Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Основы бизнеса»
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Методическое пособие по дисциплине «Математика» для студентов специальностей
1-36 20 03 «Торговое оборудование и технологии», 1-52 04 01 «Производство экспозиционно-рекламных объектов»
Учебное электронное издание
М и н с к 2 0 1 0
УДК 517.3
Авторы:
Г.И. Лебедева, В.П. Грибкова, И.Е. Ругалева
Рецензенты:
Е.А. Федосик, доцент кафедры «Высшая математика № 1» БНТУ, кандидат физ.-мат. наук;
И.Н. Катковская, доцент кафедры «Высшая математика № 1» БНТУ кандидат физ.-мат. наук
Методическое пособие составлено в соответствии с программой курса математики для инженерных специальностей. В нем дано краткое описание теории по разделу математики «Теория поля», приведены примеры решения, даны задания для аудиторной и домашней работы. Для всех заданий даны ответы. Излагаемый материал разбит по занятиям, каждое из которых посвящено отдельной теме.
Методическое пособие будет полезным при организации практических и лабораторных занятий, а также может использоваться для самостоятельной работы студентов.
Белорусский национальный технический университет пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел.(017) 293-91-97 факс (017) 292-91-37
Регистрационный № БНТУ/ФММП51 – 11.2010
© Лебедева Г.И., Грибкова В.П., Ругалева И.Е., 2010 © БНТУ, 2010
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Занятие № 1. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ............................. |
4 |
Теоретические сведения.............................................................................................. |
4 |
Примеры........................................................................................................................ |
5 |
Аудиторные задания.................................................................................................... |
9 |
Домашнее задание...................................................................................................... |
10 |
Занятие № 2. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ........................... |
12 |
Теоретические сведения............................................................................................ |
12 |
Примеры...................................................................................................................... |
14 |
Аудиторные задания.................................................................................................. |
20 |
Домашнее задание...................................................................................................... |
21 |
Занятие № 3. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ. |
|
ЦИРКУЛЯЦИЯ. РОТОР. ФОРМУЛА СТОКСА....................................................... |
23 |
Теоретические сведения............................................................................................ |
23 |
Примеры...................................................................................................................... |
24 |
Аудиторные задания.................................................................................................. |
29 |
Домашнее задание...................................................................................................... |
30 |
Занятие № 4. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЫЧИСЛЕНИЕ |
|
ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ. ОПЕРАТОРЫ |
|
ГАМИЛЬТОНА, ЛАПЛАСА ....................................................................................... |
32 |
Теоретические сведения............................................................................................ |
32 |
Примеры...................................................................................................................... |
34 |
Аудиторные задания.................................................................................................. |
35 |
Домашнее задание...................................................................................................... |
35 |
ТЕСТЫ............................................................................................................................ |
37 |
ЛИТЕРАТУРА............................................................................................................... |
41 |
3
Занятие № 1 СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Теоретические сведения
Пространственным скалярным полем называется функция
u = u(x, y, z) , |
(1.1) |
заданная в некоторой области трехмерного евклидового пространства. Аналогично плоским скалярным полем называется функция u = u(x, y) , задан-
ная в некоторой области двумерного евклидового пространства.
Характеристики поля
1. Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня – множества точек области определения поля, в которых оно принимает постоянное значение:
u(x, y, z) = С , |
(1.2) |
где С – любое фиксированное число из области значений функции. Аналогично определяются линии уровня для плоского поля: u(x, y) = С .
2. Частные производные ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂uz характеризуют скорость изменения поля
u = u(x, y, z) по направлению координатных осей OX, OY, OZ соответственно. Точ-
ки, в которых выполнено условие ∂∂ux = ∂∂uy = ∂∂uz = 0 , называются стационарными
(иногда говорят – критическими) для поля.
Пусть lr(cosα, cos β, cos γ) – единичный вектор (α, β, γ – углы, образованные век-
тором lr с осями координат). Тогда производной по направлению lr скалярного
поля u = u(x, y, z) в точке M (x, y, z) |
называется |
|
|
||
∂u |
|
∂u |
∂u |
∂u |
|
∂lr |
= |
∂x cosα + |
∂y cos β + |
∂z cos γ . |
(1.3) |
|
|
|
|
|
4 |
Если вектор не является единичным, то следует сначала найти его направляю- |
||||||||
щие косинусы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Градиентом скалярного поля u = u(x, y, z) |
в точке М называется вектор |
|||||||
grad u = |
∂u r |
∂u r |
∂u r |
(1.4) |
||||
∂x |
i + |
∂y |
j + |
∂z |
k , |
|||
|
|
|
|
|
||||
где частные производные вычислены в точке М и i , j , k |
– единичные векторы, |
|||||||
направленные вдоль координатных осей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в качестве вектора lr взять направление градиента grad u | grad u |−1 |
||||||||
du |
= grad u . |
|
|
(1.5) |
||||
dlr |
|
|
||||||
В направлении градиента производная по направлению принимает наибольшее |
||||||||
значение, то есть в этом направлении поле имеет наибольшую скорость возраста- |
||||||||
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
|
|
|
|
||||
1. Найти линии уровня скалярного поля u = 2x + 3y . |
|
|||||||
Решение. По (1.2) имеем 2x +3y = с – это семейство прямых линий (рис. 1.1). |
||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c=1 |
|
|
|
|
|
|
|
c=0 |
|
|
|
x |
|
|
Рис. 1.1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2. Для скалярного поля u = 2x2 −4x + y2 + 2 y + z2 найти стационарные точки, по-
верхности уровня и записать уравнение поверхности уровня, проходящей через точку М(2; –1; 2).
Решение. Частные производные
∂u |
= 4x − 4, |
∂u |
= 2 y + 2, |
∂u |
= 2z |
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
одновременно обращаются в нуль в точке N (1, −1, 0) , которая является стационар-
ной.
По определению поверхности уровня имеем:
2x2 −4x + y2 + 2y + z2 = c
или
2(x −1)2 −2 +( y +1)2 −1 + z2 = c
2(x −1)2 +( y +1)2 + z2 = c +3
(x −1)2 |
+ |
( y +1)2 |
+ |
z 2 |
= c +3 |
||||
1/ 2 |
|
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
(x −1)2 |
+ |
( y +1)2 |
+ |
z 2 |
|
=1. |
|||
|
c +3 |
|
c +3 |
c + |
3 |
||||
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее уравнение при различных c > −3 определяет семейство эллипсоидов с центром в точке O(1, −1, 0) и полуосями
a = |
c +3 |
, b = c +3 , d = c +3 . |
||||||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Поверхность уровня, проходящая через точку M (2, −1, 2) , имеет уравнение |
||||||||
|
(x −1)2 |
+ |
( y +1)2 |
+ |
z 2 |
=1 , |
||
3 |
6 |
6 |
|
|||||
где с = 2 22 −4 2 +(−1)2 + 2(−1) + 22 = 3.
3. Найти производную скалярного поля u = xy + y2 − 4z в точке M (1, 2, 3) по на-
r r r
правлению вектора l = 2i +3 j −5k .
Решение. Вектор l имеет координаты (2, 3, 5) . Найдем его направляющие коси-
нусы:
6
cosα = |
|
lx |
= |
2 |
= |
2 |
= |
1 |
, cos β = |
l y |
= |
3 |
, cosγ = |
|
lz |
= |
−5 |
. |
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|||||||||
|
22 +32 +52 |
2 7 |
7 |
|
2 7 |
|
2 7 |
||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|||||
Вычислим частные производные в точке M (1, 2, 3)
∂∂ux = y M = 2 ,
∂∂uy = (x +2 y) M = 5 ,
∂∂uz = −4 .
Тогда
|
|
|
∂ur |
= 2 |
1 |
+5 |
3 |
− 4 |
−5 |
= |
2 |
+ |
15 |
+ |
20 |
= |
39 |
. |
|
|
|
|
|
|
2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∂l |
7 |
|
2 7 |
7 2 7 2 7 2 7 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4. Найти производную скалярного поля u = 4xy + y2 в точке |
|
3 |
|
эллипса |
|||||||||||||||||
|
M 1; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+ |
y 2 |
=1 по направлению внешней нормали к эллипсу в этой точке. |
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Направление l |
внешней нормали к эллипсу в точке М перпендику- |
||||||||||||||||||||
лярно к направлению вектора a касательного к эллипсу в этой точке (рис. 1.2).
y
e
1
a
α
2 x
|
|
|
|
Рис. 1.2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x2 |
|
Точка |
M 1; |
|
|
лежит на верхней части эллипса y = |
1 − |
|
. |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
7
Обозначим через ϕ угол, который образует касательный вектор ar с осью ОХ.
Тогда
tgϕ = y′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
M |
= |
|
|
|
|
− |
|
|
= − |
|
= − |
|
||
|
|
|
|
2 |
2 3 |
6 |
|||||||||
|
|
2 1 − |
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если обозначить через α угол, образованный вектором l с осью ОХ, то из ус-
ловия ортогональности l и ar получим: tgα = − |
1 |
= |
6 |
|
= 2 3 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
tgϕ |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Находим направляющие косинусы вектора l : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
cosα = |
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 +tg 2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
cos β = sinα = |
|
tgα |
|
= |
2 3 |
|
= 2 |
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +tg 2α |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Значения частных производных функции u = 4xy + y2 |
|
3 |
|
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
в точке M 1; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
= 4 y |
|
M |
= 2 |
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∂u |
= 4x + 2 y |
|
|
M |
= 4 + 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂ur |
= 2 3 |
1 |
+ (4 + |
3) |
|
2 3 |
|
= |
2 3 |
|
(5 + 3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
13 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. Найти вектор-градиент скалярного поля u = 2x + 3y . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u ; ∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. grad u = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В нашем случае
∂∂ux = 2; ∂∂uy = 3.
Следовательно, gradu = (2; 3).
8