где N – число электронов; V – объем слоя;
n – концентрация электронов.
В рассматриваемом случае потенциал ϕ, объемная плотность зарядов ρ и концентрация электронов n изменяются только вдоль оси ОХ.
При термоэлектронной эмиссии электроны вылетают из катода с тепловыми скоростями, которые малы по сравнению со скоростями, приобретаемыми электронами под влиянием внешних электрических полей. Поэтому можно считать начальные скорости электронов равными нулю. Тогда электроны, достигшие точки между электродами, имеющей потенциал ϕ, будут обладать скоростью v определяемой из закона сохранения энергии
13
mv2 2 = eϕ ,
или
v = |
2eϕ |
|
(9) |
|
m , |
||
где v – скорость упорядоченного движения электронов.
Плотность тока j определяется через плотность объемного заряда ρ и скорость упорядоченного движения электронов v с помощью равенства
j = −nev = −ρv. |
(10) |
В выражении (10) справа поставлен знак минус, так как направление вектора j совпадает с направлением движения положительных зарядов.
Подставляя (9) и (10) в формулу (8), получаем
d 2ϕ |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|||
= |
|
m |
1 |
|
= |
||||||||
dx2 |
ε0 |
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ϕ |
|
|
ϕ , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a2 = |
j |
|
m |
|
ε0 |
|
2e . |
||
где |
|
|||
dϕ
Умножим правую и левую части этого равенства на dx
d 2ϕ |
|
dϕ |
= |
a2 |
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dx2 |
dx |
|
ϕ dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и учтем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 ϕ |
|
dϕ |
= |
1 d |
( |
dϕ |
) |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
dx |
2 dx |
dx |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
d(ϕ2 ) |
= |
|
1 |
|
dϕ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
ϕ dx . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Интегрируем равенство (11) в пределах от 0 до х
14
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∫x |
1 d |
(dϕ)2 |
= ∫x 2 d(ϕ2 )a2 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
2 dx |
|
|
|||||
0 |
dx |
0 |
dx |
. |
(12) |
||
|
|
|
|
||||
Запишем начальные условия. При x = 0 ϕ = 0, так как потенциал катода равен нулю. При х = 0
ddxϕ =0 . Это условие вытекает из того, что вблизи катода образуется электронное облако, в которое электроны от катода поступают только за счет диффузии. Следовательно, у катода напряженность поля Е = 0.
dϕ
Из связи напряженности с потенциалом Е = dx вытекает требование
ddxϕ =0 при х = 0.
В результате интегрирования равенства (12) с учетом начальных условий получаем
|
|
|
|
(dϕ)2 |
1 |
|
|
|
|
= 4a2 ϕ2 |
|
|
|
|
|
dx |
. |
Разделим переменные |
|
|
|||
|
dϕ |
= 2adx |
|
||
1 |
|
||||
|
|
|
|
||
|
ϕ4 |
|
|
, |
(13) |
и проинтегрируем выражение (13) в пределах изменения x от 0 до d. |
|||||
|
|
ϕ |
= 2a∫d dx |
|
|
|
|
∫ |
dϕ |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
0 ϕ4 |
0 . |
(14) |
|
В качестве пределов интегрирования левой части равенства (14) берем ϕ = 0 и ϕ = U. После интегрирования выражение (14) примет вид
15
4U 43 |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= 2ad = 2( |
|
|
m |
|
) 2 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
2e |
|
|
|
. |
|
|
|
|
(15) |
||||||
Возведем обе части равенства (15) в квадрат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
16 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
= 4a |
2 |
d |
2 |
= 4 |
|
|
|
|
|
m |
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
9 |
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
2e |
. |
|
|
|
(16) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из равенства (16) выразим плотность тока j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4ε |
|
|
2 e 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j = |
0 |
|
U 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
m d 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
Чтобы перейти от плотности тока j к силе тока I, необходимо j умножить на площадь поверхности S, с которой происходит эмиссия электронов
I = jS.
Учитывая, что при наших обозначениях U совпадает с разностью потенциалов (ϕ1 - ϕ2) между электродами, имеем
4ε0 S |
|
|
|
1 |
|
||
2 |
|
e |
3 |
||||
I = 9 |
|
|
|
|
|
(ϕ1 −ϕ2 )2 . |
|
|
m |
d 2 |
|||||
Положим множитель
4ε0 S |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
|
=α |
||||
9 |
|
|
m d 2 |
||||
|
|
, |
|||||
где величина α будет постоянной для электродов данных размеров, которые расположены на определенном расстоянии друг от друга.
В результате получаем формулу Богуславского – Ленгмюра
16