Теория и проектирование гидропневмоприводов. В 6 ч. Ч. 2. Следящие гидро- и пневмоприводы с дроссельным управлением

связи kос . Рабочее смещение золотника относительно втулки вычисляется по выражению

hр kос kсп у.

Используя оптимальное значение эффективной площади Аэ про-

ходного сечения рабочей площади распределителя при основном режиме работы следящего привода, диаметр золотника dз опреде-

ляют по выражению

где п – коэффициент использования периметра золотника.

У распределительной втулки с кольцевыми внутренними расточками п 1. У втулки с окнами прямоугольной и ступенчатой

формы п 0,48.

При расчете величины dз коэффициент расхода для гидрораспределителей принимают равным 0,6–0,8. Полученное значение dз

округляют по ГОСТ до нормального диаметра. Диаметр шейки золотника определяется по соотношению

dш 25 23 dз.

5.УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СЛЕДЯЩЕГО ГИДРОПРИВОДА

СДРОССЕЛЬНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

Динамический расчет следящего гидропривода проводится с целью оценки устойчивости и качества переходного процесса. Гидравлические приводы представляют собой нелинейные системы управления, переходные процессы в которых описываются системой линейных и нелинейных уравнений. Нелинейность уравнений обусловлена нелинейностью внешней нагрузки, нелинейностью расходно-перепад-

60

ной характеристики гидрораспределителя, нелинейными потерями давления в магистралях, силами трения, зазорами.

Для составления математической модели следящего привода реальный привод заменяется динамической схемой. Сложность динамической схемы и, следовательно, математической модели будет зависеть от принятых при ее разработке допущений. Реальная рабочая жидкость с распределенными параметрами заменяется приближенной моделью с сосредоточенными параметрами. Сжимаемость жидкости рассматривается в полости гидродвигателя, а масса жидкости в трубопроводах приводится к выходному звену привода.

Принципиальная и динамическая схемы следящего гидропривода с дроссельным управлением приведены на рис. 5.1, а и б. Динамическая схема имеет две гидравлические цепи: цепь напорной и цепь сливной магистрали.

На динамической схеме обозначены: Y1 Y6 – узлы гидроцепей;

m1 и m2 – приведенные массы жидкости в гидроцепях; Aп – площадь поршня двухштокового гидроцилиндра;

x1 и x2 – координаты перемещения жидкости в магистралях; y – перемещение поршня гидроцилиндра;

pз – коэффициент податливости рабочей жидкости;

R1 и R2 – эквивалентное гидравлическое сопротивление трубопроводов, имеющих площади проходного сечения Aт1 и Ат2 , длину

lт1 и lт2 ;

Fн – нагрузка;

рmax – давление жидкости перед распределителем (давление на-

стройки предохранительного клапана);

pi – давление рабочей жидкости в узлах; h t – перемещение золотника;

xз – закон изменения величины щели дросселирующего гидрораспределителя (смещение золотника относительно втулки);

x t – входной сигнал в привод (перемещение, давление).

61

Fн

Рис. 5.1. Принципиальная (а) и динамическая (б) схемы следящего привода с дроссельным управлением

При рассмотрении динамических процессов и составлении математической модели привода приняты следующие допущения: свойства жидкости, её плотность, вязкость, количество нерастворенного в ней воздуха не изменяются во время переходного процесса, жидкость является однородной и её кавитация и утечки исключаются,

62

нестационарность потока жидкости не оказывает влияния на величину потерь давления.

Дифференциальное уравнение движения поршня гидроцилиндра записывается в виде

где mп – масса подвижных частей, приведенная к поршню;

kтр – коэффициент вязкого трения поршня о стенки цилиндра; Fтр – сила сухого трения.

В большинстве случаев силы трения пренебрежимо малы по сравнению с другими действующими силами, и поэтому уравнение (5.1) можно записать в виде

В расчетах принимаются различные характеристики объекта управления Fн в зависимости от мобильной и технологической ма-

шины. В дальнейшем будем использовать характеристику вида

где Cп – жесткость эквивалентной пружины (позиционнойнагрузки); C0 – постоянная нагрузка.

Уравнение баланса давлений для участка гидравлической цепи записывается в виде

p j pl pм pвых рвх ,

где рj – инерционные потери давления; рl – потери по длине магистрали;

63

рм – местные потери давления.

рвх и рвых – давление жидкости на входе и выходе участка гид-

роцепи.

Указанные потери давления определяются по выражениям

где – плотность рабочей жидкости; lт – длина трубопровода;

– средняя скорость по сечению потока жидкости;

– кинематическая вязкость жидкости;

Aт – площадь проходного сечения трубопровода;

k – коэффициент, зависящий от относительной шероховатости

трубопровода;– коэффициент местного сопротивления;

sgn – функция знака.

Запишем уравнение баланса давлений для участка гидравлической цепи между узлами Y2 и Y3 напорной магистрали, используя

выражения (5.4) и 1 dx1 dt. Получим дифференциальное уравнение движения жидкости в напорной магистрали

где

a11 lт1;

a21 27,5 lт1 / Aт1;

a31 0,5 0,443k lт1 / Aт1 .

64

Аналогичным образом получим дифференциальное уравнение движения жидкости на участке между узлами Y4 и Y5 в сливной ма-

гистрали:

где

a21 lт2 ;

a22 27,5 lт2 / Aт2 ;

a32 0,5 0,443k lт2 / Aт2 .

Уравнение баланса мгновенных объемных расходов в каждом i-м узле Yi записывается в виде

Qi1 Qi2 Qiд 0,

где i – номер узла;

Qi1 и Qi2 – расход жидкости соответственно на входе и выходе

из i-го узла;

Qiд – расход, затрачиваемый на деформацию сосредоточенного в узле объема жидкости Vi и определяемый по выражению

Qiд Vi pi dpi dt .

Коэффициент податливости рабочей жидкости pi определяется по выражению

pi 1 Ea0 ap pi ,

65

где Ea0 – базовый адиабатический модуль объемной упругости ра-

бочей жидкости;

ap – коэффициент, учитывающий влияние давления на модуль

объемной упругости жидкости.

Для определения давлений p2 и p5 запишем уравнения расходов для узлов Y2 и Y5:

Эти объемные расходы определяются по выражениям

где – коэффициент расхода гидрораспределителя;

dз – диаметр золотника дросселирующего распределителя. Смещение золотника хз относительно втулки (величина щели

дросселирующего распределителя) представляет собой разность между перемещением золотника

h t kвx t

и перемещением корпуса (втулки) распределителя, обусловленного действием отрицательной обратной связи штока поршня с втулкой распределителя, т. е.

xз kвx kосy,

где kв – передаточный коэффициент входноймеханическойпередачи; kос – передаточный коэффициент отрицательной обратной связи.

66

Из уравнений расходов для узлов Y2 и Y5 получим

p5 a24 xз2 dx2 dt 2 ,

где

a41 Aт21 2 пdз 2 ;

a42 Aт22 2 пdз 2 .

Чтобы установить связь между переменными x2 и y, воспользуемся уравнением расходов для узлаY4 :

Q41 Q42 ,

где

Q41 Aт2 dx2 dt ;

Q42 Aп dуdt ,

откуда можно получить соотношения

dx2 dt В2 dуdt ;

d2 x2 dt2 В2 d2 уdt2 ,

где B2 Aп Aт2 .

67

С учетом последних соотношений выражение для давления р5 принимает вид

p5 a42 xз2 В22 dуdt 2

и уравнение движения жидкости на участке Y4 Y5 записывается в виде

a21B2 d2 ydt2 a22 B2 dydt a23 a42 xз2 B22 dydt p4. (5.7)

Решаем уравнение (5.7) совместно с уравнением движения поршня гидроцилиндра (5.2) с учетом выражения (5.3). После преобразования уравнение движения поршня записывается в виде

d2 уdt2 B21 dydt B22 B32 xз2 dydt 2 sgn dydt

(5.8)

гидроцилиндре);

Q3д – расход, затрачиваемый на объемную деформацию жидкости, сосредоточенной в узле Y3 .

68

Указанные составляющие баланса расходов определяются по выражениям

Q31 Q22 Aт1 dx1 dt ;

Q32 Aп dуdt ; Q3д V3 p3 dp3 dt .

Объем жидкости V3 , сосредоточенный в узле Y3 , равен сумме

объема жидкости, заполняющей трубопровод, и переменного объема жидкости в гидроцилиндре:

V3 Aт1lт1 Aп ymin y ,

где ymin – расстояние между крышкой цилиндра и поршнем в начальном положении.

p3 1 Ea0 ap p3 .

Тогда уравнение баланса объемных расходов для узла Y3 принимает вид

Aт1 dx1 dt Aп dydt Aпlт1 Aп ymin yEa0 ap p3 dp3 dt 0.

Далее преобразуем уравнение движения жидкости в трубопроводе на участке Y2 Y3 (5.5), подставив в него выражение (5.6) для дав-

ления p2 , и выразим старшую производную:

69