Теория обработки металлов давлением

Преобразуем систему

x ax xyay xzaz 0

yxax y ay yzaz 0 .zxax zyay z az 0

Поскольку ax ay az 0, то

Развертывая определитель, после преобразований получим кубическое уравнение

3 2 x y z x y y z z x 2xy 2yz 2zx

i3 кубический инв.

x y z 2 xy yz zx x 2yz y 2xz z 2xy 0.

Это уравнение имеет три действительных корня 1, 2 , 3. Поскольку главные напряжения 1, 2 , 3 при данном напряженном

состоянии имеют единственное значение, а система координат выбрана произвольно, то i1, i2 , i3 имеют одни и те же значения неза-

висимо от выбора координатных осей, т. е. i1, i2 , i3 инварианты

к преобразованию осей и, будучи составленными из компонент тензора напряжений, являются его инвариантами. Инварианты тензора напряжений можно записать в главных напряжениях

21

i1 1 2 3;

i1 1 2 2 3 3 1;

i3 1 2 3.

Инварианты тензора напряжений характеризуют напряженное состояние независимо от выбранной системы координат.

2.9.Разложение тензора напряжений на девиаторную

ишаровую составляющие

Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров. Один из них характеризуется тремя равными между собой главными напряжениями, каждое из которых равно среднему (гидростатическому) давлению:

ср 1 2 3 . 3

Этот тензор называют шаровым, т. е. эллипсоид напряжений в этом случае обращается в шар и описывает напряженное состояние точки, подвергнутой всестороннему равномерному растяжению или сжатию (рис. 2.10).

Рис. 2.10

22

Шаровому тензору соответствует упругое изменение объема тела без изменения формы, например, при погружении металлического шара в жидкость, которая находится под давлением. Геометрическая интерпретация шарового тензора имеет две схемы.

Если вычесть из тензора напряжений шаровой тензор, получим новый тензор, называемый девиатором напряжений D .

Таким образом T T 0 D . Девиатор напряжений обусловли-

вает изменение формы тела без изменения его объема. Геометрическая интерпретация девиатора напряжений имеет три схемы

(рис. 2.11). Поскольку 1 2 3, то 1 ср 0, а 3 ср 0. Главное напряжение ср 2 ср.

Рис. 2.11

По аналогии с инвариантами тензора напряжений могут быть получены инварианты девиатора.

i1D 1 ср 2 ср 3 ср 0;

i2D 1 ср 2 ср 2 ср 3 ср 3 ср 1 ср16 1 2 2 2 3 2 3 1 2 .

23

2.10.Схемы напряженного состояния

Впрактике обработки давлением встречаются различные варианты напряженного состояния, отличающиеся направлением напряжений, а также наличием или отсутствием их по каким-либо осям. Классификация объединяет четыре объемные, три плоские и две линейные схемы напряжений (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Схемы напряжений

Схемы, имеющие напряжения одного знака (минус – сжатие, плюс – растяжение), называются одноименными, а разных знаков – разноименными. Одноименные схемы: две линейные, две плоские и две объемные, разноименные: одна плоская и две объемных.

Линейная схема растяжения с определенным допущением реализуется при одноосном растяжении тела, длина которого значительно превышает диаметр. Схема плоского состояния, например, с известным приближением может быть реализована при растяжении тонкой пластины по контуру. Схемы объемного состояния характерны для большинства процессов ОМД.

2.11.Дифференциальные уравнения равновесия

Вдеформируемом теле от точки к точке изменение напряжений является непрерывной функцией координат. Это изменение может быть описано дифференциальными уравнениями равновесия.

24

Рассмотрим в декартовой системе координат условия равновесия элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Пусть напряженное состояние в точке M (x, y, z) определяется напряжениями на трех гранях параллелепипеда, проходящих через эту точку. Переход в точку M 1 вдоль осей координат на dx, dy, dz вызовет изменение напряжений. Интенсивность этого изменения

выражается частными производными xx , yy , zz , а прираще-

ние напряжений вдоль осей будет xx dx, yy dy , zz dz. Анало-

гичным образом указанное приращение можно записать и для касательных напряжений.

25

Учитывая, что усилия, действующие на каждой грани, равны произведению напряжений на площади соответствующих граней, запишем условия равновесия суммы всех сил вдоль осей координат.

y 0;

z 0.

После преобразований получим дифференциальные уравнения равновесия.

Эти условия обязательны для всех точек деформируемого тела. Три уравнения содержат шесть неизвестных с учетом парности касательных напряжений, и задача является статически неопределимой. Для ее решения нужны дополнительные уравнения.

Однако в ряде случаев прибегают к упрощениям, сводя объемную задачу к плоской либо осесимметричной.

Для плоского напряженного состояния все производные по y равны нулю, значит y 0, yx 0, yz 0 и получаем систему из

двух уравнений с тремя неизвестными

26

Добавив, например, уравнение пластичности система становится разрешимой.

Осесимметричное напряженное состояние характерно для тел вращения, к поверхности которых приложены нагрузки, расположенные симметрично относительно его оси, и одинаковые во всех меридиональных сечениях (например, при осадке цилиндра, волочении или прессовании круглого прутка или трубы и т. д.).

В этом случае удобнее пользоваться цилиндрической системой координат вместо декартовой (рис. 2.14). Здесь положение точки определяется радиусом-вектором , полярным углом и осевой

координатой z .

Рис. 2.14

Тензор напряжений в цилиндрических координатах

z

27

Из условия равновесия

0;z 0.

Записав сумму проекций сил по направлениям и z , после преобразований получим

29

3.ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

3.1.Перемещения и деформации, уравнения Коши

Теория деформации исследует процесс формоизменения тела, причем основывается такое исследование на малых деформациях. Это позволяет рассматривать процесс в каждый данный момент времени. В процессе деформирования каждая точка тела смещается от своего первоначального положения, что в целом характеризует движение сплошной среды. Существуют два подхода при изучении движения сплошной среды.

Переменные Лагранжа

В данном случае объектом изучения являются материальные частицы самой среды. В качестве переменных при этом принимают декартовые координаты X , Y , Z произвольной материальной час-

ными Лагранжа.

Переменные Эйлера

В этом случае в качестве объекта изучения принимают неподвижное пространство наблюдателя или его фиксированную часть, заполненную движущейся средой. Различные величины, характеризующие при этом движение, считаются функциями точки и времени, т. е. функциями трех аргументов X , Y , Z и времени t, называе-

мых переменными Эйлера.

С точки зрения Лагранжа нас интересуют законы изменения давления, скорости, температуры и др. величин для данной индивидуальной частицы, а с точки зрения Эйлера – изменение этих величин в данной точке пространства. От переменных Лагранжа можно перейти к переменным Эйлера и наоборот. В дальнейшем мы будем пользоваться переменными Лагранжа.

30