Решение. Контур L – окружность радиусом, равным 1, с центром в точке (0, 0, 1). Ротор данного поля
rotFr = (x3 − y)ir −(3yx2 +8y +1)rj + (2 −3x2 −3y2 +8z)k (rotFr, nr)= 2 −3x2 −3y2 +8z.
Тогда циркуляция вычисляется по формуле Стокса:
ЦL (Fr)= + ∫∫(rotFr, nr) |
z=1dxdy = |
∫∫ |
(10 −3x2 −3y2 )dxdy = 2∫π dϕ |
1∫(10 −3ρ2 )ρ dρ = |
17π |
. |
|
2 |
|||||||
Dxy |
Dxy |
0 |
0 |
|
|||
|
|
||||||
Аудиторные задания
1. Найти дивергенцию векторного поля F
1.1. F = (y + x + z)ir + (x2 + y2 + z2 )rj + (y3 + x3 + z3 )k .
(Отв. 1 + 2 y +3z2 )
1.2. F = (x2 yz −5y2 z +6xz2 )ir + (2 y2 xz −4 yz2 +3xz)rj + (z2 xy −7zy3 + z3 )k .
(Отв. 8xyz +5z2 −7 y3 ) 2. Вычислить поток векторного поля F через положительно ориентированную
замкнутую поверхность S . 2.1. F = z2ir +(xy −1)rj −(z − y)k ,
где |
S : 3x + 2 y + z = 6 |
. |
||||||
|
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(Отв. −3 ) |
2.2. F = xy2ir + y(z − x)rj + (x2 − zy2 )k , |
||||||||
где |
S : |
x2 |
+ |
y 2 |
+ |
z 2 |
=1 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
9 |
16 |
|
|
|||
(Отв. −64π ) 3. Вычислить циркуляцию векторного поля F по замкнутой линии L .
3.1. F = (x2 − y2 )ir + (x2 − z2 )rj + (y2 − x2 )k ,
L – контур треугольника АВС, где A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) .
(Отв. 2)
29
3.2 F = (x − y)i + (x − z)j + (z − x)k , где L |
– линия, состоящая из части винтовой |
||
линии x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = |
2t |
от точки |
B(2;0;4) и прямолинейного отрезка ВА. |
|
|||
|
π |
|
|
|
|
|
(Отв. 8 +4π ) |
4. Найти ротор векторного поля F . |
|
||
4.1. F = x i + y j + z k . |
(Отв. 0) |
||
4.2. F = xyz ir +(2x +3y − z)rj + (x2 + z2 )k . |
|
||
|
|
|
(Отв. i + (xy + 2x)j + (2 − xz)k ) |
5. Вычислить по формуле Стокса циркуляцию векторного поля Fr по замкнутому контуру L .
5.1. F = (z3 + 2 y3 +3y)ir + (y3 −2x3 − xz2 )rj + (z2 −5xy2 )k L : {x2 + y2 + z2 =1, z = x2 + y2 .
(Отв. − 2,5π )
5.2. F = (3z2 − y3 )ir + (x3 −2 y2 z2 )rj + (2xyz − x2 y2 )k L : {x2 + y2 = 4, 2x + z = 4}.
Домашнее задание
1. Найти дивергенцию векторного поля F :
1.1. F = (2x2 y −3xz3 +5x3 yz)ir + (4 y3 x + xyz +8z2 )rj + (6z3 xy2 −7z2 x +9
(Отв. 4xy −3z3 +15x2 yz +12xy2 −
1.2.F = (3y2 −2xy + x2 )ir + (xy −5y2 )rj .
1.3.F = x2 ir − yx rj + xyz k .
1.4.F = (x2 y + y2 x − xy)ir + (y3 −4xy +3y2 )rj .
(Отв.
(Отв. 120π )
zy)k .
13xz +18xy2 z2 +9 y )
(Отв. 3x −12 y )
(Отв. x + xy )
4 y2 −4x +5y + 2xy )
30
2. Вычислить поток векторного поля F через положительно ориентированную замкнутую поверхность S .
2.1. F = 3xy2ir −(1 + yz2 )rj + (2 − zx2 )k ,
где S : x2 + z2 − y2 = 0
y =1, y ≥ 0.
2.2. F = (x2 − y2 )ir + (yx2 − z2 )rj + (zy2 − x2 )k ,
x2 + y2 + z 2 =16
где S :
z = x2 + y2 .
3. Вычислить циркуляцию векторного поля нии L : {z = 
4 − x2 − y2 , x2 + y2 = 2x}.
(Отв. π2 )
(Отв. 81024−5 π2 )
F = y2ir + z2 rj + (x2 −2 y)k вдоль ли-
|
(Отв. − |
6π +16 |
) |
|
3 |
||
|
|
|
|
4. Найти ротор векторного поля F : |
|
|
|
4.1. F = x2ir + y2 rj + z 2 k . |
(Отв. 0) |
||
4.2. F = y2 zir + xz2 rj + x2 y k . |
|
|
|
|
(Отв. (x2 −2xz)ir + (y2 −2xy)rj + (z2 −2 yz)k ) |
||
5. Вычислить по |
формуле Стокса циркуляцию векторного |
поля |
|
F = (y3 − yx2 )ir + (y2 − x2 + x)rj |
по контуру L : (x −1)2 + 4 y2 = 4 . |
|
|
|
(Отв. π ) |
||
|
|
2 |
|
31
Занятие № 4 ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ. ОПЕРАТОРЫ ГАМИЛЬТОНА, ЛАПЛАСА
Теоретические сведения
Векторное поле F = P i +Q j + R k , заданное в области V, называется потенци-
альным, если в области V существует такая скалярная функция u, градиент которой совпадает с Fr
F = grad u . |
(4.1) |
Функция u в таком случае называется потенциальной функцией или потенциалом векторного поля.
Для того, чтобы векторное поле F в заданной области V было потенциальным,
необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
rotF = 0 . |
|
(4.2) |
|
В потенциальном векторном поле F : |
|
|
|
|
|
||||
1) |
x |
|
|
x |
|
|
z |
(4.3) |
|
|
|
|
|
||||||
u(x, y, z) = ∫ P(x, y, z) |
|
y=y |
dx + ∫Q(x, y, z) |
|
dy + |
∫ R(x, y, z) dz +C . |
|||
|
x |
|
x |
|
|
z |
|
|
|
|
0 |
|
z=z00 |
0 |
|
z=z0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
ЦL (F )= ∫(F, dn)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
(4.4) |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
3)Для любых двух точек А и В в области V значение криволинейного интеграла
∫(F, dn) не зависит от вида контура интегрирования АВ, соединяющего точки А и В
AB
и расположенного в области V, а зависит только от расположения этих точек в области.
32
4) Если u(x, y, z) – потенциал векторного поля F , то для любого контура А V
∫(F, dn)= u(x1, y1, z1 ) −u(x0 , y0 , z0 ) . |
(4.5) |
AB |
|
Основные характеристики векторного анализа (градиент, дивергенция и ротор) и операции над ними удобно представлять с помощью оператора Гамильтона
= ∂∂x ir + ∂∂y rj + ∂∂z kr.
Справедливы следующие равенства:
u = grad u .
( , F ) = divF .
[ , F ] = rotF .
С помощью оператора можно показать, что
div rot F = 0 и rot grad u = 0 .
Введем оператор Лапласа
= ( , ) = ∂2 + ∂2 + ∂2 . ∂x2 ∂y2 ∂ z2
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Нетрудно убедиться, что div grad u = u |
|
||
Уравнение |
u = 0 |
называется уравнением Лапласа, а функции, |
удовлетво- |
ряющие этому уравнению – гармоническими функциями. |
|
||
Операции grad div F и rot rot F связаны между собой соотношением |
|
||
|
|
rot rot F = grad div F − Fr , |
(4.11) |
где Fr = Pir+ |
Qjr+ |
Rkr. |
|
|
|
|
33 |