Теория упругости и пластичности

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2 1 m2 2m2

При различных положениях наклонной площадки множитель

может принимать значения

на отрезке

Поэтому, чтобы уравнение

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

на отрезке 1, 1 . Учитывая соотношение направляющих косинусов для плоской задачи l2 m2 1 уравнение (**) можно записать следующим образом

(***) всегда выполнялось, требуется, чтобы 0. То есть, xy yx 0.

Из первого уравнения системы (*) получим значение нормального напряжения x

xl xym xl 0 m p l; x p p .

Из второго уравнения системы (*) получим значение нормального напряжения y

П р и м е р 11 . Дана квадратная пластина и заданы функции для напряжений

Cx4 y;

σ y

y ;

Cx3 y2.

Требуется установить соответствующую

нагрузку по контуру пластины.

Р е ш е н и е.

Проверим пригодность заданных функций

для напряжений σx ,σ y , τxy

для задачи тео-

Рис. 32. Квадратная плита

рии упругости. Так

как функции

σx ,σ y , τxy , их производные и взятые от них интегралы являются непрерывны-

ми, то уравнения Сен-Венана (уравнения неразрывности деформаций) будут удовлетворяться. Следует проверить, будут ли выполняться условия равновесия, то есть дифференциальные уравнения равновесия (уравнения Навье).

Возьмем производные

σx

4Cx3 y 2Cx3 y;

σ y

3Cx2 y2;

τxy

2Cx3 y;

τ yx

3Cx2 y2.

Подставим производные в уравнения Навье

и получим 2Cx2 y 2Cx2 y 0;

3Cx2 y2 3Cx2 y2 0.

Очевидно, что заданные функции для напряжений удовлетворяют диффе-

ренциальным уравнениям равновесия.

Определим нагрузки по краям пластины

на верхнем краю пластины

C x C,

y C,

l 0, m 1.

px σxl τxym

Cx4 y 0 Cx3 y2 1 Cx3 y2 C3x3;

py τ yxm σ yl Cx3 y2 0 Cx2 y3 1 Cx2 y3 C4 x2.

на нижнем краю пластины

C x C,

y C,

l 0, m 1.

px σxl τxym

Cx4 y 0 Cx3 y2 1 Cx3 y2 C3x3;

py τ yxm σ yl Cx3 y2 0 Cx2 y3 1 Cx2 y3 C4 x2.

на левом краю пластины

x C,

C y C,

l 1, m 0.

px σxl τxym

Cx4 y 1

Cx4 y

C5 y;

py τ yxm σ yl Cx3 y2 1 Cx3 y2 C4 y2.

на правом краю пластины

x C,

C y C,

l 1, m 0.

px σxl τxym

Cx4 y 1

Cx4 y

C5 y;

py τ yxm σ yl Cx3 y2 1 Cx3 y2 C4 y2.

С6

0,5

Нормальные

Касательные

нагрузки

С6

0,5

С6

Рис. 33.

Эпюры нормальных и касательных нагрузок

2.5. Плоская задача теории упругости в полярных координатах

П р и м е р 12. Для плоского кольца известны выражения для напряже-

ний

p			a	2			b				p			a	2			b
						1			;								1			;
		2								r			2
	b		a		2		r	2				b		a		2		r	2

a	b	r 0.
a

Проверить выполнение условия равновесия и найти нагрузку на кольцо.

Рис. 34. Кольцо, загруженное распределенной нагрузкой

Найдем слагаемые дифференциальных уравнений равновесия

2a2b2

;

0 ;

b2 a2 r3

0 ;

2 r

0 ;

2a2b2

b2 a2 r3

Подставим в дифференциальные уравнения равновесия

2a2b2

b2 a2 r3

2 r

0 0 0 0.

Оба уравнения удовлетворяются тождественно. Следовательно, условия равновесия соблюдаются.

Найдем нагрузку, действующую на краях кольца. При r = b

0 .

При r = a

a2 b2

p .

На внутренний край кольца действует равномерно распределенная нагрузка –p.

2.6.Изгиб круглых пластин

Пр и м е р 13. Пластинка круглого очертания и постоянной толщина шарнирно опирается по своему контуру и загружена равномерно распределенной нагрузкой. Прогиб пластины задан функцией

W C 5 2	3 2 1 4		,	C const .

Приняты: радиус пластины a 2 м;		толщина пластины h 0,2 м ; коэффициент

0,25. Требуется найти функции для изгибающих моментов, поперечной силы, прогибов и построить эпюры.

	0
r	a	2a
	a	2a

Рис. 35. Шарнирно опертая пластина круглого очертания, загружена распределенной нагрузкой

Перейдем к абсолютной координате ar . Перепишем функцию проги-

бов

		r	2		r	4
W C 5	2 3			1			.
		a2			a4

Найдем производные

dW						r				r	3		2				1			r	2
dW	4		3			r	4		1	r		;	d W	4	3		1		12 1	r		;
	4		3		a2		4		1	a4		;	dr2	4	3		a2		12 1	a4		;
dr					a2					a4			dr2				a2			a4
d 3W				1		r							d 4W		1		1
		24						;						24				.
dr3		24				a4		;					dr4	24		a4		.
dr3						a4							dr4			a4

Проверим выполнение граничных условий на краю пластины Первое условие – при r a, W 0.

											a		2				a		4
W C 5		2 3									a			1			a			C 5 6 2 1 0 .
W C 5		2 3									a2			1			a4			C 5 6 2 1 0 .
											a2						a4
Второе условие – при r a														Mr 0 .
Момент в радиальной плоскости
			2			dW																1				r	2
	d W					dW									3							1			12 1	r
M r D										4
M r D				2		r dr				4													2				4
			dr	2		r dr																a	2			a	4
			dr																			a				a

								r							r	3
								r							r
		4 3								4 1								.
		4 3							2	4 1					a4			.
	r							a	2						a4

После преобразования получим выражение
							4DC															2
			M				4DC					1 3									r			1 .
			M		r							1 3										2		1 .
					r			a	2													2
								a											a
Согласно второму граничному условию, имеем
							4DC															2
			M				4DC					1 3									a			1 0 .
			M		r							1 3										2		1 0 .
					r			a	2													2
								a											a

Условия на краю пластины выполняется.

Определим постоянный коэффициент C, используя дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины.

1 dW

d W

2 d W

1 d W

q .

Подставим выражения для производных

		1		2			r		1				1			r	2
	1	1		2		1	r		1			3	1		12 1	r
DC 24					24						4
DC 24					24						4
		a	4	r			a	4	r	2			a	2		a	4

1			r		r	3
1		3	r	4 1	r
	4						q.
r3	4		a2		a4		q.
r3			a2		a4

Раскроим скобки, выполним сокращения и приведем подобные

DC 24 48 12 4 q .

В результате получим

C	qa4
		.
	64D 1

Учитывая выражения для С, получим функцию прогибов

	qa	4			r	2		r	4
W			5	2 3			1			.

	64D(1 )				a2			a4

Составим выражение для радиального изгибающего момента M r (получено выше)

		4DC				2
M				1 3	r		1 .
	r					2
		a	2
				a

Составим выражение для тангенциального изгибающего момента M

	1 dW	2							r		r	3
	1 dW	d W			1				r		r
M D				DC			4 3			4 1
M D				DC			4 3		a2	4 1	a4
r dr		dr2			r				a2		a4

		1			r	2
		1			r
4 3			12 1					.
4 3		a2	12 1		a4			.
		a2			a4

Раскроим скобки и приведем подобные. В результате получим

												4DC									r	2
										M		4DC				1 1				3	r				3 .
										M						1 1				3	a2				3 .
													a2								a2
Составим выражение для поперечной силы
				d 3W					1 d 2W			1 dW											r
Q D																		DC24 1
Q D						3					2		2					DC24 1						4
	r				dr	3			r dr		2	r	2		dr								a	4
					dr				r dr			r			dr								a
	1							1						r	2		1					r				r	3
	1			3				1	12 1					r			1			3		r	4 1			r
			4																4									.
			4				a2												4			a2				a4		.
		r					a2							a	4		r2					a2				a4

Раскроим скобки, приведем подобные и получим выражение для поперечно силы

Qr DC 1 r . a4

Выразим произведение коэффициентов CD через известные величины

	qa4	qa4	q24	q
DC D					.
	64D 1	64 1	64 1 0,25	5

Вычислим значения изгибающих моментов и поперечной силы в центре пластины,

r 0.

		4DC						2				4 q 5			0	2
M		4DC		1 3		r				1		4 q 5		1 0,25 3 0,25	0		1
M	r			1 3				2		1			2	1 0,25 3 0,25		2	1
	r	a	2					2				2	2			2
		a			a							2		a
0.8125q;
		4DC					r		2
M		4DC		1 1	3		r				3
M				1 1	3		a2				3
		a2					a2

	4 q 5							0	2
				1 0,25 1		3 0,25				3 0,25	0,8125q;
	22							a2

Q		DC		1 r	q	5	1 0,25 0 0 .

r		a4	24

Вычислим значения изгибающих моментов и поперечной силы на краю

пластины, r a 2 .

		4DC				2		4 q 5				2
M				1 3	r		1			1 0, 25 3 0, 25	r		1	0 ;
	r					2			2			2
		a	2					2
				a						a

	4DC			a	2
M		1 1	3			3
	a2				2
				a

	4 q 5						2	2
			1 0, 25 1		3 0, 25				3 0, 25	0,375q;

	22				22
Q		DC	1 a	q	5	1 0,25 2 0,03125q .

r		a4	24

Вычислим прогибы пластины при r 0

		qa		4				r	2								r	4
W		qa			5	2	3	r			1						r
W		64D(1 )			5	2	3	a2			1						a4
		64D(1 )						a2									a4
		q2	4									0			2							0	4		q
		q2			5	0, 25	2 3 0, 25					0				1 0, 25						0		1,05	q		;
	64D(1 0, 25)				5	0, 25	2 3 0, 25									1 0, 25								1,05			;
	64D(1 0, 25)													a2					24						D
при r a / 2 1
		qa		4				r	2								r	4
W		qa			5	2	3	r			1						r
W		64D(1 )			5	2	3	a2			1						a4
		64D(1 )						a2									a4
		q2	4							2									4							q
		q2			5	0,25	2 3 0,25							1		1 0,25					1			0,741		q		;
	64D(1 0,25)				5	0,25	2 3 0,25									1 0,25								0,741				;
	64D(1 0,25)									22									24							D
при r a 2
		qa		4				r	2								r	4
W		qa			5	2	3	r			1						r
W		64D(1 )			5	2	3	a2			1						a4
		64D(1 )						a2									a4
		q2	4										2		2					2			4
		q2			5	0, 25	2 3 0, 25						2			1 0, 25				2				0.
					5	0, 25	2 3 0, 25									1 0, 25								0.
	64D(1 0, 25)									22									24
78

W		M
0,74q/D	0,74q/D	0,375q	0,375q
0,74q/D	0,74q/D
1,05q/D		Qr	0,813q
		Qr

0,031q

0,813q

Рис. 36. Эпюры прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил

Вычислим максимальные нормальные и касательные напряжения

6Mr

6 0,816q

122, 4q ;

0, 22

6 0,816q

122, 4q ;

0, 22

3Qr

3 0,031q

0,233q .

2 0,2

2.7. Основы теории пластичности и ползучести

П р и м е р 14. Абсолютно жесткий стержень AC шарнирно опертый в точке C удерживается тремя тяжами в точках A, B и Е, составленными из шести стержней с одинаковой площадью поперечных сечений A. Определить комбинацию стержней, при которой предельная нагрузка F будет самой большой, если материал деформируется по диаграмме Прандтля.


				y
				Fred
C	B	D	E	A
a	3a	3a		3a
				0

Рис. 37. Статически неопределимая система с учетом пластических деформаций материала тяжей

Р е ш е н и е. Обозначим количество стержней в тяжах B, D, E , соответственно, nB , nD , nE . Согласно условию задачи при всех комбинациях располо-

жения стержней суммарное их количество равно шести, то есть nB nD nE 6 . Система потеряет прочность, то есть способность восприни-

мать сколь угодно малую дополнительную нагрузку, если во всех тяжах напряжения будут равными пределу текучести σ y . Составим уравнение предельного

равновесия заданной системы

MC ynB A a ynD A 4a ynE A 7a Fred 10a 0.

Из уравнения получим значение предельной нагрузки

Fred y A nB 4nD 7nE .

Отсюда следует, что наибольшая нагрузка будет при наибольшем значении выражения в скобках. Составим возможные варианты расположения стержней в тяжах B, D, E и посчитаем выражение в скобках для каждого варианта.

Таблица 1 – Результаты расчета статически неопределимая система с учетом пластических деформаций материала тяжей

	Распределение стержней по тяжам			Количество	Значение
Вариант				стержней	nB 4nD 7nE
Вариант	nB	nD	nE



1	1	2	3	6	30
2	1	3	2	6	27
3	2	1	3	6	27
4	2	2	2	6	24
5	2	3	1	6	21
6	3	1	2	6	21
7	3	2	1	6	18

Очевидно, что заданная система может нести наибольшую предельную нагрузку при варианте распределения стержней по тяжам, обозначенным номером 1. При этом наибольшая предельная нагрузка равна

Fred 3σ y A.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.2025693.67 Кб1Теория рабочих процессов двигателей внутреннего сгорания.pdf
#
29.11.20251.14 Mб1Теория резания и режущий инструмент.pdf
#
29.11.20251.33 Mб1Теория резания.pdf
#
29.11.20252.42 Mб1Теория сооружений.pdf
#
29.11.2025515.74 Кб1Теория стандартизации.pdf
#
29.11.20255.29 Mб1Теория упругости и пластичности.pdf
#
29.11.20251.68 Mб1Теория электропривода.pdf
#
29.11.20257.98 Mб2Теория ядерных реакторов.pdf
#
29.11.20251.22 Mб4Теория, расчеты и конструкции кузнечно-штамповочного оборудования. В 2 ч. Ч. 1 Конструкторское и технологическое проектирование.pdf
#
29.11.20251.67 Mб5Теория, расчеты и конструкции кузнечно-штамповочного оборудования. В 2 ч. Ч. 1. Конструкторское и технологическое проектирование.pdf
#
29.11.202536.58 Mб0Тепло- и массообмен. В 2 ч. Ч. 1.pdf