Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей, элементы математической статистики и Марковских процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

D( X )	(x M ( X ))2 f (x, y)dxdy
	x2 f (x, y)dxdy M 2 ( X ) ;
D(Y )	( y M (Y ))2 f (x, y)dxdy
	y2 f (x, y)dxdy M 2 (Y ) ;

Связь между составляющими Х и Y системы СВ(Х, Y) описывает-

ся ковариацией.

Kxy cov( X ,Y ) M ( X M ( X )) M (Y M (Y ))

M ( X Y ) M ( X ) M (Y ).

Расчетные формулы для ковариации K xy имеют вид

K xy =

n m

xi y j pij M ( X ) M (Y ) для дискретных СВ( X ,Y );

i 1 j 1

xyf (x, y)dxdy M ( X ) M (Y ) для непрерывных СВ( X ,Y ).

В случае независимых СВ Х и Y ковариация равна нулю ( K xy = 0).

Коэффициент корреляции rxy характеризует степень вероятностной зависимости составляющих Х и Y и вычисляется по формуле

rxy	Kxy		.

	x	y

Пример 4.1. Два студента наудачу извлекают по одному шару из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров (шары в урну не возвращаются). СВ Х – число белых шаров у первого студента, СВ Y – у второго. Первым выбирает шар первый студент. Необходимо:

1.Написать закон распределения двумерной СВ(Х,Y).

2.Написать безусловные законы распределения составляющих Х и Y.

3.Определить, зависимы или независимы СВ Х и Y.

4.Написать условный закон распределения составляющей Х при

условии, что Y 1.
5. Найти коэффициент корреляции.
Решение. 1. Составим закон распределения СВ(Х,Y).
						6									5		, P(Y 1		X 0)				4	.
P( X 0)						6	. P(Y 0				X 0)				5								4
P( X 0)				10			. P(Y 0				X 0)				9								9
				10											9								9
Т.е. P( X 0 Y 0)									6		5		1	. P( X 0 Y 1)								6 4					4	.

									10				3								10		9			15
									10	9			3								10		9			15
			4											6		2		, P(Y 1	X 1)				3			1	.
P( X 1)			4		. P(Y 0				X 1)					6		2							3			1
P( X 1)		10			. P(Y 0				X 1)				9										9			3
															3
															3
P( X 1 Y 0)								4 2			4	. P( X 1 Y 1)								4 1				2	.

								10	3	15										10	3		15
								10	3	15										10	3		15
Матрица распределения имеет вид

	X	Y		0			1

		1					4
0
0		3					15
		3					15
1				4			2

1515

2.Законы распределения составляющих:

X 0 1

px		3	2
i		5	5
		5	5

Y		0	1

py		3	2
py	j	5	5
	j

3. Поскольку	P( X		1		Y		1)		2	, а
								15

P( X 1) P(Y	1)	2		2		4	, то составляющие Х и Y СВ(Х,Y)
		5	5		25

являются зависимыми.

4. Найдем условный закон распределения составляющей Х

при условии, что Y																	1.
																													4
																P( X				0			Y	1)									4 5										2
P( X 0							Y 1)																						15																		.


																			P(Y 1)												2							2 15							3
																			P(Y 1)												2							2 15							3
																													5
																													2
															P( X					1		Y		1)									2 5										1
P( X 1					Y 1)																						15																			.


																		P(Y 1)											2								2 15							3
																		P(Y 1)											2								2 15							3
																													5
5. Найдем коэффициент корреляции r																																		mxy								mxmy						.
5. Найдем коэффициент корреляции r																																																.
																										xy
																																									x		y
mx	0			3		1			2 2								; my 0				3			1	2						2	;
mx	0					1			5				5				; my 0						5	1								;
	5								5				5										5	5					5
mxy	0 0							1	0 1								4		0 1			4		1 1				2							2				.
mxy	0 0					3			0 1										0 1		15			1 1			15						15						.
						3						15									15						15						15
									2								2			3	2			2					2				2							2			4					6
D( X ) M ( X										) mx									0		1																													.
D( X ) M ( X										) mx									0	5	1			5					5				5										25					25		.
																				5				5					5				5										25					25
												6					. D(Y ) M (Y 2 ) m2y																			6					.							6	.
x		D( X )										6																								6							y					6
x		D( X )										5																					25										y					5
												5																					25															5
	2					4					10						12
																				2 25							1
rxy	15					25						75								2 25							1			.
	15					25						75
			6											6						75 6							9
			6											6						75 6							9
	25											25

Пример 4.2. Плотность вероятности двумерной СВ(Х, Y) задана

выражением f (x, y)		a(x	y) при 0		x	2, 0 y 2;
выражением f (x, y)		0 в остальных случаях.
		0 в остальных случаях.

Найти:	коэффициент а;		f1(x), f ( y		x) ;	вероятность попадания
двумерной	СВ(Х, Y)	в треугольник		D, ограниченный прямыми
x y 1	0, x 0, y	0 .

Решение. Построим область D.

1)Коэффициент а определяем из условия нормировки: f (x, y)dxdy 1 .

В нашем случае имеем a(x y)dxdy 1.

Перейдя к повторным интегралам, получаем:

2	2						2				1
a	(x	y)dy			dx	1,	a (2x	2)dx	1,	8a 1, a	1	.
a	(x	y)dy			dx	1,	a (2x	2)dx	1,	8a 1, a	8	.
0	0						0				8
0	0						0
Следовательно имеем :
			1	(x	y)	при 0 x		2, 0	y	2;
f (x, y)		8		(x	y)	при 0 x		2, 0	y	2;
f (x, y)		8
					0 в остальных случаях.
2)	Найдем			плотность			вероятности		f1(x) СВ Х		по формуле

f1(x) f (x, y)dy . В нашем случае имеем:

2 1

y) dy при 0

f1(x)

0 8

0 или x

y) dy получаем

После вычисления

при 0

f1(x)

0 или x

f (x, y)

y 2 (0

x 2);

f ( y

2(x

(x)

или y

3) Вероятность попадания двумерной СВ(Х, Y) в треугольник D

найдем по формуле

P ( X ,Y ) D

f (x, y)dxdy .

Сделаем чертеж.

1 X

Расставляя пределы интегрирования, получаем:

						1 1		x 1			1	1	y2	1	x
														1	x

P(( X ,Y )				D )					(x y)dy dx			xy			dx
P(( X ,Y )				D )					(x y)dy dx			xy			dx
				1				8			8 0		2
						0	0	8			8 0		2	0
	1 1	1	x	2	1	dx		1		.

	8 0	2			2			24
	8 0	2			2			24

Задание 5

В четных вариантах необходимо:

1)Написать закон распределения двумерной СВ(Х, Y).

2)Написать безусловные законы распределения составляющих Х и Y.

3)Определить, зависимы или независимы СВ Х и Y.

4)Написать условный закон распределения составляющей Х при

условии, что Y 1.

5) Найти коэффициент корреляции.

Варианты

1. Двумерная СВ(Х, Y) равномерно распределена внутри круга радиуса а с центром в начале координат. Требуется найти f (x, y),

f1(x), f2 ( y) .

2. Подбрасывается один раз игральная кость. Составляющая Х принимает значение, равное 1, если выпадает четное число очков, и


X	1 в противном случае.		Составляющая Y принимает значение,
равное 1, если число очков делится на 3. В противном случае Y						1.
	3. Двумерная	СВ(Х, Y)	имеет	плотность	вероятности

f (x, y)	b
		.
	2 (4 x2 )(2 y2 )

Найти: 1) величину b; 2) функцию распределения F(x, y) ; вероятность попадания СВ(Х, Y) в квадрат, ограниченный прямыми x 0, y 0, y 1 .

4. Студенты наудачу извлекают по одному шару из урны, содержащей 3 белых и 1 черный шар. Составляющая Х – число белых шаров у первого студента, составляющая Y – число белых шаров у второго студента. Выбор шаров производится без возвращения. Первым извлекает шар первый студент.

5. Двумерная СВ(Х, Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми x 0, y 0, 2x 3y 1. Найти

D(X ), D(Y ) .

6. Подбрасывается один раз игральная кость. Составляющая Х равна 0, если число выпавших очков 3 , в противном случае X 1 . Составляющая Y равна 0, если число выпавших очков > 2, в противном случае Y 1.

7. Плотность распределения вероятности двумерной СВ(Х, Y) имеет вид

f (x, y)

axy в области D;

0 вне этой области,

где D – треугольник, ограниченный прямыми x y 1 0, x 0, y 0 . Найти: 1) коэффициент а; 2) rxy .

8. Два студента наудачу извлекают по одному шару из урны, содержащей 3 белых и 1 черный шар. Составляющая Х – число белых шаров у первого студента, а составляющая Y – число белых шаров у второго студента. Первым извлекает шар первый студент и после извлечения возвращает шар в урну.

9. Система СВ(Х, Y) подчинена закону распределения с плотностью

	f (x, y)	a(x y) в области D;
	f (x, y)	0 вне этой области,
		0 вне этой области,
где область D – прямоугольник, ограниченный прямыми x						0, x	4,
y	0, y 5.
	Требуется: 1) определить коэффициент а; 2) найти				f1(x),	f2 ( y) ;
	3) вычислить вероятность попадания двумерной СВ(Х, Y) в квад-
рат, ограниченный прямыми x			1, x	2, y 0, y 1.
	10. Подбрасывается один		раз игральная кость.		Составляющая
X	0 , если число выпавших очков			4 , в противном случае X			1 .

Составляющая Y 0 , если число выпавших очков < 3, в противном случае Y 1.

11. Функция распределения системы двух СВ(Х, Y) задана выражением

0 при x

0, y

F (x, y)

sin x sin y

при 0

;

1 при x

; y

Найти: 1)

f (x, y) ; 2) P(0 X

; 0 Y

) ; 3) М(Х), М(Y).

12. Три раза подбрасывается симметричная монета. СВ Х – число выпадений герба; СВ Y – абсолютная величина разности числа выпадений решки и герба.

13. Двумерная СВ(Х, Y) равномерно распределена в треугольнике,

ограниченном прямыми x				0, y 0, x y a (a 0) . Найти: 1) ве-
личину а; 2) f (x, y) ; 3) М(Х), М(Y).
14. Дано распределение системы двух величин (Х, Y)

		yj	1	3
	xi		1	3
	xi
	-1		0,2	p12
	2		0,1	0,05
	4		P31	0,3

Известна вероятность P(Y				X ) 0,3.
15. Двумерная СВ(Х, Y) имеет плотность распределения
	b	, x 1,	y 1;

f (x, y)	x2 y3
	0, x	1 или	y	1.
Найти: 1) величину b; 2)			F(x, y) ; 3) f1(x), f2 ( y) .

16. По радиолинии передается сигнал в виде последовательности трех импульсов. Вероятность искажения каждого импульса равна 0,1. СВ Х – число искаженных импульсов, СВ Y – число правильных импульсов.

17. Двумерная СВ(Х, Y) имеет плотность распределения

f (x, y)	e	x y	при x 0, y	0
	0	при	x 0 или y	0.

Найти: 1) F(x, y) ; 2) М(Х), М(Y).

18. Из урны, содержащей 5 белых и 5 черных шаров, случайным образом извлекают 3 шара. СВ Х – число белых шаров в выборке; СВ Y – отношение числа черных шаров в выборке к величине X 1.

19. Случайные величины (Х, Y) независимы и имеют одинаковые

плотности распределения: f1(x)		a		, f2 ( y)		a		. Найти:

		x2				y2
			1				1
1) величину а; 2) f (x, y) ; 3)	F(x, y) ; 4) P(0				X		10; 0 Y 1) .

20. Производится четыре независимых опыта в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью 0,6. СВ Х – число появления события А. СВ Y – число появления противоположного собы-

тия A .

21. Показать, что случайные величины Х и Y с совместной плотно-

стью
f	(x, y)	12xy при 0	x 1, 0	y	1
f	(x, y)	0 в остальных случаях
		0 в остальных случаях
независимы. Найти: 1) M(X), D(X); 2)					P(	1	X	1	;	1	Y	1	) .
независимы. Найти: 1) M(X), D(X); 2)					P(	4	X	2	;	4	Y	2	) .
						4		2		4		2

22. Производятся два выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. СВ Х – число выстрелов до первого попадания ( X 2 , если попадания не было), СВ Y – число промахов.

23. Плотность распределения двумерной СВ (Х, Y) имеет вид:

f (x, y)

a(1 x2 y2 ), x2 y2 1 0, x2 y2 1.

Найти: 1) а; 2) М(Х), М(Y), D(X), D(Y); 3) вероятность попадания СВ (Х, Y) в квадрат, вписанный в круг x2 y2 1.

24. Бросаются две игральные кости. СВ Х – индикатор четности суммы выпавших очков, СВ Y – индикатор четности произведения выпавших очков.

25. Система двух случайных величин (Х, Y) равномерно распределена в треугольнике со сторонами y x, x 0, x 2 . Найти коэф-

фициент корреляции системы.

26. Задано распределение системы СВ (Х, Y)

yj	-1	0	1
xi

-1	p11	1	1

		12	12

1	1	P22	1

	12		12
	12		12
Известно, что ковариация K ( X ,Y )					1	.
Известно, что ковариация K ( X ,Y )				4		.
				4
27. Система двух случайных величин (Х, Y) равномерно распреде-

лена в квадрате D со стороной 2 и диагоналями, совпадающими с
осями координат. Найти: 1) f (x, y) ; 2)					f1(x), f2 ( y) .
28. Из множества		2, 3, ... ,10, 11		наудачу извлекаются два чис-

ла. СВ Х – количество нечетных чисел; СВ Y – количество простых чисел среди извлеченных.

29. Система двух случайных величин (Х,Y) имеет плотность распределения

f (x, y)		c, (x, y)	D
f (x, y)		0, (x, y) D.
		0, (x, y) D.

D	x	15; 0 y	4 .

Найти: 1) значение с; 2) M(X), D(X); 3) P( X 3,5; 0 Y 2) .

30. Баскетболист дважды бросает мяч в корзину. Вероятность попадания при одном броске 0,6. СВ Х – число попаданий; СВ Y – число промахов до первого попадания.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.2025748.22 Кб0Теория бухгалтерского учета.pdf
#
29.11.2025475.09 Кб0Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1.pdf
#
29.11.2025679.7 Кб0Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 2.pdf
#
29.11.20251.78 Mб0Теория вероятностей и математическая статистика.pdf
#
29.11.20252.97 Mб0Теория вероятностей и элементы математической статистики.pdf
#
29.11.20252.62 Mб0Теория вероятностей, элементы математической статистики и Марковских процессов.pdf
#
29.11.20253.66 Mб0Теория вероятностей, элементы математической статистики и теории массового обслуживания.pdf
#
29.11.202511.88 Mб3Теория и практика перевода по иностранному языку (первый) (английский).pdf
#
29.11.2025775.71 Кб0Теория и практика разработки тестовых заданий.pdf
#
29.11.20251.29 Mб2Теория и проектирование гидропневмоприводов и гидропневмосистем.pdf
#
29.11.2025836.37 Кб1Теория и проектирование гидропневмоприводов практикум.pdf