Теория вероятностей и элементы математической статистики

сток (a, b):

b

P(a X b) p(x)dx .

a

Случайная величина X ~ N(a, ) принимает свое значения в промежутке (a 3 ,a 3 ) с вероятностью 0,9973.

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине определяется по формуле:

наступления события р в серии из n независимых испытаний выражается формулой:

Примеры

1. Суточное потребление электроэнергии исправной печью является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним 1000 кВт и среднеквадратичным отклонением 50. Если суточное потребление превысит 1100 кВт, то по инструкции печь отключают и ремонтируют. Найти вероятность ремонта печи.

Решение. Случайная величина X есть суточное потребление электроэнергии печью. M(X) = 1000, X 50. Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал (0; 1100). Для этого воспользуемся формулой:

51

Тогда вероятность ремонта печи равна 1-0,9544 = 0,0456.

2. Рост мальчиков возрастной группы 15 лет есть нормально распределённая случайная величина X с параметрами α = 161 см и σ = 4 см.

Какую долю костюмов для мальчиков, имеющих рост от 152 до 158 см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы.

Решение.

M(X) = 161, X 4. Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал (152; 158). Для этого воспользуемся формулой:

3. Текущая оценка ценной бумаги представляет собой нормально распределенную случайную величину со средним значением 100 у. е. и дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива (ценной бумаги) будет находиться в пределах от

91 до 109 у. е.

Решение. Так как a 100, D 3 , тогда

Задачи для самостоятельного решения

вал (1,3).

4. Ошибка взвешивания – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением, равным 2 грамма. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 4 грамма.

52

5. Уровень воды в реке – случайная величина со средним значением 2,5 м

2.21 Неравенство Чебышева

Необходимо рассмотреть условия, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

Теорема (Неравенство Чебышева). Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине

меньше положительного числа , не меньше чем 1 D(X ) :2

P( X MX ) 1 D(X ) .2

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин X1, X2,..., Xn,... имеет конечное математическое ожидание и диспер-

сии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математического ожидания, т.е. если – любое положительное число, то

В этом случае среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины.

Если проводится серия измерений какой-либо физической величины, причем:

1)результат каждого измерения не зависит от результатов остальных (измерения попарно независимы);

2)измерения производятся без систематических ошибок, (имеют одно и то же математическое ожидание);

3)обеспечена определенная точность измерений, (дисперсии их ограничены) то при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое ока-

жется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой величины.

53

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых опытов вероятность появления события А постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений А в n опытах от p будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1.

Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближается к нормальному при достаточно большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона для практических приложений.

Центральная предельная теорема. Если X1, X2,..., Xn – независимые слу-

чайные величины с одинаковым законом распределения, математическим ожиданием a и дисперсией 2 , то при неограниченном увеличении n закон распределе-

n

ния суммы Yn Xk неограниченно приближается к нормальному.

Решение.

Математическое ожидание случайной величины принимает значение:

MX =0,

Дисперсия равна

DX = 10/7,

P( X MX 1,5) 1 10 / 7 0,63. 2,25

54

Задачи для самостоятельного решения

55

3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ РАЗДЕЛА «ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»

3.1 Статистический материал и его обработка

Результаты наблюдений массовых явлений, случайных величин составляют статистические данные или статистический материал. Выборкой объёма n называется совокупность n случайно отобранных объектов. Множество всех объектов, из которых производится выборка, называется генеральной совокупностью (ГС).

Выборочный метод состоит в том, что на основании изучения некоторого количественного признака у некоторой части статистической совокупности (выборки), полученной в результате статистического отбора, можно сделать вывод о характере распределения этого признака по всей статистической совокупности (генеральной совокупности).

Результаты наблюдений выборки объёма записываются, в частности, в виде статистической совокупности:

купность подвергают специальным видам статистической обработки.

Расположим значения xi , которые назовём вариантами, в порядке возраста-

ния и обозначим = min ; = max . Величина = − называется размахом статистической совокупности. Среди значений могут быть одинаковые. Пусть значение 1 наблюдалось 1 раз, 2 – 2 раз, …, наблюдалось раз. Тогда общий объём выборки равен = ∑=1 . Число , показывающее, сколько раз встречается варианта (значение) , называется частотой , а число = –

относительной частотой варианты .

Последовательность , записанная в порядке возрастания с указанием частот и (или) относительных частот, называется вариационным рядом. Статистическим

Геометрическим изображением вариационного ряда является эмпирический полигон распределения, являющийся аналогом плотности распределения случайной величины – ломаная с вершинами ( , ) – см. рисунок 1.

56

Вариационный ряд обозрим при небольших значениях ( ≤ 20). В противном случае его (или первоначальную статистическую совокупность) подвергают интервальной обработке.

Все варианты принадлежат отрезку [ , ]. Пусть некоторое (не больше 20) натуральное число. Отрезок [ , ] разобьём на k равных частей длины = − .

Обозначим эти промежутки следующим образом: [ 0, 1[; [ 1, 2[; … , [ −1, ]. Через обозначим число вариант, попавших в интервал [ −1, [, при этом бу-

дем считать, что каждый промежуток содержит свой левый конец, но лишь по-

следний промежуток содержит и свой правый конец. Пусть = (числа и

можно также отнести к середине ai* интервала ( −1, )). Полученные данные

занесём в таблицу, называемую интервальной обработкой ряда, или статистической совокупности.

Геометрическим изображением интервальной обработки служит гистограмма (см. рисунок 1). Гистограммой частот называется множество прямоугольников с

основаниями ( −1, ) и высотами . Площадь гистограммы равна объёму выбор-

ки .

Нормированная гистограмма (гистограмма относительных частот) пред-

ставляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями равными интервалам значений признака ( −1, ) и высотами, равными плотности частоты ∙ . Если соединить прямолинейными отрезками середины верхних оснований пря-

моугольников, получим полигон распределения. Суммарная площадь всех прямоугольников гистограммы равна 1:

57

Рисунок 1

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки)

называется функция ( ), определяющая для каждого значения относительную частоту события < (см. рисунок 2):

Рисунок 2

Функция ( ) обладает следующими свойствами (здесь = min ; =

1) ( ) [0; 1]; 2) ( ) = 0 при < , ( ) = 1 при > ; 3) ( ) –

монотонно неубывающая, непрерывная слева функция.

Функция ( ) является статистическим аналогом функции распределения( ) генеральной совокупности. Функцию распределения ( ) в математической статистике называют теоретической функцией распределения. Различие между теоретической и эмпирической функциями распределения состоит в том, что ( ) определяет вероятность события < , а ( ) – относительную частоту этого события.

58

Т. е. эмпирическая функция распределения служит для оценки вида теоретической функции распределения случайного признака, полигон и гистограмма – для оценки вида теоретической кривой распределения.

3.2 Числовые характеристики законов распределения эмпирических величин

Одна из задач математической статистики состоит в установлении закона распределения случайной величины Х (генеральной совокупности) и оценке параметров этого закона.

Вид закона выбирается из каких-либо теоретических или практических соображений, а параметры следует вычислять, исходя из параметров этого закона.

Важнейшим этапом обработки статистических данных является вычисление оценок числовых характеристик исследуемой случайной величины.

Полученные оценки позволяют в числовой форме описать характерные черты статистического распределения и являются базой для построения математической модели изучаемого случайного явления.

Любая величина ̃, определяемая как функция выборочных значений ̃ =( 1, 2, … ), называется выборочной статистикой или просто статистикой.

Статистика ̃, используемая в качестве приближённого значения неизвестного параметра , называется статистической оценкой параметра .

Существует два вида оценок параметров: точечные и интервальные.

Точечной называется статистическая оценка, которая определяется одним числом.

К точечным статистическим оценкам предъявляется ряд требований.

Если ̃ – статистическая оценка параметра , то она должна удовлетворять следующим условиям:

1)быть несмещенной, что означает, что ( ̃) = .

2)быть состоятельной, т.е. предел по вероятности при → +∞ последовательности таких оценок должен быть равен искомому параметру, т.е. вероятность

того, что | − ̃| > > 0 , стремится к нулю при → +∞.

3) быть эффективной, т.е. дисперсия ( ̃) – наименьшая или быть

асимптотически эффективной, что означает, что lim ( ̃) = 0.

→∞

Число > 0 называется точностью оценки, если имеет место равенство | − ̃| < . Если это неравенство имеет место с некоторой вероятностью , то число называется надёжностью оценки или уровнем надёжности. Наиболее употребительными уровнями надёжности являются = 0,95; = 0,99; = 0,999.

Выборочной средней ̅называют среднее арифметическое значение случайной

59

Выборочная средняя служит несмещённой оценкой математического ожида-

ния признака Χ или генеральной совокупности.

Кроме выборочной средней в статистическом анализе применяются структурные средние: медиана и мода.

Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Если рас-

где −1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному, включая

интервал, предшествующий медианному; – начальное значение интервала, который содержит медиану. Номер медианного интервала определяется из неравенства

∑ =1 ≤ 2 < ∑ =1+1 . В случае выполнения равенства номер медианного интер-

вала равен , в противном случае – + 1.

Средние величины не отражают изменчивости (вариации) значений признака. Чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения ̅вводят свободную характеристи-

ку – выборочную дисперсию.

личаются, поэтому на практике исправленной дисперсией пользуются, если < 50.

60