Теория обработки металлов давлением

Перемещения, деформации и связь между ними

Металлические тела, обладая способностью сохранять сплошность, под воздействием внешних сил могут менять свою форму за счет перемещения точек тела.

Пусть в начальный момент координаты точки обозначены какX , Y , Z , а в данный момент – X1, Y1, Z1 . Тогда перемещения

по координатным осям будут U x X1 X ; U y Y1 Y ; U z Z1 Z.

Их называют компонентами перемещений.

Изменение относительного положения частиц тела, связанное с их перемещениями, называется деформацией.

Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям, определяет деформированное состояние тела и характеризует изменение его формы и размеров.

Деформацию можно описать линейным изменением. Положительным считают удлинение, отрицательным – укорочение.

Для малых деформаций (рис. 3.1)

Рис. 3.1

31

Помимо линейной существует угловая или сдвиговая деформация (рис. 3.2). Относительные деформации сдвига обозначают через с двумя индексами, указывающими координатную плоскость,

в которой происходит искажение угла. Поскольку искажение в данном случае определяется углом 90o yx , то, очевидно, можно

записать, что 90o 12 yx 12 xy .

Рис. 3.2

Отсюда следует закон парности сдвиговых деформаций

Таким образом, с учетом парности сдвиговых деформаций компонентов деформаций шесть: x , y , z , xy , yz , zx.

Связь между компонентами перемещений и деформаций определяется системой дифференциальных уравнений Коши:

32

Вплощадках, перпендикулярных одной координатной плоскости

ирасположенных под 45o к двум другим, возникают наибольшие (главные) сдвиговые деформации

В данном случае можно построить такую же диаграмму Мора, как и для напряжений (рис. 3.3).

Рис. 3.3

3.4. Инварианты тензора деформаций

Тензор деформации аналогично тензору напряжений содержит инварианты

– первый – линейный:

iI x y z 1 2 3;

– второй – квадратичный:

34

3.5. Разложение тензора деформации на составляющие

Вобщем случае тензор деформаций можно разложить

формацию), что возможно лишь при наличии упругой деформации тела. Девиатор деформации D выражает изменение формы. При

решении задач пластического деформирования долей упругой деформации обычно пренебрегают. Тогда

Это значит, что тензор деформации по существу является девиатором T D . Поэтому ось на диаграмме Мора всегда пересека-

ет фигуру диаграммы.

3.6. Октаэдрическая деформация, интенсивность деформации

Геометрически деформированное состояние характеризуется эллипсоидом деформации, устанавливающим связь между деформациями главными и в наклонных площадках.

В изотропном упрочняющемся материале, т. е. в металле, должно иметь место совпадение главных осей напряжений и главных осей деформаций, т. к. в этих условиях отсутствуют причины, при которых симметричная система одних только нормальных напряжений вызвала бы появление несимметричной деформации.

35

Используя аналогию между напряжениями и деформациями, можно записать выражение для октаэдрического сдвига

Кроме того, в теории пластических деформаций большое значение имеют положительные скалярные величины, а именно: интенсивность деформаций сдвига i и интенсивность деформаций i

(обобщенная деформация)

3.7. Однородная деформация

Однородной называется деформация, при которой главные оси имеют одинаковые направления во всех точках тела. Поэтому сдвиги в этом случае отсутствуют, а перемещения являются линейными функциями координат

При этом значения относительных деформаций во всех точках тела в данный момент времени одинаковы.

Малая деформация элементарного объема тела считается однородной. Вместе с тем однородная деформация возможна и в конечном объеме в условиях, например, линейного напряженного состояния при одноосном равномерном растяжении стержня.

Особенности однородной деформации:

–геометрически подобные и подобно расположенные элементы тела остаются таковыми и после деформации;

–параллельные прямые остаются параллельными и после деформации, а сфера, выделенная внутри тела, обращается в эллипсоид;

36

– любая плоскость тела остается плоскостью и после деформация, причем сохраняется параллельность выделенных сечений (на этом основана гипотеза плоских сечений, широко применяемая в теории ОМД).

Поскольку малая деформация элементарного объема считается однородной, в ряде случаев для упрощения решения задач деформацию принимают однородной и в конечном объеме, либо разбивают его на ряд элементарных объемов с однородной деформацией.

3.8. Схемы деформированного состояния

Они дают представление о наличии и знаке главных деформаций. Из условия несжимаемости 1 2 3 0 следует, что все три

главные деформации не могут иметь одинаковый знак. Это значит, что одна из них должна быть максимальна по абсолютной величине и равна сумме двух других с обратным знаком. Таким образом, возможны только разноименные схемы (рис. 3.4): одна плоская (II) и две объемные (I и III).

Рис. 3.4

К первой схеме относится большинство процессов ОМД (ковка, прокатка и др.). Вторая схема (плоская деформация), при которой металл течет только в двух направлениях, например, осадка поперек длинного бруса, прокатка широких листов без уширения. К третьей схеме относятся: волочение, прессование и др.

3.9.Неразрывность деформаций

Всистеме уравнений Коши (3.1) компоненты деформации определяются тремя компонентами перемещений ux , uy , uz. Поэтому

37

компоненты деформации не могут быть произвольными, а между ними должна существовать связь, которая носит название условий совместности или неразрывности деформаций. Зависимости существуют между компонентами деформаций в одной координатной плоскости и в разных плоскостях. Установим связь между составляющими деформации в одной плоскости. Для этого продифференцируем первое уравнение зависимости (3.1) дважды по Y , а второе –

дважды по X и полученные выражения сложим

Проведя подобные операции получим и для двух других плоскостей

Аналогичным образом можно выразить каждую линейную деформацию x , y , z через сдвиговые xy , yz , zx.

Уравнение совместности показывает, что сплошное тело до деформации остается таковым и после нее. С энергетической точки зрения соблюдение условий совместности соответствует принципу минимума энергии деформации, т. к. любое нарушение сплошности деформируемой среды связано с дополнительной затратой энергии на образование разрывов.

38

3.10. Характеристики деформации

Для количественной оценки величины формоизменения, а также пластичности металлов существуют математические выражения, отражающие меру остаточной деформации.

Абсолютная деформация показывает абсолютное изменение ка- кого-либо линейного или углового размера, площади сечения или поверхности выделенного участка либо всего тела

где l0 , l1 – длина образца соответственно до и после деформации.

Относительная деформация характеризует относительное изменение тех же величин

Она часто характеризует степень деформации тела, как общую величину его формоизменения. Условие постоянства объема

1 2 3 0.

Логарифмическая деформация является разновидностью относительной деформации.

Она обладает свойством аддитивности, т. е. сложения и может характеризовать суммарную деформацию тела. Поэтому ее часто называют истинной деформацией.

Пусть дано два этапа деформации (рис. 3.5)

39