6. Для

скалярного поля u = tg( yz) +l z ln x − z в

точке

M (1;0;2)

найти вектор-

градиент и наибольшую скорость возрастания.

Решение. Имеем, ∂u

z

∂u =

z

=

l z ln x

= 2;

= 2;

cos2 ( yz)

∂u =

z

∂x

x

M

∂y

M

+l z ln x ln x −1

= −1 .

cos2 ( yz)

∂z

M

Следовательно, gradu = (2; 2;−1)

Наибольшую скорость возрастания поля u в точке М найдем по формуле

max

∂ur =

grad u(M )

=

4 + 4 +1 = 3 .

∂l

Аудиторные задания

1. Для заданного скалярного поля u записать линии уровня.

1.1. u = x + 3y .

(Отв. c = x + 3y )

1.2. u = x + 2 y + 5z .

(Отв. c = x + 2 y + 5z )

1.3. u =

x2

+

y 2

+

z 2

.

(Отв. c =

x2

+

y2

+

z 2

)

4

5

6

4

5

6

π

r

r

r

этой точке, если: u = ln(x tg y), M 1;

,

l

= −3i

+ 2 j .

4

Отв.

y = arctg

1

,

du

=

1

,

r

x

13

dl

r

r

dur

grad u = i

+

2 j,

max

=

5.

dl

3. Пусть заданы скалярное поле u, точки M1 и M2, направление l

и угол ϕ . Оп-

u = x2 y + xz2 −2z, M

1

(1,1,−1), M

2

(2,−1,2),

l = −3ir

+ rj −4k ,

ϕ =180o.

1

du

8

du

11

Отв.

r

=

,

= −

,

dl

26

d M1M 2

14

r

r r

du

grad u = 3i

+ j − 4k ,

r

= − 26.

dl

(Отв.

y =1,5x)

б) параллелен оси OY .

2

Отв.

y =

x

3

r

r

r

M (−1, 2), l

= −3i

+ 4 j

Отв. (x + 2)2 +(y +1)2 =10

du

18

r

r

r

=

, grad u = 2i

+6 j

5

dl

dur

= 2 10

max

dl

2. Для заданного скалярного поля u определить в точке M1

производную поля

по направлению вектора M1M 2 , градиент, производную по направлению вектора

l , который образует с градиентом в точке M1 угол ϕ .

2.1.

u = xy2 z + yz2 −3z,

M1(0, 1, 2), M 2 (−2, 3, −1),

l = ir − rj + 2k ,

ϕ = 30o .

du

du

1

Отв.

r

= 0;

=

1M 2

de

r

d M

17

r

+

r

grad u = 2i

4 j

+ k ,

3

7

dur

=

2

dl1

2.2.

u =

y

x

z

M1 (1, 2, 3),

M 2 (− 2, 1, −1),

r

r

r

r

ϕ = 225o .

+

+

,

l

=

2i

− 4 j

+ 3k ,

xz

yz

xy

du

4

du

101

Отв.

r

= −

,

=

dl

3

29

d M1M 2

18

26

r

1 r

2 r

grad u = −2i −

j +

k

,

2

9

du

2786

r

= −

36

dl1

3. Вычислить производную поля u = ln(xz2 + 2 yz)в точке M (1,3, 2)

по положитель-

x =1 + cost

ному направлению окружности y = 2 +sin t .

= 2

z

1

Отв. −

4

4. Найти угол ϕ между градиентами функций u = x + yz + 2

xz

и ϑ =

x2 + y2 + z2

в точке M (2,3, 2).

9

Отв.

ϕ

= arccos

102

2. Потоком векторного поля через ориентированную поверхность S

называет-

ся поверхностный интеграл первого рода от скалярного произведения вектора F

на единичный вектор нормали nr = cosα i + cos β j + cosγ k :

Пs = ∫∫(F nr)dS =

∫∫(P cosα +Q cos β + R cosγ )dS .

(2.3)

(S )

(S )

прерывным образом.

В случае замкнутой поверхности S в качестве вектора nr

берется вектор к

внешней стороне этой поверхности, а поток записывается в виде

ПS = ∫∫(F nr)dS .

(2.4)

S

2.

r

n

r

+ S2

+... + Sn .

ПS (F )= ∑

ПSi (F ), где S = S1

i=1

Если S –

часть цилиндрической поверхности x2 + y2 = a2 , ограниченная по-

верхностями

z = z1 (x, y), z = z2 (x, y), (z1(x, y)≤z2 (x, y)), то в цилиндрических коор-