Теория напряженного и деформированного состояния с примерами и задачами

Отсюда:

h = 100 м м .

Задача6

В растянутом стержне нормальные напряжения по одной из наклон­ ных площадок равны а х = 90 МПа, а касательные т х у = 75,5 MI 1а.

Определить угол наклона площадки к оси стержня, а также наи­ большие нормальные и касательные напряжения в нем.

Решение.

40

ЗАДАЧА 7

Вычислить силу Р, растягивающую стержень, если известны нормальные напряжения сгх = 20 МПа и а у = 60 МПа в двух вза­ имно перпендикулярных площадках. Определить углы, образующие этими площадками с осью стержня.

Решение.

Необходимым условием плоского напряженного состояния явля­ ется равенство нулю третьего инварианта тензора напряжений: 1з = 0 . Это означает, что при плоском напряженном состоянии, ес­ ли оно задано в главных осях, одно из главных нормальных напря­ жений равно нулю. Принимая для главных нормальных напряжений соотношение (10) и учитывая, что одно из них равно нулю, будем

41

рассматривать следующие варианты плоского напряженного со­ стояния (рис. 19):

Рис. 19

При плоском напряженном состоянии в неглавных осях одно из нормальных напряжений равно нулю. В этом случае и касатель­ ные напряжения, куда входит индекс данного нормального напря­ жения, также обращаются в нуль. Например, если a z = 0 , то

Т =

[ х х у а у _

Рис. 20

42

Рассмотрим три задачи для плоского напряженного состояния и выведем формулы, позволяющие определять напряжения в различ­ ных секущих площадках, проходящих через точку.

Рис. 21

43

Мысленно отсечем верхнюю часть элемента (рис. 21, б) и рас­ смотрим равновесие отсеченной части. Площади рассматриваемой площадки dF и граней треугольника связаньг между собой соотно­ шением

Так как элемент бесконечно мал, то предполагается, что площад­ ки пересекаются в точке (рис. 21, в). При составлении уравнений равновесия следует помнить, что уравнения составляются не для напряжений, а для сил. Поэтому каждое действующее напряжение следует умножать на площадку его действия:

£ X j = 0 : CTx l dF + x x y d F x sin a + x y x d F y c o s a - a x d F x - a y d F y = 0 ;

]Г Yj = 0 : - x x l y i d F - XyxdFy s i n a - cry dFy c o s a + x x y d F x c o s a - - crx dFx s i n a = 0.

Подставляем сюда значения (44) и рассматривая аналогичным образом площадку с нормалью Yj, ортогональную к вышеописан­ ной и наклоненную к площадке X под углом (3 = (90° - а ) , после

преобразования получаем окончательно формулы для определения напряжений в точке при повороте координатных площадок:

(45)

x

Таким образом, если известны напряжения в двух взаимно пер­ пендикулярных площадках, проходящих через точку, мы считаем, напряженное состояние в точке определено полностью, так как ис­ пользуя формулы (45), можно определить напряжения в любых других секущих площадках, проходящих через точку. Рассматривая плоское напряженное состояние как частный случай объемного на-

44

пряженного состояния, формулы (45) могли бы быть получены из формул (4)-(8), полагая, что a z = 0, t y z = г и = 0, а Р = (90° - а ) .

2.2.2. Определение напряжений по зада напряжениям. Прямая задача

Для решения данной задачи используем формулы (45), позво­ ляющие определять напряжения при повороте координатных осей. Только в качестве заданных теперь будем считать главные площад­ ки, в которых действуют главные нормальные напряжения aj и a 2 , а т = 0. Тогда согласно (45) в координатных площадках X-Y напря­ жения будут равны

t Y V = — — — s i n 2 a .

ху 2

Рассматривая плоское напряженное состояние как частный слу­ чай объемного напряженного состояния, формулы (46) можно было

бы получить из формул (11)—(14), принимая а 3 = 0 , а р = (90° - а ) .

45

2.2.3. Определение положения главных площадок и главных нормальных напряжений. Обратная задача

Как было сказано ранее, среди всех напряжений, действующих в точке, главные нормальные напряжения принимают наибольшие значения, т.е. обладают свойством экстремальности. Поэтому имен­ но данная задача по определению величины и направления дейст­ вия главных нормальных напряжений представляет наибольший интерес с точки зрения прочности элемента.

Так как главные площадки являются площадками, повернутыми по отношению к исходной системе координат X-Y, то для опреде­ ления их положения используем формулы (45), зная, что в главных площадках касательные напряжения равны нулю:

Отсюда после преобразования получаем формулу для определе­

тельно исходной системы координат X-Y - при расчете его по фор­ муле (47) может принимать как положительное, так и отрицательное значение, что зависит от величины и знака напряжений а х , а у , т х у .

46

Поэтому, при определении положения главных площадок будем придерживаться следующих правил (рис. 22):

la..

преобразования получаем формулу для определения главных нор­ мальных напряжений в данной точке:

min

где индекс главным напряжениям назначается в зависимости от полученного знака и числового значения, как это показано на рис. 19 а, б, в.

По граням квадратной пластины, показанной на рисунке, дейст­ вуют напряжения, равные: о - х = 5 0 М П а , а у = - 3 0 М П а ,

т х у = 20 МПа. Определить напряжения в площадке, расположен­ ной под углом а = 60° к направлению а х , а также к ней ортого­ нальной.

Решение.

Указываем на рисунке заданные площадки. Следует иметь вви­ ду, что при определении положения площадок угол а всегда от-

47

кладывают от алгебраически большего нормального напряже­ ния. При этом угол, отложенный по часовой стрелке, считается отрицательным и в расчеты под­ ставляется со знаком «минус». И наоборот. Следует также учиты­ вать и знак касательных напря­ жений, для которых правило зна­ ков, было рассмотрено выше.

Определяем напряжения по формулам (45):

+ 20cos2( - 60°) = - 44,6 МПа .

Задача 9

По граням ас и cb треугольного элемента действуют одинаковые сжимающие нормальные напряжения crx = а у = - 5 0 М П а , а также

касательные напряжения х х у . Нормальные напряжения на грани аЬ,

расположенной под углом a = 45° к направлению сгх , равны нулю.

48

Определить касательные напряжения в гранях ас и cb, а также ве­ личину и направление действия главных нормальных напряжений.

к нулю:

Положение главных площадок определим по формуле (47):

откуда a = 45°.

Следовательно, как видно из рис., грань ab и ей перпендикуляр­ ная cb, являются главными площадками. Величину главных нор­ мальных напряжений определяем по формуле (48):

1 (ст+ст)±Х-ст)2+4т2

х у х у ху

mm

( - 50 - 50) ± V(- 50 - ( - 50))2 + 4 • 5 0 2 100 + 100 МПа,

49