Теория вероятностей, элементы математической статистики и Марковских процессов
.pdf
|
0, 4 |
0, 2 |
0, 4 |
|
P |
0,1 |
0,8 |
0,1 |
, 0 (0, 5; 0, 5; 0) . |
|
0,1 |
0, 2 |
0, 7 |
|
Требуется: 1) построить граф состояний системы; 2) найти вектор
2распределения вероятностей p состояний системы через 2 шага;
3)найти финальные вероятности.
Решение. 1) Система может находиться в одном из трех состоя-
ний: S1, S2 , S3 , при этом элемент |
pij матрицы P задает вероятность |
||||||||
перехода из состояния Si |
в S j |
за один шаг. Поэтому граф состояний |
|||||||
системы имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,1 |
|
|
S1 |
|
0,1 |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0,2 |
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
0,1 |
|
|
S3 |
|||
0,8 |
|
|
0,2 |
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) Вектор 2 распределения вероятностей состояний системы через 2
шага находится по формуле (6.2): |
2 |
0 |
P2 . Применяя правило |
|||
умножения матриц, получим: |
|
|
|
|
|
|
0, 4 |
0, 2 |
0, 4 |
|
0, 4 |
0, 2 |
0, 4 |
2 = 0, 5; 0, 5; 0 0,1 |
0,8 |
0,1 |
|
0,1 |
0,8 |
0,1 |
0,1 |
0, 2 |
0, 7 |
|
0,1 |
0, 2 |
0, 7 |
|
0, 4 |
0, 2 |
0, 4 |
|
0, 25; 0,5; 0, 25 |
0,1 |
0,8 |
0,1 |
0,175; 0,5; 0,325 . |
|
0,1 |
0, 2 |
0, 7 |
|
3) Для нахождения финальных вероятностей ( p1, p2 , p3 ) решим систему уравнений (6.3)
61
( p1, p2 , |
pn ) (P |
E) |
(0, 0, |
0) ; |
|
|
|
|
0, 4 |
0, 2 |
0, 4 |
1 |
0 |
0 |
|
p1; p2 ; p3 |
0,1 |
0,8 |
0,1 |
0 |
1 |
0 |
0; 0; 0 ; |
|
0,1 |
0, 2 |
0, 7 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0, 6 |
0, 2 |
0, 4 |
|
( p1, |
p2 , |
pn ) |
0,1 |
0, 2 |
0,1 |
(0, 0, 0) . |
|
|
|
0,1 |
0, 2 |
0,3 |
|
Умножая матрицы, получим систему |
|
|||||
0, 6 p1 |
0,1p2 |
0,1p3 |
0; |
|
|
|
0, 2 p1 0, 2 p2 |
0, 2 p3 |
0; |
|
|
||
0, 4 p1 |
0,1p2 |
0,3 p3 |
0. |
|
|
|
При |
этом |
необходимо |
учесть |
дополнительное условие |
||
p1 |
p2 |
p3 1. |
|
|
|
|
Отбросим третье уравнение, т. к. оно является следствием двух первых (сумма двух первых уравнений дает третье). Получим систему
0, 6 p1 |
0,1p2 |
0,1p3 |
0; |
0, 2 p1 |
0, 2 p2 |
0, 2 p3 |
0; |
p1 |
p2 |
p3 1. |
|
Умножая первое уравнение на -10, а второе на 5, получим:
6 p1 p2 p3 0; p1 p2 p3 0; p1 p2 p3 1.
Решим систему по правилу Крамера, получим:
62
|
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
||
p |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
; p |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
7 |
; p |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
5 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
6 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
14 |
|
6 |
1 |
1 |
14 |
3 |
6 |
1 |
1 |
14 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
Поэтому вектор финальных вероятностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ф |
|
2 |
; |
|
7 |
; |
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14 |
14 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Заданы |
|
матрица |
P |
( p ) j |
1,2,3 |
вероятностного |
перехода |
цепи |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
i |
1,2,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Маркова и вектор |
0 |
начального распределения вероятностей. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Требуется: 1) построить граф состояний системы; 2) найти вектор 2 распределения вероятностей p состояний системы через 2 шага; 3) найти финальные вероятности.
Варианты
|
0,1 |
0,1 |
0,8 |
|
1. P 0, 7 |
0,1 |
0, 2 |
, |
|
|
0,1 |
0, 4 |
0,5 |
|
|
0, 2 |
0, 6 |
0, 2 |
|
2. P |
0,1 |
0, 6 |
0,3 |
, |
|
0, 6 |
0, 2 |
0, 2 |
|
0
0
(0, 3; 0, 2; 0, 5) .
(0, 6; 0, 4; 0 ) .
63
|
|
0, 6 |
0, 2 |
0, 2 |
|
|
3. |
P |
0,1 |
0,5 |
0, 4 |
, |
0 |
|
|
0,1 |
0, 4 |
0,5 |
|
|
|
|
0, 6 |
0, 2 |
0, 2 |
|
|
4. |
P |
0,1 |
0, 7 |
0, 2 |
, |
0 |
|
|
0,1 |
0,1 |
0,8 |
|
|
|
|
0, 2 |
0, 2 |
0, 6 |
|
|
5. P 0, 6 0, 2 0, 2 , |
0 |
|||||
|
|
0,1 |
0,3 |
0, 6 |
|
|
|
|
0,5 |
0, 4 |
0,1 |
|
|
6. |
P |
0, 4 |
0,5 |
0,1 |
, |
0 |
|
|
0, 2 |
0, 2 |
0, 6 |
|
|
|
|
0, 4 |
0,1 |
0,5 |
|
|
7. |
P |
0, 4 |
0,3 |
0,3 |
, |
0 |
|
|
0,1 |
0,3 |
0, 6 |
|
|
|
|
0, 4 |
0, 4 |
0, 2 |
|
|
8. |
P |
0, 2 |
0,3 |
0,5 |
, |
0 |
|
|
0,1 |
0,5 |
0, 4 |
|
|
|
|
0,3 |
0,1 |
0, 6 |
|
|
9. |
P |
0,5 |
0,1 |
0, 4 |
, |
0 |
|
|
0,1 |
0, 4 |
0,5 |
|
|
0,3 |
0, 2 |
0,5 |
|
10. P 0, 4 |
0, 4 |
0, 2 |
, 0 |
0,5 |
0,1 |
0, 4 |
|
(0; 0,5; 0,5) .
(0, 4; 0; 0, 6 ) .
(0, 3; 0, 2; 0, 5) .
(0; 0, 6; 0, 4 ) .
(0, 2; 0, 3; 0, 5) .
(0,5; 0; 0,5) .
(0; 0,5; 0,5) .
(0, 6; 0, 4; 0 ) .
64
|
|
0,5 |
0,3 |
0, 2 |
|
11. |
P |
0,3 |
0,1 |
0, 6 |
, |
|
|
0,1 |
0,3 |
0, 6 |
|
|
|
0,8 |
0,1 |
0,1 |
|
12. |
P |
0, 2 |
0,3 |
0,5 |
, |
|
|
0, 2 |
0,1 |
0, 7 |
|
|
|
0,3 |
0, 6 |
0,1 |
|
13. |
P |
0,1 |
0,5 |
0, 4 |
, |
|
|
0,5 |
0, 4 |
0,1 |
|
|
|
0, 4 |
0, 4 |
0, 2 |
|
14. |
P |
0, 2 |
0, 2 |
0, 6 |
, |
|
|
0,1 |
0, 6 |
0,3 |
|
|
|
0,1 |
0, 2 |
0, 7 |
|
15. |
P |
0,5 |
0, 4 |
0,1 |
, |
|
|
0, 2 |
0, 2 |
0, 6 |
|
|
|
0,3 |
0, 6 |
0,1 |
|
16. |
P |
0, 6 |
0, 2 |
0, 2 |
, |
|
|
0, 2 |
0, 4 |
0, 4 |
|
|
|
0,5 |
0, 4 |
0,1 |
|
17. |
P |
0, 2 |
0,1 |
0, 7 |
, |
|
|
0,8 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
0, 4 |
0, 2 |
0, 4 |
|
18. |
P |
0,1 |
0, 4 |
0,5 |
, |
|
|
0, 2 |
0,5 |
0,3 |
|
0
0
0
0
0
0
0
0
(0, 4; 0, 6; 0) .
(0; 0,5; 0,5) .
(0, 5; 0, 2; 0, 3) .
(0; 0, 4; 0, 6 ) .
(0, 4; 0; 0, 6) .
(0, 3; 0, 5; 0, 2 ) .
(0,5; 0; 0,5) .
(0; 0,5; 0,5) .
65
|
|
0,5 |
0,1 |
0, 4 |
|
19. |
P |
0, 2 |
0, 6 |
0, 2 |
, |
|
|
0, 4 |
0,1 |
0,5 |
|
|
|
0, 2 |
0, 7 |
0,1 |
|
20. |
P 0, 6 |
0,1 |
0, 2 |
, |
|
|
|
0,1 |
0,1 |
0,8 |
|
|
|
0, 7 |
0, 2 |
0,1 |
|
21. |
P |
0,3 |
0, 6 |
0,1 |
, |
|
|
0,3 |
0, 2 |
0,5 |
|
|
|
0,8 |
0,1 |
0,1 |
|
22. |
P |
0, 2 |
0, 7 |
0,1 |
, |
|
|
0, 2 |
0,1 |
0, 7 |
|
|
|
0, 6 |
0,3 |
0,1 |
|
23. |
P |
0, 2 |
0, 7 |
0,1 |
, |
|
|
0, 2 |
0,3 |
0,5 |
|
|
|
0, 6 |
0, 2 |
0, 2 |
|
24. |
P |
0,1 |
0,8 |
0,1 |
, |
|
|
0,1 |
0, 2 |
0, 7 |
|
|
|
0, 7 |
0, 2 |
0,1 |
|
25. |
P |
0,1 |
0,8 |
0,1 |
, |
|
|
0,1 |
0, 2 |
0, 7 |
|
|
|
0,3 |
0, 2 |
0,5 |
|
26. |
P |
0,1 |
0,8 |
0,1 |
, |
|
|
0,1 |
0, 2 |
0, 7 |
|
0
0
0
0
0
0
0
0
(0,5; 0,5; 0 ) .
(0, 6; 0, 4; 0 ) .
(0,5; 0; 0,5) .
(0; 0, 5; 0, 5 ) .
(0, 2; 0, 3; 0, 5) .
(0; 0, 5; 0, 5 ) .
(0, 2; 0, 5; 0, 3 ) .
(0, 5; 0, 5; 0 ) .
66
|
|
0,8 |
0,1 |
0,1 |
|
27. |
P |
0, 2 |
0, 7 |
0,1 |
, |
|
|
0, 2 |
0, 2 |
0, 6 |
|
|
|
0,5 |
0, 2 |
0,3 |
|
28. |
P |
0,1 |
0, 6 |
0,3 |
, |
|
|
0,1 |
0, 2 |
0, 7 |
|
|
|
0, 7 |
0,1 |
0, 2 |
|
29. |
P |
0, 2 |
0, 6 |
0, 2 |
, |
|
|
0,1 |
0,1 |
0,8 |
|
|
|
0, 7 |
0,1 |
0, 2 |
|
30. |
P |
0,5 |
0,3 |
0, 2 |
, |
|
|
0,1 |
0,1 |
0,8 |
|
0
0
0
0
(0, 5; 0, 2; 0, 3) .
(0, 5; 0, 5; 0 ) .
(0, 5; 0, 5; 0 ) .
(0, 5; 0, 5; 0 ) .
Тема 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
1. Классификация систем массового обслуживания, их основные характеристики.
2. Входящий и выходящий поток требований.
3.Процесс «гибели и размножения».
4.Система массового обслуживания (СМО) с параллельными обслуживающими устройствами и ограниченной очередью.
5.СМО с отказами.
6.СМО с неограниченной очередью для ожидания.
7.Замкнутые СМО.
Теория массового обслуживания изучает зависимость между характером потока заявок (требований), числом каналов (единицы обслуживания), их производительностью, правилами работы систем массового обслуживания (СМО) и эффективностью обслуживания.
В СМО происходит случайный процесс, что обусловлено случайным характером потока заявок и временем их обслуживания. Будем
67
считать, что все потоки событий (потоки заявок, потоки обслуживания заявок и т. д.), переводящие СМО из состояния в состояние, являются пуассоновскими (тогда процесс, протекающий в системе, является Марковским) и интервал времени Т между поступлениями требований в СМО в этом потоке есть случайная величина, распре-
деленная по показательному закону f (t) |
e t , t 0 ; |
– интен- |
сивность потока событий. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени Tобс. , распределенного по показательному
закону f (t) |
e t , t 0 ; |
– интенсивность обслуживания заявок. |
При вычислении основных характеристик эффективности обслуживания СМО основываются на том, что Марковский процесс, протекающий в них, является частным случаем процесса «гибели и размножения», т. е. граф состояний имеет вид
12 |
23 |
|
… n-2,n-1 |
|
n-1,n |
|||
S1 |
|
S2 |
|
S3 |
|
Sn-1 |
|
Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
32 |
|
n-1,n-2 |
|
n,n-1 |
|||
Так как режим является установившимся, то дифференциальные уравнения Колмогорова для этого процесса имеют вид:
|
12 p1 |
21 p2 ; |
|
|
|
23 p2 |
32 p3 |
; |
(7.1) |
|
n 1,n pn 1 |
n,n 1 pn ; |
||
|
|
|||
|
p1 p2 ... |
pn |
1, |
|
где pi |
– предельная вероятность состояния Si системы; |
|
||
ij |
– интенсивность потока событий, переводящего систему из со- |
|||
стояния Si в состояние S j . |
|
|
|
|
При решении системы получаем, что предельная вероятность состояния Sk системы выражается через p1 :
68
|
|
|
k |
1,k |
k 2,k |
1 ... |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p |
|
|
|
p , k |
2, n . |
(7.2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
k 1,k 2 ... |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
k,k 1 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из уравнения p1 |
p2 |
... |
pn |
1 находим p1 : |
|
|
|
|
|||||||||||
p1 = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(7.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||||
|
1 |
|
12 |
|
23 |
12 |
|
... |
|
|
n 1,n |
12 |
|
|
|||||
|
|
21 |
|
32 |
21 |
|
|
|
n,n 1 |
... |
21 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вкачестве примера вычислим характеристики одноканальной СМО
сотказами.
Пример 7.1. Трехканальная СМО с отказами представляет собой АТС с тремя телефонными линиями. Заявка-вызов, пришедший в момент, когда все три линии заняты, получает отказ (соединения не про-
исходит). Интенсивность потока вызовов |
0,8 в минуту. Средняя |
||
|
|
|
|
продолжительность разговора равна tобс |
1, 5 минут. Найти вероят- |
||
ности состояний, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность отказа и среднее число занятых и простаивающих каналов.
Решение. Интенсивность обслуживания одной линией (среднее число разговоров, обслуженных одной линией за единицу времени) равна
1 |
0, 667 . |
|
|
||
t0 |
||
|
Приведенная интенсивность потока заявок
0,8 |
1, 2 . |
|
|
||
0, 667 |
||
|
Используя дифференциальные уравнения Колмогорова получаем:
p1 |
|
|
p0 |
1, 2 p0 ; |
||
1! |
||||||
|
2 |
|
|
|||
p2 |
|
|
|
p0 |
0, 72 p0 ; |
|
2! |
||||||
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|||
p3 |
|
|
|
p0 |
0, 288 p0 . |
|
3! |
||||||
|
|
|
||||
69
|
|
|
|
p0 |
|
|
|
|
1 |
|
0, 312 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
1, 2 |
0, 72 |
0, 288 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
p1 |
1, 2 0,312 |
0,374; |
|
|
||||
|
|
|
|
p2 |
0,72 0,312 |
0, 224; p3 |
0, 288 0,312 0,090. |
|||||
Вероятность отказа |
pотк |
|
p3 |
0, 090 . |
|
|||||||
Относительная и абсолютная пропускные способности равны |
||||||||||||
|
q |
1 p3 |
0, 910; A |
q |
0,8 0, 910 |
0, 728 . |
||||||
Среднее число занятых каналов |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k |
(1 |
p3 ) |
1, 2 |
0,91 |
1, 09 . |
|
|
||||
Таким образом, в установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято чуть больше одного канала, остальные будут простаивать. Этой ценой достигается относительно высокий уровень эффективности обслуживания – около 91% поступивших вызовов будет обслужено.
Задание 8
Варианты
1. Погода на некотором острове через длительные периоды времени становится то дождливой, то сухой. Вероятности ежедневных изменений заданы матрицей
P |
0,7 |
0,3 . |
|
0, 4 |
0,6 |
Построить граф, соответствующий этой матрице. Если в среду погода дождливая, то какова вероятность, что она будет дождливой в ближайшую пятницу?
2. Двухканальная СМО с отказами представляет одну телефонную линию. Заявка-вызов, пришедший в момент, когда линия занята, по-
лучает отказ. Интенсивность потока вызовов |
0,8 (вызовов в ми- |
|
нуту). Средняя продолжительность разговора t |
1,5 мин. Все потоки |
|
событий простейшие. Определить предельные (при t |
) значения: |
|
1) относительную пропускную способность q; |
|
|
70