Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория поля.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

491.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Ротором векторного поля F в точке M (x, y, z)

называется вектор

∂R

∂Q r

∂P

∂R r

∂Q

∂P r

(3.5)

rotF

−

∂y

∂z

∂x

∂z

∂y

где частные производные вычислены в этой точке. Его можно записать в символической форме следующим образом

r		ir	rj	k
		ir	rj	k
		∂	∂	∂	.	(3.6)
rotF	=
rotF	=	∂x	∂y	∂z
		∂x	∂y	∂z
		P	Q	R

Ротор является характеристикой вихревых движений в поле. Если rotF = 0 , то поле называется безвихревым.

Для любой незамкнутой поверхности S V , опирающейся на контур L , имеет место формула Стокса

∫(F dl)= ∫∫(rotF nr)dS .		(3.7)
L	S

Формула Стокса позволяет свести вычисления циркуляции векторного поля F

по контуру L к вычислению потока поля rotF через незамкнутую поверхность S , опирающуюся на контур L ( L – граница незамкнутой поверхности S )

ЦL (F )= ± ∫∫(rotF, nr)	z=z(x, y)dxdy ,	(3.8)
Dxy

где Dxy – проекция S на плоскость XOY , nr = −z′xi − z′y j + k – вектор нормали к поверхности S .

Примеры

1. Вычислить дивергенцию поля F = (2xy + zx)i + (xyz + y)j + (x + y + 2z)k в точке

M (1,1, 2).

Решение. Согласно формуле (3.3) имеем divFr = ∂∂Px + ∂∂Qy + ∂∂Rz ,


где	∂P		= 2 y + z		M = 2 1 + 2 = 4 ,
	∂P
	∂x
	∂x
		∂Q	= xz +1	M =1 2 +1 = 3 ,
		∂Q
		∂y
		∂y
		∂R	= 2.
		∂z	= 2.
		∂z
Отсюда			divF(M )= 4 + 3 + 2 = 9 > 0 . Следовательно, в точке			M находится источник,
мощность которого равна 9.
2. Вычислить поток векторного поля F = 3xir −3yrj −5z2k						через внешнюю сторону

замкнутой поверхности S , состоящей из части параболоида x2 + y2 = 2z и сферы x2 + y2 + z2 = 8 , накрывающей параболоид (рис. 3.1).

z	x2	+ y2 + z 2 = 8

			x2 + y2 =2z
			x2 + y2 =2z

Рис. 3.1

Решение. Вычислим поток по формуле Остроградского. Дивергенция заданно-

го поля равна

∂P

∂Q

∂R

= −10z , где

∂P

∂Q

∂R

divF

= 3,

= −3,

= −10z.

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

Поток ∏s (Fr) = ∫∫∫divFrdv = ∫∫∫(−10z) dxdydz.

V V

Вычисление тройного интеграла по области V будем осуществлять в цилиндри-

ческих координатах:				x = ρ cosφ;										y = sin φ;						z = z :
r	2π		2					8−ρ		2							2π			2					8−ρ		2
										2															8−ρ		2
																					z 2
∏s (F) = −10 ∫dϕ			∫		ρdρ				∫ zdz = −10 ∫dϕ											∫ ρdρ									=
∏s (F) = −10 ∫dϕ			∫		ρdρ				∫ zdz = −10 ∫dϕ											∫ ρdρ		2							=
	0		0					ρ2 2								0				0		2		ρ	2	2
																								ρ		2
	2π		2					8 − ρ2							ρ4					2π		2							2	ρ3				2	ρ5
	= −10 ∫dϕ	∫		ρdρ								−				= −10 ∫dϕ						∫4ρdρ						−	∫			dρ −		∫			dρ	=
	= −10 ∫dϕ	∫		ρdρ								−				= −10 ∫dϕ						∫4ρdρ						−	∫			dρ −		∫			dρ	=
	0	0							2					8						0									0	2				0 8
	0	0							2					8						0	0								0	2				0 8
						5		2			4			2				6		2												2π
								2						2						2
	2π		4		ρ					ρ							ρ						16 2						1		1									20
			4		ρ					ρ							ρ						16 2						1		1									20
	= −10 ∫dϕ								−						−					= −10								−		−			∫dϕ = −			32 2			+		2π.
	= −10 ∫dϕ				5				−	8					−	48				= −10					5			−	2	−	6		∫dϕ = −			32 2			+	3	2π.
	0				5		0			8			0			48			0						5				2		6		0							3
							0						0						0

3. Вычислить поток векторного поля F = 2xyir − y2 rj + z3k через внешнюю сторо-

ну замкнутой поверхности, ограниченной поверхностями:

x2 + y2 = 3 z и x2 + y2 + z2 = 2R z (см. рис. 3.2).

x2 + y2 + z 2 = 2Rz

x2 + y2 = 3 z

Рис. 3.2

Решение. Исходное поле F определено и дифференцируемо во всем пространстве и

divF = 3z 2 , где	∂P	= 2 y,	∂Q	= −2 y,	∂R	= 3z 2 .
	∂x		∂y		∂z

Следовательно, ∏s (F) = ∫∫∫3z 2 dxdydz.

Вычислим этот интеграл в сферических координатах:

	r		π	π 3		2Rcos	θ		π 3	2Rcos	θ
		2		∫dθ			ρ2 cos2 θ ρ2 sinθdρ = 6π ∫ cos2 θ sinθ dθ				ρ4dρ =
F	(F) =	3 ∫dϕ				∫				∫
s		0		0		0			0	0

		192πR5 π 3						153πR5
	=				∫	cos7	θ sinθ dθ =		.
		5						32
				0

4. Вычислить циркуляцию векторного поля F = (2x − y2 +1)ir +(3x + 2 y2 −10) rj по линии L, состоящей из отрезка прямой АВ и параболы x = 3 − y2 (рис. 3.3).

A(2,1)

-1

B(-1,-2) -2

Рис. 3.3

Решение. Исходная линия L состоит из 2-х участков: прямой АВ и параболы. Следовательно, циркуляция заданного поля F будет равна сумме двух линейных

интегралов:

ЦL (Fr)= ∫ + ∫ .

AB BCA

Уравнение

прямой

АВ

записывается

в виде

y −1

x − 2

или

− 2 −1

−1 − 2

y −1

x − 2

y = x −1. Тогда

−3

∫ = −∫1(2x −(x −1)2 +1) + (3x + 2(x −1)2 −10))dx = −∫1(5x + (x −1)2 −9)dx =

AB 2

−1

(x −1)3

−1

−9x

−1

−10 −

−

+18 =16,5.

∫= 2∫((2x −(3 − x) +1) + (3x + 2(3 − x) −10)dx = 2∫(4x −6) dx =

BCA −1								−1
	4x2	2	2
		2
=		−6x		= 8	− 2	−12	−6	= −12.
=	2	−6x	−1	= 8	− 2	−12	−6	= −12.
		−1	−1

Циркуляция по заданному контуру L будет равна ЦL (F )=16,5 −12 = 4,5 > 0.

5. Найти ротор для векторного поля F = (2xy − z)ir +( yx + 2) rj +(x2 −3xz)k .

Решение.

∂

rotF

∂x

∂y

∂z

(2xy − z) ( yx + 2) (x2 −3xz)

∂(x

−3xz) − ∂( yx +

∂(x

−3xz) −

∂(2xy

∂( yx + 2)

− ∂(2xy − z)

= i

2) −

− z)

+ k

∂y

∂z

∂x

∂z

∂x

∂y

−0)

+1)

= i (0

− j(2x −3z

+ k ( y −

2x) = (−2x +3z −1) j

+ ( y − 2x)k.

6. Вычислить циркуляцию поля

F = (y3 −8yz − z)ir + (yz − x3 + 2x)rj + (yx3 −2z3 )k вдоль контура L , полученного пе-

ресечением параболоида z = x2 + y2 плоскостью z =1 и ориентированного положи-

тельно по отношению к оси OZ (рис. 3.4).

r	r	z
r	r
n	= k
		S

Рис. 3.4

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.2025622.54 Кб0Теория поведения потребителя (институциональный анализ).pdf
#
29.11.20252.8 Mб0Теория подвижного состава городского электрического транспорта.pdf
#
29.11.202527.4 Mб0Теория подвижного состава. Тягово-скоростные свойства.pdf
#
29.11.20251.59 Mб0Теория подвижного состава. Ч. 1. Колесный движитель. Тягово-скоростные и тормозные свойства.pdf
#
29.11.2025102.85 Mб0Теория подвижного состава. Ч. 2. Криволинейное движение, устойчивость, колебания и плавность хода подвижного состава.pdf
#
29.11.2025491.1 Кб0Теория поля.pdf
#
29.11.20251.25 Mб1Теория преобразования и передачи измерительной информации.pdf
#
29.11.2025693.67 Кб1Теория рабочих процессов двигателей внутреннего сгорания.pdf
#
29.11.20251.14 Mб1Теория резания и режущий инструмент.pdf
#
29.11.20251.33 Mб1Теория резания.pdf
#
29.11.20252.42 Mб1Теория сооружений.pdf