Теория вероятностей и математическая статистика

4.2. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона функция распределения дискретной случайной величины, принимающей счетное число значений m = 0; 1; : : : и распределенной по закону

pm = m e ; m = 0; 1; : : : :

m!

Число > 0 называется параметром распределения. Это распределение является предельным для биномиального, когда = np и n ! 1.

По этому закону распределены, например, число вызовов на АТС, радиоактивный распад, изменение хромосом в клетках, число страховых случаев и т.д.

Теорема 3.6 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X с распределением Пуассона вычисляются по формулам

Доказательство проходит аналогично тому, как это было сделано в предыдущей теореме 3.5, но с помощью производящей функции

Действуя так же, как и в предыдущем случае, мы получим

M(X) = 0(1) = ; D(X) = 00(1) + 0(1) ( 0(1))2 = :

4.3. Геометрическое распределение

Геометрическое распределение. Пусть проводится бесконечная серия независимых испытаний, в каждом из которых событие A наступает с постоянной вероятностью p. Пусть X случайная величина, равная числу испытаний до момента первого появления события A. Тогда закон распределения этой дискретной случайной величины

pm = P(X = m) = (1 p)mp; m = 0; 1; : : :

называется геометрическим.

Теорема 3.7 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X с геометрическим распределением вычисляются по формулам

4.4. Равномерное распределение

Равномерное распределение на [a; b] распределение непрерывной случайной величины с плотностью

Примером равномерно распределенной на [0; ] случайной величины может служит ошибка измерения некоторой физической величины с помощью шкалы, цена, деления которой равна .

Теорема 3.8 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Доказательство получается непосредственным вычислением.

4.5. Показательное распределение

Показательное распределение распределение непрерывной случайной величины с плотностью

p(x) =

:0; x 6 0:

Число называется параметром распределения.

Показательный закон используется в теории массового обслуживания. По нему распределены, например, время ремонта, время простоя в очереди, время обслуживания.

Теорема 3.9 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X с показательным распределением вычисляются по формулам

Доказательство также получается с помощью непосредственного вычисления.

4.6. Нормальное распределение

Нормальное распределение распределение непрерывной случайной величины X с плотностью

где a и параметры распределения. В таком случае будем писать , что

X 2 N(a; ).

Вероятностный смысл параметров a и проясняет следующее утверждение.

Теорема 3.10 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X с нормальным распределением вычисляются по формулам

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашей книги. Оно обычно со всей полнотой излагается лишь студентам, обучающимся на математических специальностях.

Распределение класса N(0; 1) будем называть стандартным нормальным распределением.

По нормальному закону распределено огромное число случайных величин (например, рост и вес 20-летнего2 мужчины, дальность полета снаряда, результат измерения длины, объема, времени и т.п.).

Таким образом, мы обязаны обратить внимание на то, что результат измерения распределен нормально, а ошибка измерения распределена равномерно.

Нормальный закон проявляется там, где в формировании значения случайной величины участвует большое число независимых факторов, причем каждый из них оказывает малое влияние на это значение. Ниже мы познакомимся с точной формулировкой этого принципа в центральной предельной теореме.

2Здесь важно, что мы имеем дело со сложившимся человеком, параметры которого не подвергаются большим колебаниям.

§ 5. Функция Лапласа

называется функцией Лапласа.

Эта функция широко используется при работе с нормально распределенными случайными величинами, так как через нее легко выражаются различные характеристики нормальной случайной величины.

Теорема 3.11 Если случайная величина X 2 N(a; ), то справедливы следующие равенства:

1) при всех x 2 R

Доказательство. 1) По определению

2) получается из 1) и части 3) теоремы о свойствах функции распределения, а 3) получается из 2) при x1 = a "; x2 = a + ".

Рассмотрим частные некоторые случаи выбора ":

1)при " = P(jX aj < ) = (1) 0; 6827,

2)при " = 2 P(jX aj < 2 ) = (2) 0; 9545,

3)при " = 3 P(jX aj < 3 ) = (3) 0; 9973.

Событие, происходящее в вероятностью выше 0,9973 иногда называют ”практически достоверным”. Используя этот термин, последнее утверждение можно сформулировать так.

Правило 3 . Событие, состоящее в том, что нормально распределенная случайная величина принимает значение, отклоняющееся от ее математического ожидания менее чем на 3 , является практически достоверным.

§6. Независимость случайных величин

6.1.Совместная функция распределения

Определение 3.10 Если X и Y случайные величины, то

FX;Y (x; y) = P((X < x)(Y < y)) ; x; y 2 R

называется совместной функцией распределения случайных величин X

и Y .

Пусть X и Y дискретные случайные величины, принимающие занчения x1; : : : ; xn и y1; : : : ; ym соответственно, то совместная функция распределения вычисляется по формуле

x <x j:y <y

Совместная функция распределения непрерывных случайных величин X и Y иногда представима в виде

Z x Z y

FX;Y (x; y) = p(s; t) dt ds;

где p непрерывная неотрицательная функция на R2. Такую функцию p естественно назвать совместной плотностью распределения случайных величин X и Y .

Это будет так, если совместная функция распределения имеет непрерывные частные производные второго порядка (например, равные нулю вне некоторого круга), и тогда

p(x; y) = @2FX;Y (x; y): @x@y

6.2. Независимость

Определение 3.11 Случайные величины X и Y называются независимыми, если

FX;Y (x; y) = FX (x) FY (y); x; y 2 R:

Это означает, что случайные события (X < x) и (Y < y) являются независимыми при любых x; y 2 R.

Если X и Y дискретные случайные величины, то их независимость равносильна условию

P((X = x)(Y = y)) = P(X = x) P(Y = y)

(для любых возможных значений x и y) и, таким образом, означает, что все свои значения случайные величины X и Y принимают независимо.

Если существует совместная плотность случайных величин X и Y , то свойство независимости равносильно условию

p(x; y) = pX (x)pY (y);

где pX и pY плотности распределения для X и Y соответственно.

6.3. Свойства независимых случайных величин

Теорема 3.12 Если X и Y независимые случайные величины, то справедливы следующие равенства:

1)M(XY ) = M(X) M(Y ),

2)D(X Y ) = D(X) + D(Y ).

Доказательство проведем только для случая дискретных случайных величин.

Если случайная величина X принимает значения xi с вероятностями pi (i = 1; : : : ; n), а Y принимает значения yj с вероятностями qj (j = 1; : : : ; m), то XY принимает значения xiyj с вероятностями pij = P(X = xi; Y = yj) = pi qj (i = 1; : : : ; n; j = 1; : : : ; m), поэтому

§ 7. Коррелированные случайные величины

7.1. Ковариация и коэффициент корреляции

Определение 3.12 Ковариацией (или корреляционным моментом)

случайных величин X и Y называется

Приведем формулы для непосредственного вычисления ковариации в случае дискретных случайных величин

n m

XX

cov(X; Y ) =

i=1 j=1

и

cov(X; Y )

в случае случайных величин с плотностями.

Ковариация и коэффициент корреляции характеризуют степень линейной зависимости случайных величин чем больше абсолютная величина коэффициента корреляции, тем сильнее линейная зависимость между случайными величинами.

Если ковариация (или коэффициент корреляции) двух случайных величин равен нулю, то такие величины называются некоррелированными.

7.2. Свойства ковариация

Теорема 3.13 (свойства корреляции)

1)D(X Y ) = D(X) 2cov(X; Y ) + D(Y ).

2)Если X и Y некоррелированы, то

D(X Y ) = D(X) + D(Y ) :

3)Если X и Y независимы, то r(X; Y ) = 0.

4)jr(X; Y )j 6 1.

Доказательство. 1) Преобразуем выражение

(X Y M(X Y ))2 = ((X M(X)) (Y M(Y )))2 = = (X M(X))2 2(X M(X))(Y M(Y )) + (Y M(Y ))2 :

В силу свойства линейности (свойство 2) в теореме 3.3) математическое ожидание первого и третьего слагаемых справа соответственно равны D(X) и D(Y ),

аматематическое ожидание среднего слагаемого равно 2cov(X; Y ).

2)Это свойство сразу следует из определения некоррелированности и свойства 1).

3) Если X и Y независимы, то X M(X) и Y M(Y ) независимы и математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий

M((X M(X))(Y M(Y ))) =

= M(X M(X)) M((Y M(Y )) = 0;

cледовательно, cov(X; Y ) = 0.

4) Расcмотрим при t 2 R выражение

0 6 M (X + tY )2 = M X2 + 2tM(XY ) + t2M Y 2 :

Так как квадратный трехчлен справа неотрицателен, то его дискриминант непо-

p

jM(XY )j 6 M(X2) M(Y 2)

(его обычно называют неравенством Коши–Буняковского–Шварца). Для завершения доказательства осталось применить это неравенство к случайным величинам X M(X) и Y M(Y ).

Можно показать также, что если jr(X; Y )j = 1, то X и Y линейно зависимы в том смысле, что найдутся такие числа a и b, что

P(Y = aX + b) = 1:

§8. Закон больших чисел

8.1.Неформальная суть закона больших чисел

Пусть проводится большое число одинаковых независимых случайных экспериментов, в каждом из которых наблюдается значение некоторой случайной величины X c конечным математическим ожиданием M(X). Тогда среднее арифметическое полученных значений для X при неограниченном возрастании числа экспериментов будет приближаться к математическому ожиданию M(X). Другими словами, среднее значение независимых одинаково распределенных случайных величин приближается к детерминированной величине и, тем самым, теряет свой случайный характер. В этом состоит смысл фундаментального закона теории вероятностей закона больших чисел, который мы докажем в этом разделе.