Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей, элементы математической статистики и Марковских процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Тема 5. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1.Генеральная и выборочные совокупности.

2.Статистическое распределение случайной величины.

3.Эмпирическая функция распределения. Графическое изображение статистических рядов.

4.Классификация точечных оценок. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия.

5.Доверительная вероятность, доверительный интервал. Интервальные оценки параметров распределения.

6.Статистический критерий значимости проверки нулевой гипотезы.

7.Статистическая проверка гипотез о параметрах распределения (математическом ожидании, равенстве математических ожиданий, дисперсии).

8.Статистическая проверка непараметрических гипотез. Крите-

рии согласия 2 и Колмогорова.

9.Статистическая зависимость. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.

10. Эмпирический коэффициент корреляции и его свойства.

Между составляющими двумерной CB (X ,Y ) может существо-

вать зависимость, не носящая функциональный характер. В этом случае мы не можем говорить о том, какое значение принимает одна составляющая, если вторая приняла некоторое конкретное значение, но мы можем говорить о законе распределения (условном) одной составляющей, если известно, какое значение приняла вторая. Такая зависимость называется статистической.

В практических приложениях при исследовании статистической зависимости СВ Х и Y рассматривают зависимость между значениями одной из них X и условным математическим ожиданием другой


M Y	X x y(x)	(5.1)

Уравнение (5.1) называется модельным уравнением регрессии Y на X .

Если эта зависимость линейная, т.е.


y(x)		x ,	(5.2)

то регрессия называется линейной.

Поскольку модельное уравнение регрессии неизвестно, то для его оценки используют эмпирическое уравнение регрессии


		y(x)		a bx ,	(5.3)
где коэффициенты	a и		b находят		по результатам выбор-
ки (xi , yi ), i 1,..., n	объема		n	методом	наименьших квадратов, а

именно a и b выбирают так, чтобы они минимизировали функцию

y (a bx ) 2 .

S(a, b)

i 1

Используя необходимые условия экстремума

0 , по-

лучают, систему уравнений:

n a

x 2

x y .

i i

i 1

И далее:

b X

(5.4)

b X 2

a X

XY ,

1 n

где X

x ,Y

y ,

x y , X 2

x 2

. Решая сис-

n i 1

i i

n i 1

тему (5.4), получим

X Y

; a Y b X .

(5.5)

X 2

После подстановки в формулу (5.3) значений

и b из (5.5) она

примет вид:

X ) , где

2 ;

X 2

Y 2

;

1 n

(5.6)

XY X Y

y 2.

; Y 2

n i 1

Число r

является выборочным коэффициентом корреляции,

. При этом число

(5.7)

называется коэффициентом детерминации.

Другая формула для d :

(a bx

( y (a bx ))2

i 1

(5.8)

( y

i 1

Поэтому

d показывает долю разброса результатов наблюдений

(xi , yi )

относительно прямой y

Y , которая объясняется выбороч-

ной регрессией (5.3). При этом числа

(a bxi ) в формуле

(5.8) называются остатками, а число

(5.9)

–остаточной суммой квадратов.

Числа a и b , полученные по методу наименьших квадратов являются несмещенными оценками параметров и из (5.2), то есть

M (a) ; M (b) .

Число

s2	1		n	2	1
			e	2		Q	(5.10)
			e			Q	(5.10)
			i			e
	n	2 i 1			n 2

называется остаточной дисперсией.

В качестве примера рассмотрим задачу из задания 5, исходные данные возьмем для варианта 31*(см. ниже).

Пример 5.1.

Решение. 1) Зависимость между X и Y будем искать в виде

						bx . Параметры a и b модели найдем из системы (5.4):
y(x)			a			bx . Параметры a и b модели найдем из системы (5.4):

																b X			a Y ;

														b X 2
														b X 2				a X			XY .
	Тогда по формуле (5.5)

	b			XY				X Y			29, 02						6, 65 4,1					0, 622.

										2	47, 043						(6, 65)2
					2
			X		2				X
			X						X

	Из первого уравнения a																Y			b X		4,1	0, 622 6, 65			0, 038 .
	Итак, уравнение прямой линии регрессии Y на x:

yx		0, 622x					0, 038 .
	Вспомогательные вычисления соберем в таблицу 2.
																										Таблица 2

	xi								yi						xiyi						xi2			yi2		ei2
4						2						8							16				4		0,2025
4,5						3						13,5							20,25				9		0,057121
5,5						3						16,5							30,25				9		0,146689
6						4						24							36				16		0,0936
6,5						4						26							42,25				16		0,00003
7						5						35							49				25		0,4679
7,2						5						36							51,84				25		0,31315
7,8						4						31,2							60,84				16		0,66194
8						5						40							64				25		0,00384
10						6						60							100				36		0,03313
= 66,5							= 41					= 290,2							= 470,43				= 181		Qe = 1,9799
																									s2 = 0,2475
																				X 2			Y 2 18,1
X		6, 65				Y	4,1						XY 29, 02							X 2	47, 04		Y 2 18,1

2) Построим корреляционное поле и график yx												0, 622x		0, 038 ,
y(4)	2, 45,		y(10)				6,182 .
								График линии регрессии
y
7
6
5
4
3
2
1
														x
			2					4		6		8		10
3) Вычислим коэффициент корреляции r											по формуле (5.4) и коэффи-
циент детерминации d								r2 :
r		XY			X Y					29, 02		6, 65 4,1
r				2					2		(6, 65)2			(4,1)2
	X	2	X	2		Y	2	Y	2	47, 043	(6, 65)2		18,1	(4,1)2
	X		X			Y		Y
0, 92.
4) Коэффициент детерминации

d (0,92)2 0,85 (с точностью до 0,01).

Поэтому 85% рассеивания зависимой переменной Y объясняется линейной регрессией Y на X, а 15% рассеивания Y остались необъясненными.

	n			2		n
5)	По формуле (5.9): Q		e	2		( y (a bx ))2			1, 9799 .
	e		i				i	i
	i 1				i	1
6)	По формуле (5.10): s2		1		Q	1	1, 9799	0, 2475 .
6)	По формуле (5.10): s2				Q		1, 9799	0, 2475 .
		n		2	e	8
		n		2		8

7) Подставим точку ( X , Y )

(6,65; 4,1) в уравнение y 0,622x 0,038 ,

0, 622 6, 65

0, 038 4,1 (с точностью до 0,01).

8) Вычислим

по

формуле

(5.8),

при этом используя

равенство

2 )

n(Y 2

( y

bx ))2

( y

1, 9799

i 1

2 )

4,12 )

n(Y 2

10 (18,1

( yi

Y )

1, 9799

0,85 (с точностью до 0,01).

12, 9

9) Если l

7,5 ; то

0, 622 7,5

0, 038

4, 627 , т. е. при энерго-

вооруженности l

7,5

тыс. кВт ч в год/ч можно ожидать среднюю

производительность y

4, 627 (тыс. изд. в год/ч).

Задание 6

Компания контролирует

10 фабрик,

выпускающих однород-

ную продукцию. В таблице 2 приведены данные о производительности труда yi (тыс. изд. в год на одного работающего) и энерговоору-

женности фабрики xi (тыс. кВт ч в год на одного работающего), i 1,..., n .

Требуется:

1)Установить зависимость между X и Y (выбирать линейную модель, параметры модели находить по методу наименьших квадратов).

2)Построить корреляционное поле и график линии регрессии.

3)Вычислить коэффициент корреляции r (формула 5.6).

4)Вычислить коэффициент детерминации d (формула 5.7). Пояснить его смысл.

5)Найти остаточную сумму квадратов Qe (формула 5.9).

6)Найти остаточную дисперсию s2 (формула 5.10).

7)Проверить, что точка ( X , Y ) лежит на прямой (5.3).

8)Вычислить d по формуле (5.8) и проверить совпадение со зна-


чением d полученным в пункте 4.
9) Какую среднюю производительность труда										можно ожидать на
фабрике энерговооруженность которой равна l (см. таблицу 3).
												Таблица 3

	№ фабрики
			1	2	3	4	5	6	7	8	9		10	l
Вариант
1		xi	6	6,5	7	7,5	8	8,5	9	9,5	10		11	10,5
		yi	2	4	4	5	6	7	7	8	9		10

2		xi	9,4	10	10,5	11	11,4	12	12,6	13,6	14		15	12,4
		yi	8	8	7	8	8	9	10	11	11		12

3		xi	7	7,3	8	8,3	9	9,7	10	11	11,7		12	9,5
		yi	2	2	3	2	4	4	5	5	6		6

4		xi	2	2,5	3	3,4	3,6	4	4,5	5	5,2		6,8	6
		yi	3	2	2	3	3	4	4	4,5	4,5		5

5		xi	10	12	12,5	13	14	14,5	15,2	15,8	16		16,5	15,5
		yi	7	6	7	8	7	8	10	11	11		12

6		xi	7	7,5	8	8,5	9	9,5	10	10,5	11		12	9,8
		yi	4	6	6	7	7	9	9	8	11		12

7		xi	10,4	11	11,5	12	12,5	13	13,4	14,6	15		16	14
		yi	8	8	7	7	8	10	9	11	12		13

8		xi	6	6,3	7	7,3	8	8,7	9	9,5	10,7		11	8,3
		yi	12	12	12	11	13	13	14	14	15		16

9		xi	3	3,5	4	4,6	4,8	5	5,5	6	6,4		7,2	4,2
		yi	4	3	3	3	4	4	5	5,5	5,5		6

10		xi	11	12	13,5	14	15	15,5	16,2	16,8	17		17,5	14,5
		yi	7	7	8	9	8	9	11	12	12		12

11		xi	5	5,5	6	6,4	7	7,4	8	8,6	9		9,5	7,2
		yi	3	3	3,5	4	4,5	4,5	5	5	5,5		5,5

12		xi	7	8	8,5	9,2	9,5	10	11	11,5	12		14	9
		yi	6	6,5	6,5	7,5	7,5	8	8	8	9		9

13		xi	6	7	7,3	7,8	8,5	9	9,5	10,5	11		12	6,5
		yi	5	5,5	5,5	6	7	7	8	8	12		12

14		xi	2	3	4	4,5	5	6	7	7,5	8		9	10
		yi	1	1	3	3	4	5	5	6	6		8

15		xi	6,5	7	7,5	8,5	9	10	10,5	11	12		12,5	9,5
		yi	5	5	5,5	6	6	7	7	9	9		10

	№ фабрики
			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	l
Вариант
16		xi	3,5	4	4,5	5	6	7,5	9	9,5	11	12	6,5
		yi	4	4	4,5	4,5	5,5	6,5	7	7	9	9

17		xi	5,5	6,5	7	7,3	8	8,5	9	10	11	13	9,5
		yi	3	4	4	4	5,5	5,5	6	6,5	6,5	8

18		xi	4,5	5	5,5	6	6,5	7	8	9	9,5	11	8,5
		yi	2	2	3	3,5	3,5	4	5,5	5,5	6	8

19		xi	7	7,5	8	8,3	9	9,5	11	12	12,8	14	16
		yi	5	5,2	5,2	6	7	7	9	9	10	10

20		xi	2,5	3,5	4	4,3	5	5,5	6	6,5	7,5	9	11
		yi	2	2	3	3	5	5	5,5	5,5	6	7

21		xi	15	13,5	13	12	11	10,5	10	9	8,5	5	12,5
		yi	10	10	9,8	9	9	8,2	8	8	7	6

22		xi	14	13	13,5	13	12,5	11,5	10	9	7,5	4	10,5
		yi	9	8	8	7	7	6	6	5	5,5	2

23		xi	14,5	13,5	12	11	10,5	9,5	8,5	8	7	6,5	11,5
		yi	9	9	9	8	8	7	7	6	5,5	5

24		xi	12	11	10	9,5	9,2	9	8	7,5	7	4	8,5
		yi	10	9	7	5	5	5	4	4	3,5	3,5

25		xi	16	14	12	11	10,5	10	9	8	7,5	6,5	4,2
		yi	12	12	11,5	11	11	9	9	7	7	6

26		xi	15,5	13	10	9,5	9	8,5	8	7,5	6	5,5	6,5
		yi	10	9	8	8	7,5	7,5	7,5	7	6,5	3

27		xi	13	12,5	12	10	9	8	7,5	7	6,5	4	5
		yi	8	8	7	6	6	5	5	4,5	4	4

28		xi	16	15	13	12	11,5	10,5	10	9	8,5	7,5	14
		yi	13	13	10	9	9	8	8	7	7	5

29		xi	16,5	15,5	13,5	13	11	10	9	8,5	8	7	14
		yi	14	13	11	11	9	8	7,5	7,5	6	6

30		xi	18	16	15	14	13	12,5	12	11,5	11	10	17
		yi	17	16	16	15	13	13	13	12,5	12	9

31*		xi	4	4,5	5,5	6	6,5	7	7,2	7,8	8	10	7,5
		yi	2	3	3	4	4	5	5	4	5	6

Тема 6. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

1. Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем. Матрица вероятностей переходов.

2.Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

3.Граф состояний.

4.Предельные вероятности состояний.

Пусть некоторая система S может находится в одном из n состояний S1, S2 , ... , Sn и в дискретные моменты времени t1, t2 , ... , tk мо-

жет переходить из состояния в состояние. Обозначим через S (tk )	со-
стояния системы в момент времени tk , S(tk ) S1, S2 , ... , Sn	, и

через pij (k) условную вероятность перехода системы из состояния

Si , в котором она находилась в момент времени tk 1 , в состояние S j

в момент времени tk :

pij (k) P(S(tk ) S j S(tk 1) Si ) .

Говорят, что в системе протекает Марковский процесс (определена цепь Маркова), если pij (k) не зависит от того, в каком состоянии си-

стема находилась в предыдущие моменты времени tk					2, tk 3, ... . При
этом цепь Маркова называется однородной, если				pij (k) не зависит от
k , т.е. условная вероятность перехода из Si в S j				не зависит от того,
в какой момент времени это происходит.
Матрица
		p11	p12 ...	p1n
P ( p	) j 1,...,n	...	... ...	...	(6.1)
ij	i 1,...,n
		pn1	pn2 ...	pnn

называется матрицей вероятностей перехода.

Зная матрицу P , можно построить граф состояний системы: 1) количество вершин графа равно числу состояний n ;

2) если pij 0 , то вершины Si и S j соединяются дугой, помечен-

ной pij :

Si	pij	S j .

Матрица (6.1) задает условные вероятности перехода из состояния в состояние за 1 шаг: P P(1) . При этом матрица P(m) условных вероятностей перехода из состояния в состояние за m шагов находит-

ся по формуле P(m) Pm .
Если задана матрица-строка		0	вероятностей состояний в началь-
		0
ный момент времени, то вектор
m	0	P(m) 0 Pm		(6.2)

задает вероятности состояний системы через m шагов.

Марковский процесс называется регулярным, если система может перейти в любое состояние из любого другого за конечное число ша-

гов, т.е. если m N такое, что все элементы матрицы Pm строго

положительны.

Если Марковская цепь регулярна, то при m она независимо от начального состояния будет функционировать в установленном режиме, т.е. вероятности состояний системы в этом режиме не зави-

сят от начального состояния. Такие вероятности, ф ( p1, ..., pn )

называются предельными или финальными и могут быть найдены из системы уравнений

( p1 ...	pn )	P	( p1 ...	pn ) или
( p1 ...	pn )	(P	E) 0 ,	(6.3)
где

1 0 ... 0

E 0 1 ... 0 – единичная матрица.

0 0 ... 1

Для нахождения ф решают систему (6.3) с дополнительным условием p1 ... pn 1.

Пример 6.1. Заданы матрица вероятностного перехода цепи Маркова и вектор 0 начального распределения вероятностей.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.2025748.22 Кб0Теория бухгалтерского учета.pdf
#
29.11.2025475.09 Кб0Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1.pdf
#
29.11.2025679.7 Кб0Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 2.pdf
#
29.11.20251.78 Mб0Теория вероятностей и математическая статистика.pdf
#
29.11.20252.97 Mб0Теория вероятностей и элементы математической статистики.pdf
#
29.11.20252.62 Mб0Теория вероятностей, элементы математической статистики и Марковских процессов.pdf
#
29.11.20253.66 Mб0Теория вероятностей, элементы математической статистики и теории массового обслуживания.pdf
#
29.11.202511.88 Mб3Теория и практика перевода по иностранному языку (первый) (английский).pdf
#
29.11.2025775.71 Кб0Теория и практика разработки тестовых заданий.pdf
#
29.11.20251.29 Mб2Теория и проектирование гидропневмоприводов и гидропневмосистем.pdf
#
29.11.2025836.37 Кб1Теория и проектирование гидропневмоприводов практикум.pdf