Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория поля.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

491.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

π	z	(ρcosϕ,ρsinϕ)
ПS (Fr)= ±2∫ dϕ	2	∫(x P(x, y)+ yQ(x, y)dz),	(2.5)
0	z1	(ρcosϕ,ρsinϕ)

x = ρ cosϕ
где y = ρ sinϕ – цилиндрические координаты, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ρ < ∞, −∞ < z < ∞ .

z = z
Если S – часть сферы, то
ПS (Fr)= ±ρ	ϕ	θ (ϕ)
ПS (Fr)= ±ρ	∫2dϕ	2	∫(xP(x, y, z)+ y Q(x, y, z)+ zR(x, y, z))sinθ dθ ,	(2.6)
	ϕ1	θ1	(ϕ)

x = ρ cosϕsinθ где y = ρ sinϕsinθ

z = ρ cosθ.

Примеры

1. Для плоского поля F = (5x − y)i + 2 y j найти векторные линии.

Решение. Данное поле дифференцируемо во всех точках плоскости XOY .

P(x, y)= 5x − y Q(x, y)= 2 y.

Согласно (2.2) имеем:

5x − y

2 y

Отсюда

2 ydx = (5x − y)dy

или

2 y

. Мы получили однородное уравнение, ко-

5x − y

торое решаем с помощью подстановки

y = t x

′

+t :

= t x

′

2tx

t 2 −3t

t x +t =

x =

5x −tx

−t +5

′

или

(5 −t)dt

t x +t =

5 −t

2 −3t

′

(5 −t)

t x =

−t

∫

dt = ∫

5 −t

t 2 −3t

′

2t −5t +t 2

t x =

5 −t

Разложим подынтегральную дробь:

5 −t

At −3A + Bt

t 2 −3t

t(t −3)

−3

t(t −3)

Откуда

: 5 = −3A

= −

: −1

= A + B

Следовательно,

−

∫ dx

∫

dt + ∫

dt =

−3

или

−

t −3

= ln

+ ln C

(t −3)

2 3

= ln(x C)

t5 3

(t −3)2 3

= x C ;

t = y

t5 3

−3

2 3

Следовательно, C

– семейство векторных линий.

y 5 3

2. Найти векторные линии поля F = (x − y + z) i + (x + y − z) j + (2z − y) k .

Решение. Запишем систему дифференциальных уравнений (2.1), использую дифференцирование по параметру t :

dx	= x − y + z;	dy	= x + y − z;	dz	= 2z − y .
dt		dt		dt

Найдем общее решение этой системы. Характеристическое уравнение будет иметь вид:

(1 −λ)	−1	1
(1 −λ)	−1	1
1	(−1 −λ)	−1	= 0 λ1 = 2, λ2 = λ3 =1.
0	−1	2 −λ

а) Рассмотрим λ1 = 2 :

−e		−e	2	+ e	= 0
	1		2	3
	e1 −e2 −e3 = 0
		−e2 = 0.
		−e2 = 0.
Решая систему,					находим: e1 = e3 , e2 = 0 . Следовательно, (1, 0 ,1) – собственный
вектор и

x = e2t

y = 0 . –z = e2t

частное решение системы. б) Рассмотрим λ1 =1 .

Система линейных уравнений в этом случае имеет вид:

	−e2		+ e3	= 0
e1			−e3 = 0
e1			−e3 = 0
	−e	2	+ e	= 0.
		2	3

Ранг этой системы равен 2. Корень λ =1 имеет кратность, равную 2. Поэтому решение будем искать в виде:

x =y =

z =

(a +bt) et

(c + dt) et .

(k +lt) et .

Подставив правые части последних равенств в систему дифференциальных уравнений, записанных через параметр t , после преобразований получим:

−d + l = 0 b −l = 0

2l− d = l

Приняв l = C1,

b = −c + k
d = a − k	.

l+ k = 2k −c

k = C2 , получим:

d = C1, b = C1, c = −C1 +C2 , a = C1 +C2 , l = C1, k = C2 .

Подставив эти значения в выражения для x, y, z и прибавив частное решение

(x = e2t ,	y = 0,			z = e2t ) ,			умноженное на C3 , получим общее решение системы
дифференциальных уравнений:
x	= (С		+С	2	+С t) et		+С	e2t
	1			2		1	3
y	= (−С +С				2	+С t) et
			1		2	1
z	= (С +С t) et +С e2t ,
		2		1		3
		2		1		3

определяющее параметрические уравнения семейства векторных линий поля.

3. Вычислить поток векторного поля F = x i + y j − z k через верхнюю сторону

части поверхности z = 4 − x2 − y 2 , отсеченной плоскостью z = 0 .

Решение. Поверхность z = 4 − x2 − y 2 представляет собой параболоид вращения

(рис. 2.2).	z
	4

О y

Рис. 2.2

Проекцией (G) рассматриваемой поверхности на плоскость XOY является круг радиуса 2. Так как верхняя сторона параболоида видна со стороны положительного направления оси OZ, то перед интегралом по проекции G надо взять знак плюс.

Находим нормаль nr = 2x i + 2 y j +k к нашей поверхности и скалярное произве-

дение

(Fr nr) = x 2x + y 2 y +1 (−z) = 2x2 + 2 y2 − z = 2x2 + 2 y2 − 4 + x2 + y2 = = 3x2 +3y2 − 4 = 3(x2 + y2 ) − 4.

Следовательно,

∏s (Fr) = +∫∫(3(x2 + y 2

x = ρ cosϕ

2∫πdϕ∫2

(3ρ2 − 4) ρ dρ =

− 4) dx dy =

y = ρsin ϕ

J = ρ

2π

3ρ

4ρ

2π

∫dϕ

−

∫dϕ (12 −8)

4ϕ

= 8π.

4. Вычислить поток векторного поля F = (4x −3) ir +(2 y −6x) rj − y2 z3 k через внут-

реннюю сторону боковой поверхности части цилиндра x2 + y 2= 9 , ограниченной плоскостью z = 0 , параболоидом z = x2 + y 2 и расположенной в первом октанте

(см. рис. 2.3).

Рис. 2.3

Решение. Для решения используем цилиндрические координаты:

x = ρ cosϕ

y = ρsin ϕz = z

I = ρ.

По внутренней стороне поверхности интеграл берем со знаком «минус», т.к. заданная поверхность видна с отрицательной стороны оси OY :

Пρ (Fr)= −π∫/ 2 dϕ 9∫(x(4x −3y)+ y(2 y −6x))dz = −π∫/ 2 dϕ 9∫(4x2 −12xy + 2 y2 −6xy)dz =

		0		0										0	0
= −π∫/ 2 dϕ 9∫(4 ρ2 cos2 ϕ −12ρ2 cosϕsinϕ + 2ρ2 sin 2 ϕ −6ρ2 cosϕsinϕ)dz =
0		0
= −π∫/ 2 dϕ		9∫(4ρ2 cos2 ϕ + 2ρ2 sin 2 ϕ −18ρ2 cosϕsinϕ)																dz =
0		0														ρ=3
0		0
π / 2	(4 cos2 ϕ + 2sin 2 ϕ −18cosϕsinϕ)dϕ z												9
π / 2													9
= −9 ∫													0	=
0													0
π / 2		4(1 + cos 2ϕ)
= −81 ∫						+1 −cos 2ϕ			−18 cosϕ sin ϕ dϕ =
= −81 ∫				2		+1 −cos 2ϕ			−18 cosϕ sin ϕ dϕ =
0				2
		π / 2				π / 2		π / 2		1		π / 2			cos		2	ϕ	π / 2
																	2

= −81 2ϕ				+sin 2ϕ			+ϕ		−		sin 2ϕ	+18								=
= −81 2ϕ		0		+sin 2ϕ		0	+ϕ	0	−	2	sin 2ϕ	+18			2				0	=
		0				0		0		2		0			2				0
		π				3


= −81 π	+	2	−	18	= −81		π −18 .
= −81 π	+		−	18	= −81		π −18 .
						2
5. Вычислить поток поля F = x3ir − y3 rj + 2zk														через внешнюю сторону части сфе-
ры x2 + y2 + z2 =1,					вырезанной					конической					поверхностью z = x2 + y2 (см.
рис. 2.4).

О О

Рис.2.4

Решение: Для решения используем сферические координаты

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.2025622.54 Кб0Теория поведения потребителя (институциональный анализ).pdf
#
29.11.20252.8 Mб0Теория подвижного состава городского электрического транспорта.pdf
#
29.11.202527.4 Mб0Теория подвижного состава. Тягово-скоростные свойства.pdf
#
29.11.20251.59 Mб0Теория подвижного состава. Ч. 1. Колесный движитель. Тягово-скоростные и тормозные свойства.pdf
#
29.11.2025102.85 Mб0Теория подвижного состава. Ч. 2. Криволинейное движение, устойчивость, колебания и плавность хода подвижного состава.pdf
#
29.11.2025491.1 Кб2Теория поля.pdf
#
29.11.20251.25 Mб1Теория преобразования и передачи измерительной информации.pdf
#
29.11.2025693.67 Кб2Теория рабочих процессов двигателей внутреннего сгорания.pdf
#
29.11.20251.14 Mб2Теория резания и режущий инструмент.pdf
#
29.11.20251.33 Mб1Теория резания.pdf
#
29.11.20252.42 Mб1Теория сооружений.pdf