Примеры
|
r |
|
3x2 y2 |
r |
|
2x3 y |
r |
|
|
x3 y2 r |
||
1. Проверить, является ли поле |
F |
= |
|
− 2x3 i |
+ |
|
+3y3 j |
+ z3 |
− |
|
|
k |
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
потенциальным, найти его потенциал и вычислить криволинейный интеграл вдоль
контура АВ, где A(1;2;2) , B(1;3;1) .
Решение. Для данного поля ротор
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||
rotFr = |
|
|
i |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
k |
|
|
|
= 0 . |
||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|||||
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3x 2 y 2 |
|
|
2 x3 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 y 2 |
|
||||||
|
|
|
|
− 2 x 3 |
|
|
|
|
|
+ 3 y 3 |
|
z 3 |
− |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, поле является потенциальным при z ≠ 0 . Найдем потенциал заданного поля F по формуле (4.4):
x |
|
3x2 y2 |
|
|
y |
|
2x3 y |
|
|
u(x, y, z) = ∫ |
|
|
− 2x3 |
|
dx + ∫ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||
0 |
|
z |
|
y=0 |
|
|
z |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
z=1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
z |
|
||
= −2∫ x3dx + ∫(2x3 y +3y3 )dy + ∫ |
z3 |
||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
z |
|
|
|
x3 y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
3y3 |
|
dy + ∫ |
z3 |
− |
|
|
|
|
|
dz +C = |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x3 y2 |
|
|
|
|
1 |
|
4 + |
3 |
y4 + |
1 |
|
z 4 + |
x3 y2 |
|
||||
− |
|
|
dz +C = − |
|
|
x |
|
|
|
|
|
+C , |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
z |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где C = C − |
1 |
. В качестве начальной выбрана точка (0,0,1). |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Криволинейный интеграл (по формуле 4.6) |
|
|
|
||||||||||||||||
r |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
x |
3 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫(F |
, dn)= − |
x4 + |
y4 + |
z 4 + |
|
|
+C |
|
= 52 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
AB |
|
|
|
2 |
|
2 |
4 |
|
|
z |
|
1 |
|
A(1,3,1) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(1,2,2) |
|
|
|
2. С |
помощью |
|
оператора |
|
Гамильтона |
|
доказать, |
что |
|||||||||||
div[F, вr] = (вr, rot F ) − (F, rot вr) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Имеем,
div[F, вr]= ( , [F, вr])= ( , [F, вr])+ ( , [F, вr]).
Слагаемые в правой части этого равенства представляют собой смешанное произведение трех векторов: , F и вr .
Воспользовавшись свойством смешанного произведения векторов, получим:
( , [F, вr])= −( , [вr, F ])= (вr, [ , F ])= (в, rotF );
34
с другой стороны
( , [F, вr])= −(F,[ , вr])= −(F, rot вr).
Таким образом,
div[F, вr]= (вr, rot F )− (F, rot вr). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Для заданного векторного поля F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) проверить потенциальность поля; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) найти потенциал поля; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) вычислить криволинейный интеграл |
∫(F, dn). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
1.1. |
F = (x2 −2 yz)ir + (y2 −2xz)rj + (z2 −2xy)k , A(1,1,1), B(−1, 2, −2). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(Отв. а) поле потенциальное; |
|||||||
|
|
б) |
(x3 |
+ y3 |
+ z3 ) |
− 2xyz + c; |
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
в) − |
22 |
). |
|
|
|
||
|
F = 2х(y2 −2x2 )ir + 2 y(x2 −2 y2 )rj, A(−1, 1), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1.2. |
B(2,3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Отв. а) поле потенциальное;
б) x2 y2 − x4 − y4 +c;
в) -60.)
2. Вычислить grad div F и rot rot F в точке М(2, 1, -2), если
F = (x2 yz2 + 2 y)ir + (xy2 z2 −2x2 )rj + (3xyz2 −2x2 )k.
(Отв. 4i +8 j − 20k )
Домашнее задание
1. Для заданного векторного поля F : а) проверить потенциальность поля; б) найти потенциал поля;
35
в) вычислить криволинейный интеграл ∫(F, dn).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ |
|
r |
|
|
1 |
r |
|
x + z |
r |
|
|
1 |
r |
|
||
F |
= |
2xz + |
i |
− |
j |
+ x2 |
+ |
k , A(−1, 3, |
− 2), B(1, 2,3). |
|||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
||||
(Отв. а) поле потенциальное;
б) x2 z + (x +y z)+ c;
в) 8.)
2. Вычислить u в точке М, если
2.1. u = 3x2 z2 −(x + y − 2z2 )2 + 2z2 , M (2,1, −1).
(Отв. 6.)
2.2. u = sin 2 (2x −3y + z)−2x2 + y2 + z2 , M (−1, −1, −1).
(Отв. 28.)
36