Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория упругости и пластичности

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

					1				1
	εx						γxy				γxz
	εx				2		γxy		2		γxz
					2				2
		1							1
T		1	γ		ε				1		γ		.	(50)
T			γ	yx	ε	y					γ	yz	.	(50)
ε		2		yx		y			2			yz
		2							2
		1			1
		1	γ		1		γ		ε

		2		zx	2			zy		z
		2			2

Одна вторая перед углами сдвига введена для удобства записей операций с тензорами напряжений и деформаций. Деформированное состояние в точке тела вполне определено, если для этой точки задан тензор деформаций.

1.1.13 Исследование деформированного состояния в окрестности точки

Удлинение отрезка какого-либо прямолинейного волокна, проходящего через заданную точку тела и расположенного вдоль оси можно выразить через компоненты деформации той же точки

l2 ε

m2 ε

n2 γ

lm γ

mn γ

nl .

(51)

В окрестности каждой точки тела существует три взаимно перпендикулярные главные направления – главные оси деформации. Эти оси обладают тем свойством, что волокна, лежащие на них, испытывают только изменение длины, но не искривляются. Для изотропных тел главные оси деформации совпадают с направлениями главных напряжений. Деформации по направлениям главных осей деформации называются главными деформациями. Для вычисления значений главных деформаций необходимо решить кубическое уравнение.

ε3 εI ε2 + εII ε -εIII 0 ,

(52)

где εI , εII , εIII – инварианты тензора напряжений.

Корни кубического уравнения (52) и будут значениями главных деформаций. Главные деформации индексируются по условию

ε1 ε2 ε3 .

(53)

Первая инварианта тензора деформации равна сумме его элементов,

расположенных на главной диагонали

εI ε	x	ε	y	ε	z	.	(54)
	x		y		z

Вторая инварианта тензора деформации равна сумме миноров, взятых при элементах, расположенных на его главной диагонали

εx

γxy

ε y

γ yz

εz

γzx

εII

γ yx

ε y

γzy

εz

γxz εx

(55)

γ2

Третья инварианта тензора деформации равна определителю тензора деформации

εx

γxy

γxz

εIII

(56)

γzx

γzy

εz

γ2

Октаэдрическая линейная деформация вычисляется по формуле

ε			1	ε		ε		ε		1	ε	ε		ε		ε		.	(57)
	oct				x		y		z				2		3		m
		3								3	1

Октаэдрический угол сдвига равен

			2
γ	oct		2		ε	ε	2	2	ε	2	ε	3	2	ε	3	ε	2 .	(58)
γ					ε	ε		2	ε		ε		2	ε		ε	2 .	(58)
		3		1												1
		3

Наибольший угол сдвига определяется по формуле

γmax ε1 ε3.

(59)

В теории упругости вводится понятие интенсивности деформаций

εi		3	γoct .	(60)
	2	2 1 ν

В пределах упругих деформаций между обобщенным напряжением и обобщенной деформацией существует простая связь

σi Eεi .

(61)

1.1.14 Понятие о шаровом тензоре деформации и о тензоре деформации

Тензор деформации представляют как сумму двух тензоров

T T 0	D ,	(62)
ε ε	ε

где Tε0 - шаровой тензор деформации, который характеризует изменение объ-

ема в окрестности некоторой точки;

Dε – девиатор тензора деформации, который характеризует формоизме-

нение

											1					1
							εx εm						γ xy					γ xz
	εm						εx εm				2		γ xy			2		γ xz
		0		0							2					2
		0		0
T 0	0	ε		0		,	D0	1	γ		ε			ε			1	γ		.
T 0	0	ε	m	0		,	D0		γ	yx	ε	y		ε	m			γ	yz	.
ε			m					2		yx		y			m	2			yz
	0	0		ε				2								2
					m			1			1
								1			1

							2		γzx		2		γzy			εz εm

1.2 Основные уравнения теории упругости

1.2.1 Дифференциальные уравнения равновесия (уравнения Навье)

В окрестности точки тела выделим элементарный параллелепипед (рис. 14). Обозначим U, V, W – перемещения по направлениям, соответственно, осей X, Y и Z. Покажем только те напряжения на его площадках, которые параллельны оси X. Учитывая, что элементарный параллелепипед находится в состоянии равновесия, составим уравнение равновесия

X m	2U	(63)
	t2

	Z
	xz+( xz/ z)dz
	xy
x
	xy+( xy/ y)dy
	xz
Y	dy
Y
	dx

x +( x/ x)dx

Рис. 14. Элемент с напряжениями на его площадках, параллельными оси X

Запишем уравнение (63) в развернутом виде

τxy

σx

x dx dydz σxdydz

τxy

dy dzdx τxydzdx

(64)

τxz

xz dz dxdy τxzdxdy Xρdxdydz

ρdxdydz

где – плотность материала;

X – проекция на ось X объемной силы, то есть распределенной силы, отнесенной к единице массы (например, сила тяжести).

Раскроим скобки

dydz

σx dxdydz σ

dydz τ

dzdx

τxy

dydzdx τ

dzdx

(65)

dxdy τxz dzdxdy τ

dxdy Xρdxdydz ρdxdydz

Приведем подобные и разделим на объем элементарного параллелепипе-

да dxdydz.

	τ	xy		2
σx		xy	τxz Xρ ρ	U .	(66)
σx			τxz Xρ ρ	U .	(66)
x	y		z	2
				t

Составляя аналогичные уравнения равновесия на оси Y и Z, получим еще два дифференциальных уравнения. Все три уравнения можно объединить в систему, так как они содержать общие неизвестные функции.

σ x

τxy

τ xz

Xρ ρ

;

τ yx

σ y

τ yz

Yρ ρ

;

(67)

τzx

σz

Zρ ρ

2 .

1.2.2 Геометрические уравнения. (Уравнения Коши)

Вырежем элементарный объем в окрестности исследуемой точки. В результате деформации тела будет деформироваться и элементарный объем.

u+ u / y dy

v+ v / y dy



	dx		u+ u / x dx	X
				X
x		u

Рис. 15. Смещения, линейные и угловые деформации элементарного объема

Относительные линейные деформации элемента равны

dy dy v dy

dx dx u

εx

; ε y

(68)

Угловая деформация (угол сдвига) элемента равна сумме углов. В выражениях для углов учтено, что x и y малы по сравнению с единицей

u dy u

u dy

α tgα

;

(69)

y 1 dy

y dy

β tgβ

v x dx v

x dx

;

(70)

u x dx dx u

x dx dx

1 dx

α β u

v .

(71)

По аналогии можно получить все зависимость между деформациями и перемещениями для объемного напряженного состояния

εx

ε y

εz

ux ;

yv ;

wz ;

γxy u v ;

y x

γ	yz	v	w ;	(72)
	yz	z	y
		z	y
γ	zx	w	u .
	zx	x	z
		x	z

Полученные уравнения называются геометрическими уравнениями или

уравнениями Коши.

1.2.3 Уравнения неразрывности деформаций (уравнения Сененана)

Перемещение любой точки сплошного тела определяется тремя функциями и(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z), Деформации в любой точке определяются шестью функциями εx ,ε y ,εz , γxy , γ yz , γzx .

Если заданы три функции перемещений и, v и w, то этим определены все шесть составляющих деформации, так как они выражаются через частные производные перемещений (Ур< Коши). Однако, обратно, если заданы шесть составляющих деформации, то это не значит, что определены три составляющие перемещений. Очевидно, между составляющими деформации должны быть еще какие-то дополнительные зависимости. Получим эти зависимости. Имеем

ε	x	u	;	ε	y	v .	(73)
	x	x			y	y
		x				y

Продифференцируем их дважды

2ε	x	3u	;	2ε y	3v	.	(74)
		x y2		x2	y x2
y2

y x

Сложим эти уравнения

2	εx	2ε	y	2
					u	v

	2	2			y	x
				y x
y		x

или

2εx 2ε y 2γxy .y2 x2

Возьмем уравнения Коши

w v ;

u w ;

v u .

Продифференцируем

;

γzx

;

x y

y z

y x

x z

z x

z y

(75)

(76)

(77)

(78)

γ yz

или

Сложим первое и второе уравнения и вычтем третье

γzx

x y

x z

y z

y x

z x

z y

Продифференцируем по z и получим

γzx

x y z

γzx

z .

x y

2 2w .x y

(79)

(80)

(81)

Аналогично можно получить все шесть зависимостей для объемного напряженного состояния.

2ε

2ε y

2γxy

;

x y

2ε y

2ε

2γ yz

;

y z

2ε

2γ

;

z x

γ yzz x

γzx

x y

γxyy z

γzx

γxy

γ yz

γxy

γ yz

γzx


2		2	εz
			εz		;
	x y				;
	x y
2		2	εx		; (82)
2			εx		; (82)
	y z
2	2ε			y
				y		.
						.
	z x

Эти уравнения впервые получены Сен-Венаном и называются уравнени-

ями Сен-Венана или уравнениями неразрывности.

Ф и з и ч е с к и й с м ы с л у р а в н е н и й Сен-Венана.

Если для каждого параллелепипеда, на которые мысленно разделено все тело, назначить шесть независимых составляющих деформации, то из таких деформированных параллелепипедов нельзя сложить непрерывное деформированное тело. Для того, чтобы неразрывность тела была обеспечена при заданных деформациях, следует их задавать так, чтобы были обеспечены уравнения Сен-Венана.

Э н е р г е т и ч е с к и й с м ы с л у р а в н е н и й Сен Венана. Осу-

ществление принципа неразрывности деформаций соответствует в упругом теле минимальное значение накапливаемой телом потенциальной энергии деформации.

1.2.4 Обобщенный закон Гука

Для линейно деформируемого тела связь между деформациями и напряжениями устанавливается по закону Гука, полученному в сопротивлении материалов в обратной форме.

;

τxy

;

ε y

;

γ yz

τ yz

;

(83)

σ y σz

σ x

;

τzx

Из уравнений (83) выразим напряжения и получим прямую форму записи закона Гука

σx 2Gεx λθ;	τxy Gγxy ;
σ y 2Gε y λθ;	τ yz Gγ yz ;	(84)
σz 2Gεz λθ;	τzx Gγzx ,

где G – модуль сдвига;

v – коэффициент Пуассона

;

2νG

;

θ 3ε

(85)

2 1 ν

1 2ν

1.2.5 Закон изменения объема

Запишем закон Гука в обратной форме

;

τxy

;

τ yz

ε y

;

γ yz

;

(86)

σ y σz

σ x

;

τzx

Сложим первые уравнения, расположенные в каждой строчке системы

(86), и раскроим скобки

2 σ

1 2

(87)

Учитывая выражения для средней деформации, среднего напряжения и относительной объемной деформации, получим

1 2

;

3 1 2ν

(88)

Этот закон может быть записан в тензорной форме

T 0	E T 0	,	где	E		E	.	(89)


σ	0 ε			0	1	2ν
					1	2ν

1.2.6 Закон изменения формы

Выведем закон изменения формы, то есть зависимость между компонентами девиаторов напряжения и деформации

εx εm

γ xy

γ xz

σx σm

τxy

;

.(90)

τxy

σx σm

2 γzy

γzx

εz εm

Установим зависимость между элементами девиаторов, расположенных на верхней строке и левом столбце девиаторов.

1 2ν

2ν

σ x

+ σ y

+ σz

3 σ y

3 σz -σ x -σ y -σz

3σ x

(91)

2 1+ ν σ

- 1+ ν σ

1+ ν

2 σ

1 ν

3σ

-3σ

1 ν

-σ

2 1 ν

-σ

Чтобы перейти к прямой форме записи закона изменения формы, выразим элементы, содержащие напряжения

σx -σm 2G εx εm .

(92)

Связь элементов девиаторов, содержащих углы сдвига и касательные напряжения очевидна.

τ		Gγ		2G	1	γ		.	(93)
	xy		xy				xy
				2

Аналогично можно получить зависимости и для других элементов девиаторов напряжения и деформации

-σ

2G ε

;

-σ

2G ε

;

(94)

-σ

2G ε

;

Полученную зависимость можно записать и в тензорной форме

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.2025693.67 Кб1Теория рабочих процессов двигателей внутреннего сгорания.pdf
#
29.11.20251.14 Mб1Теория резания и режущий инструмент.pdf
#
29.11.20251.33 Mб1Теория резания.pdf
#
29.11.20252.42 Mб1Теория сооружений.pdf
#
29.11.2025515.74 Кб1Теория стандартизации.pdf
#
29.11.20255.29 Mб1Теория упругости и пластичности.pdf
#
29.11.20251.68 Mб1Теория электропривода.pdf
#
29.11.20257.98 Mб2Теория ядерных реакторов.pdf
#
29.11.20251.22 Mб1Теория, расчеты и конструкции кузнечно-штамповочного оборудования. В 2 ч. Ч. 1 Конструкторское и технологическое проектирование.pdf
#
29.11.20251.67 Mб1Теория, расчеты и конструкции кузнечно-штамповочного оборудования. В 2 ч. Ч. 1. Конструкторское и технологическое проектирование.pdf
#
29.11.202536.58 Mб0Тепло- и массообмен. В 2 ч. Ч. 1.pdf