Теория вероятностей и элементы математической статистики

2.13 Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р ( 0 p 1), абсолютная величина отклонения

относительной частоты появления события не превысит положительного числа , приближенно равна удвоенной функции Лапласа при x npq .

P( mn p ) 2Ф( pqn ).

Относительная частота события А определяется равенством P(A) mn , где

m – число испытаний, в которых А наступило, n – общее число произвольных испытаний.

Примеры

1. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

2Ф( 0,25n ) 0,7698, 0,25n ) 1.2 , n = 900.

2. Вероятность выигрыша на турнире по баскетболу равна 0,58. Найти количество турниров n, при котором с вероятностью приблизительно равной 0,9 можно ожидать, что относительная частота побед отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,1.

Решение. p 0,58;q 0,42; 0,1;P 0,9.

Задачи для самостоятельного решения

31

1.Найти количество подбрасываний игрального кубика n, при котором с вероятностью приблизительно равной 0,95 можно ожидать, что относительная частота выпадений шестерки отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,05.

2.Найти количество подбрасываний монеты n, при котором с вероятностью приблизительно равной 0,95 можно ожидать, что относительная частота выпадений герба отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,1.

3.Найти количество опрошенных мужчин n, при котором с вероятностью приблизительно равной 0,95 можно ожидать, что относительная частота выбранных женатых мужчин отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,05, если считать, что случайно выбранный мужчина с равной вероятностью может оказаться женатым или не женатым.

4.Найти количество подбрасываний кубика n, при котором с вероятностью приблизительно равной 0,76 можно ожидать, что относительная частота выпадений четного числа очков отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,05.

5.Танцор Вася обычно выигрывает 1 из 10 турниров по бальным танцам. Найти количество турниров n, в которых участвовал Вася. Если известно, что с вероятностью приблизительно равной 0,9 можно ожидать, что относительная частота его побед отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,05.

Ответы

2.14 Случайные величины и их распределения

В азартных играх интерес играющих вызывает не наступление случайного исхода, а связанный с ним выигрыш или проигрыш, т.е. определенная числовая величина, которая соответствует исходу.

Примером случайной величины может быть число очков, выпавших при подбрасывании кубика, число бракованных изделий среди общего числа изделий.

Случайная величина есть число, которое ставится в соответствие каждому возможному исходу эксперимента, т.е. ее можно рассматривать как функцию ( ) на пространстве элементарных событий .

Пусть ( ,A,P) – произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется функция : R , такая что для любого C R выполняется следующее: { : ( ) c} A.

Определим функцию распределения случайной величины, которая несет всю информацию, заложенную в случайной величине.

32

Функцией распределения случайной величины называется функция F (x) : R [0,1], такая, что для любого действительного x выполняется:

F (x) P{ : ( ) x}.

Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

1) x1 x 2 F (x1) F (x2 ),

3)функция непрерывна слева, т.е. F (x0 0) F (x0 ).

4)x0 : F (x0 0) F (x0 ) P( x0 ).

5): P(a b) F (b) F (a) .

2.15 Классификация дискретных случайных величин

Дискретная случайная величина – это случайная величина, которая принимает

3.Партия изделий содержит 10 % нестандартных. Пусть случайная величина

Х– число стандартных изделий в партии из пяти изделий. Требуется составить закон распределения случайной величины и записать функцию распределения.

Решение. Случайная величина Х может принимать значения хk = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Найдем функцию распределения. По определению:

35

Задачи для самостоятельного решения

1. Орудие выпускает по цели три снаряда. Событие А – попадание снаряда в цель. Р(А) = 0,8. Найти для случайной величины Х (количество попаданий) ряд распределения.

2. Найти функцию распределения для случайной величины Х:

3.Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна 0,6, а вторым – 0,9. Составить ряд распределения случайной величины Х—числа студентов, успешно сдавших экзамен, если известно, что экзамены пересдавать нельзя.

4. Найти функцию распределения для случайной величины Х:

5. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,5, а для второго 0,8. Найти и построить функцию распределения случайной величины Х (число попаданий в мишень).

Ответы

2.16 Классификация абсолютно непрерывных случайных величин

Если случайная величина Х принимает любые значения из некоторых интервалов или отрезков числовой оси, то она называется непрерывной случайной величиной. Примерами такой величины являются дальность полета снаряда, время безотказной работ прибора.

Плотностью распределения вероятностей случайной величины Х в точке х p(x) называется предел:

36

Теорема. Для того, чтобы случайная величина была абсолютно непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы:

x

x R : F (x) p (t)dt .

Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина – абсолютно непрерывной случайной величиной, если

B

где B – минимальная - алгебра. Свойства плотности распределения:

1) p (x)dx 1.

2)p (x) 0.

3)F (x) p (x) .

Эти три свойства выполняются для любой точки непрерывности функции.

b

4) P(a x b) p (x)dx .

a

Примеры абсолютно непрерывных случайных величин.

37

38