ТЕСТЫ
1. Если функция U = f(x,y,z) задана в некоторой окрестности точки М0(х0,у0,z0)и через эту точку проведено произвольное направление l, то производная ∂U(M0)/∂l по направлению l, вычисляется по формуле:
1. |
dU |
= |
|
∂l |
cos α + |
∂l |
cos β + |
∂l |
|
cos γ; |
||||
∂l |
|
|
∂y |
∂z |
||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|||||||
где |
→ |
|
|
|
|
→ |
β |
→ |
|
→ |
||||
S 0 |
= cos α i + cos |
j+ cos γ k − направляющ ий вектор l; |
||||||||||||
2. |
dU |
= cos αdx + cos βdy + cos γdz; |
||||||||||||
|
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
dU |
= |
|
∂U |
cos α + |
∂U |
cos β + |
∂U |
cos γ. |
|||||
∂l |
|
∂x |
∂y |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
||||||
2. Градиентом функции U=f(x,y,z) в точке М0(х0,у0,z0) называется
1. |
gradU = |
dU |
|
dx + |
∂U |
dy + |
∂U |
dz; |
|||
|
|
|
|
||||||||
2. |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
||||
gradU = dU i + |
∂U j+ |
∂U k; |
|||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
→ |
||
|
|
|
|
∂y |
∂z |
|
|
||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|||||
3. gradU = dU∂x cos α+ ∂∂Uy cosβ+ ∂∂Uz cos γ.
3.Градиент функции U = f(x,y,z) в точке М0(х0,у0,z0) характеризует
1.направление и величину максимального роста этой функции в точке М0;
2.направление и величину минимального роста этой функции в точке М0;
3.направление и величину постоянного значения f(x,y,z)=c.
4.Если в области (Р) определена функция f(x,y) и область (Р) разбить сетью кривых произвольно на n областей (Р1), (Р2) … (Рn), площадь которых Р1, Р2, …, Рn, в
каждой из областей (Рi) выбрать по произволу точку Mi(Vi , Ui) , в которой зна-
37
чение функции равно f(Mi) = f (Vi Ui), то интегральной суммой и двойным интегралом ∫∫f(x,y)dxdy называются соответствующие выражения:
n |
|
1. ∑ f (Ui ,Vi ) Pi , |
lim f (Ui Pi ) Pi ; |
i=1 |
Pi →0 |
n
2. lim ∑ f (Ui ,Vi )
Pi →0 i=1
n
3. ∑ f (Ui ,Vi ) Pi ,
i=1
n
4. ∑ f (Ui ,Vi ) Pi ,
i=1
|
n |
|
|
Pi , ∑ f (Ui ,Vi ) Pi ; |
|||
|
i=1 |
|
|
|
n |
|
|
limP →0 |
∑ f (Ui ,Vi |
) |
Pi ; |
i |
i=1 |
|
|
limP →0 ∫∫ f (Ui ,Vi |
) |
Pi . |
|
i |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ≤ x ≤b |
, вычис- |
5. Двойной интеграл ∫∫ f (x, y)dxdy , где(P) – прямоугольник |
||||
|
|
P |
c ≤ y ≤ d |
|
ляется по формуле: |
|
|
|
|
1. |
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫b dy∫d |
f ( x, y )dx; |
|
|
|
P |
a c |
|
|
|
|
b |
d |
|
2. |
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ f ( x, y )dx∫dy; |
|
||
|
P |
a |
c |
|
3. ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫b dx ∫d f ( x, y )dy.
P |
a |
c |
6. Двойной интеграл ∫∫ f (x, y)dxdy , где (P) – произвольная область, ограниченная
P
сверху графиком y =ϕ2 (α) , снизу – графиком y =ϕ1 (α) , с боков х=а и х=b, вычис-
ляется по формуле:
1. |
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫b dx∫d |
f ( x, y )dy; |
||
|
P |
a |
c |
|
|
|
b |
ϕ2 |
( x ) |
2. |
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫dx |
|
∫ f ( x, y )dy; |
|
|
P |
a |
ϕ1 ( x ) |
|
|
|
b |
ϕ2 |
( x ) |
3. |
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫dy |
|
∫ f ( x, y )dx; |
|
|
P |
a |
ϕ1 ( x ) |
|
38
7. Если замена переменных производится по формулам x = x(U,V) и y = y(U,V), то
якобиан I и двойной интеграл ∫∫ f (x, y)dxdy вычисляется:
P
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
.I = |
|
∂U |
|
|
|
|
|
∂U |
|
|
|
||||
|
|
|
∂y |
|
∂x |
|
||||||||||
|
|
|
∂V |
|
|
|
|
∂V |
|
|
|
|||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
I = |
|
∂U |
|
|
|
|
∂U |
|
|||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
||||||||
|
|
|
∂V |
|
|
|
∂V |
|
|
|
||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
I = |
|
∂V |
|
|
|
∂U |
|
|
|||||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂x |
|
||||||||
|
|
|
∂V |
|
|
|
∂U |
|
|
|||||||
8. Двойной интеграл
a. |
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(U ,V ), y(U ,V ))dUdV |
|||||||||
|
P |
P′ |
||||||||
b. |
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(U ,V ), y(U ,V )) |
|
|
I |
|
|
dxdy |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
P |
P′ |
||||||||
c. |
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(U ,V ), y(U ,V )) |
|
I |
|
dUdV |
|||||
|
|
|||||||||
|
P |
P′ |
||||||||
∫∫f (x, y)dxdy |
x = ρcos θ |
в полярной системе координат |
|
P |
y = ρsin θ |
вычисляется по формуле:
1. |
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( ρcos θ,ρsin θ)ρdθdρ |
|
|
|
|
||||
|
P |
P′ |
|
|
|
|
|
||
2. |
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( ρcos θ,ρsin θ)dθdρ |
|
|
|
|
|
|||
|
P |
P′ |
|
|
|
|
|
||
3. |
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( ρcos θ,ρsin θ)ρ 2 dθdρ |
|
|
|
|
||||
|
P |
P′ |
|
|
|
|
|
||
9. Если в области (V) и ( |
) преобразуются однозначно друг в друга с помощью |
||||||||
формул |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x(U ,V ,W ); |
|
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
∂U |
|
∂V |
|
∂W |
|
|
||
|
|
|
∂y |
∂y |
|
∂y |
|
|
|
y = y(U ,V ,W ); |
и якобиан I(U ,V ,W ) = |
|
|
, то формула |
|||||
|
|
∂U |
|
∂V |
|
∂W |
|
||
z = z(U ,V ,W ); |
|
∂z |
∂z |
|
∂z |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∂U |
|
∂V |
|
∂W |
|
|
тройных интегралов имеет вид:
39
1.
2.
3.
10.Если кривая (L) заданна параметрически, т. е. x = ϕ( t ) , y = ψ( t ),t [ a,b ] , то
криволинейный интеграл первого рода ∫ f ( x, y )dl вычисляется по формуле:
L
1.
2.
3.
40