Теория упругости и пластичности

где σ y – предел текучести материала.

Теория прочности Губера-Мизеса-Роша. Упругое предельное состояние в данной точке тела наступит тогда, когда касательное октаэдрическое напряжение достигнет значения касательного октаэдрического напряжения, соответствующего упругому предельному состоянию для того же материала при простом растяжении. При сложном напряженном состоянии октаэдрическое касательное напряжение может быть выражено через главные напряжения

При простом растяжении

Отсюда получим условие наступления предельного напряженного состо-

яния

1.2.9 Постановка задачи в теории упругости

При постановке задачи в теории упругости задаются граничные условия в виде информации о поверхностных силах - статические граничные условия

32

В качестве неизвестных принимаются компоненты перемещения

Таким образом, имеется 15 неизвестных. Следовательно, для решения задачи должно быть 15 уравнений и условия на границе тела для определения постоянных интегрирования. Такие уравнения имеются. Это дифференциальные уравнения равновесия - 3; уравнения Коши - 6; уравнения неразрывности - 6. Таким образом, задача теории упругости в принципе решаема

1.2.10 Решение задач теории упругости в перемещениях

Вфизические уравнения подставим геометрические уравнения, продифференцируем и подставим полученные выражения в уравнения Навье.

Врезультате получим уравнения в перемещениях, которые называются

уравнениями Ляме

1.2.11 Решение задач теории упругости в напряжениях

В качестве неизвестных принимаются напряжения. Используя физические уравнения, уравнения неразрывности и уравнения равновесия, получим уравнения в напряжениях, которые называются уравнениями Бельтрами.

33

Для решения задачи к уравнениям Бельтрами присоединяются условия на границе

1.3 Плоская задача теории упругости в декартовых координатах

1.3.1 Плоское напряженное состояние

Примером плоского напряженного состояния может служить состояние тонкой пластинки (рис. 18). В этом случае σz τxz τ yz 0 . Предполагается,

что другие составляющие напряжения равномерно распределены по толщине пластинки. Тензор напряжений и тензор деформации имеют следующий вид

P2

P2

Рис. 16. Тонкая пластина, испытывающая плоское напряженное состояние

34

1.3.2 Плоское деформированное состояние

Примером плоской деформации являются состояние, испытывающее ленточным фундаментом, дамбой или плотиной (рис. 17). В этом случае

35

q

Y

X

Z

Рис. 17. Дамба, испытывающая плоское деформируемое состояние

В этом случае тензор напряжений и тензор деформации имеют следующий вид

Система дифференциальных уравнений равновесия сокращается до двух

Условие на контуре пластины принимает следующий вид

Связь между перемещениями и деформациями выражается тремя уравнениями

36

Это уравнение называется уравнением Леви.

1.3.3 Функция напряжений для плоской задачи теории упругости (функция Эри)

При решении плоской задачи в напряжениях требуется найти три неизвестные σx , σ y , τxy . Чтобы упростить решение вводится функция напряжений

. Эта функция должна определять напряжения путем ее дифференцирования

Таким образом, вместо трех неизвестных имеем одно неизвестное . Легко проверить существование такой функции. Для этого подставим ее в дифференциальные уравнения равновесия

(131)

Очевидно, что уравнения равновесия удовлетворяются тождественно. Сумму напряжений выразим через функцию напряжений

37

Для определения вида самой функции подставим ее в уравнение неразрывности (уравнение Леви)