x = ρ cosφsinθy = ρsinφ cosθ
z = ρ cosθ
I = ρ2 sinθ,
вкоторых уравнение сферы задается равенством ρ =1 .
Всоответствии с формулой (2.6) имеем:
ПS (Fr)= +2∫π dϕπ∫/ 4 (x x3 + y(− y)3 + z 2z)sinθ dθ =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
π |
/ 4 |
(sin |
4 θ cos4 ϕ −sin 4 θ sin 4 ϕ + 2 cos2 θ)sinθ dθ = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
∫ dϕ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
(sin |
4 θ (cos4 ϕ −sin |
4 ϕ)+ 2 cos2 θ)sinθ dθ = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
π / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
∫ dϕ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π π / 4 |
(sin 4 θ (cos2 ϕ −sin 2 ϕ) (cos2 ϕ +sin 2 ϕ)+ 2 cos2 θ) sinθ dθ = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
∫ dϕ |
∫ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2∫π dφ π∫/4 (sin4 θ cos 2φ +2 cos2 θ)sinθ dθ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2∫π cos 2φ dφπ∫/4 sin5 θ dθ +22∫π dφπ∫/4 cos2θ sinθ dθ = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2∫π cos 2φ dφ |
π∫/4 sin4 θ cosθ dθ −22∫π dφπ∫/4 cos2θ d (cosθ)= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2∫π cos 2φ dφπ∫/4 sin4 θ d (sinθ)−22∫π dφ cos3 θ |
|
π/4 = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
sin5 θ |
π/4 |
|
|
2π |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2π |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 2 |
|
1 |
|
|
2π |
||||||||||
= |
∫ |
cos 2φ dφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 ∫ dφ |
|
|
|
|
|
− |
|
= ∫cos 2φ dφ |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
− |
|
|
φ |
= |
||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
5 |
|
|
24 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
2π |
|
|
π (2 |
2 −8) |
|
π ( |
|
2 −4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
sin 2φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
= − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. Найти векторные линии для поля F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1.1. F = (3x − y2 )ir + yrj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Отв. |
x = y2 ) |
|
|
||||||||||||||
20
1.2.F = yi − xj − 2k .
1.3.F = (x + y2 + z 2 )ir + yrj + zk .
Отв. |
x = c cos t |
|
|
|
|
|
y = c sin t |
|
|
z = 2t + c |
|
|
1 |
|
|
Отв. |
x − y 2 − z 2 = c z |
|
|
|
1 |
|
|
|
y = c2 z |
|
|
|
|
|
2. |
Вычислить поток векторного поля F |
через верхнюю сторону части поверх- |
||||||||
ности z = 2 − x2 − y2 , отсеченной плоскостью z = 0 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(Отв. 2π) |
|||
3. |
Вычислить поток векторного поля F = yzi + xzj + xyk через внешнюю сторону |
|||||||||
части сферы x2 + y2 + z2 = 4 , расположенной в первом октанте. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(Отв. 6) |
|||
4. |
Вычислить поток векторного поля F = y2 rj + zk через нижнюю сторону части |
|||||||||
поверхности z = x2 + y2 , отсеченной плоскостью z = 2 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(Отв. - 2π) |
||||
|
r |
r |
|
1 |
r |
r |
|
|
|
|
5. |
Вычислить поток поля F |
= xy2i |
+ |
|
yzj |
+ x2 zk через нижнюю сторону части па- |
||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
раболоида z = x2 + y2 , вырезанной цилиндром x2 + y2 = 2 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Отв. |
2π |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Домашнее задание
1. Найти векторные линии поля F .
1.1. F = (2x + y)i + 2( y + 2z) j + (x − z)k.
Отв.
x = C1 +C2t + 4C3e |
3t |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
y = C |
2 |
− 2C |
− 2C |
t |
+ 4C |
e3t |
||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
z = C |
|
−C |
2 |
+C |
t +C |
e3t . |
|
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
||
2. Вычислить поток векторного поля F = (4x −3y)ir +(2 y −6x) rj − y2 zk через внут-
реннюю сторону боковой поверхности части цилиндра x2 + y2 = 4 , ограниченной плоскостью z = 0 , параболоидом z = x2 + y2 и расположенной в первом октанте.
(Отв. 72 - 3π)
21
3. Вычислить поток поля F = yi + zj + xk
угольника АВС, где A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2)
через нижнюю сторону плоскости тре-
.
(Отв. − 4)
4. Вычислить поток поля F = yir + xrj − z2 cos yk через внешнюю сторону части ци-
линдра x2 + y2 = 4 , лежащей в третьем октанте и ограниченной плоскостями z = 0
и x + y + z = 4 . |
|
|
|
|
80 |
||
Отв. |
|
|
|
3 |
|||
|
|
||
22
Занятие № 3 ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ. ЦИРКУЛЯЦИЯ.
РОТОР. ФОРМУЛА СТОКСА
Теоретические сведения |
|
|
|
|
|||||
Если векторное поле F = P(x, y, z)i +Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k |
дифференцируемо в не- |
||||||||
которой окрестности замкнутой области V , границей которой является гладкая |
|||||||||
или кусочно-гладкая поверхность S |
(которую считаем положительно ориентиро- |
||||||||
ванной), то справедлива формула Остроградского: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dQ |
|
|
dR |
|
|
|
∫∫Pdydz +Qdxdz + Rdxdy = ∫∫∫ |
dP |
+ |
|
+ |
dxdydz . |
(3.1) |
|||
|
|
|
|||||||
S |
|
|
dy |
|
dz |
|
|
||
V dx |
|
|
|
|
|||||
Дивергенцией векторного поля F в точке M (x, y, z) называется
divF = |
∂P |
+ |
∂Q |
+ |
∂R . |
(3.2) |
|
∂x |
∂y |
||||||
|
|
|
∂ z |
|
|||
Если divF(M )> 0 , то в точке M – источник, |
если divF(M )< 0 , то в точке |
M – |
|||||
сток, если divF(M )=0, то в точке M нет ни источника, ни стока. Поле в этом слу-
чае называется соленоидальным.
С учетом равенства (3.2) формула Остроградского примет вид:
∫∫(F nr)dS = ∫∫∫divFdV . |
(3.3) |
|
S |
V |
|
Циркуляцией векторного поля F = Pi + Qj + Rk вдоль замкнутой линии L назы-
вается криволинейный интеграл
ЦL (F )= ∫ Pdx +Qdy + Rdz , |
(3.4) |
L |
|
где обход линии L осуществляется в положительном направлении. Циркуляция имеет простой физический смысл: циркуляция – это работа силы поля вдоль кривой L , расположенной в области действия силового поля.
23