Теория автоматических систем. Линейные системы. В 3 ч. Ч. 1

Правило дифференцирования суммы (разности) двух функций записывается следующим образом:

Используем правило производной суммы (разности):

Так как постоянный множитель можно выносить за знак производной, то

В. Производная произведения функций. Правило дифферен-

цирования произведения двух функций записывается следующим образом:

f x g x f x g x f x g (x).

70

П р и м е р 4.5

Продифференцировать функцию y tgx arcsinx.

Р е ш е н и е

Выделим в этом примере две функции: f(x) = tg x;

g(x) = arcsin x.

Применим правило производной произведения:

y (tg x arcsin x) (tg x) arcsin x tg x (arcsin x) .

В таблице находим производные основных элементарных тригонометрических функций и получаем ответ:

П р и м е р 4.6

Р е ш е н и е

В этом примере

f x ex ;

71

Следовательно:

Рассмотрим случай нахождения производной произведения трех функций. В принципе, по этой же схеме можно дифференцировать произведение любого количества функций.

П р и м е р 4.7

Выполнить дифференцирование функции y (1 x) sin x ln x .

Р е ш е н и е

Будем исходить из правила дифференцирования произведения двух функций. В качестве функции f(x) будем считать произведение (1 + x) sin x, а в качестве g(x) возьмем ln x:

y ((1 x) sin x ln x) ( 1 x sin x) ln x (1 x) (ln x) .

Для произведения нахождения (1 + x) sin x вновь применим правило производной произведения:

((1 x) sin x) (1 x) sin x (1 x) (sin x) .

Используя правило производной суммы и таблицу производных, получим

((1 x) sin x) (1 x) sin x (1 x) (sin x) (1 x ) sin x (1 x) cos x

(0 1) sin x (1 x) cos x sin x cos x x cos x.

72

Используя данный результат, получим

y ((1 x) sin x ln x) ((1 x) sin x) ln x (1 x) sin x (ln x)

(sin x cos x x cos x) ln x (1 x) sin x . x

П р и м е р 4.8

Найти производную функции y 2sh x 2x arctg x.

Р е ш е н и е

Функция представляет собой разность выражений, поэтому

y 2sh x 2x arctg x 2sh x (2x arctg x) .

В первом слагаемом выносим константу за знак производной, а ко второму применяем правило дифференцирования произведения:

y 2sh x 2x arctg x 2 sh x 2x arctgx 2x arctg x

2ch x (2x ln 2 arctg x 1 2xx2 ) 2ch x 2x ln2 arctg x 1 2xx2 .

Г. Производная частного двух функций (производная дроби).

Правило дифференцирования частного двух функций записывается следующим образом:

Учтем ограничение: g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка дифференцирования.

73

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений: sin x и 2x + 1. Применим правило дифференцирования дроби:

Применим правило дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

Д. Производная сложной функции. Функции сложного вида не совсем корректноназыватьтермином «сложная функция». Кпримеру,

смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является в отличие от y sin2 x .

74

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

Условно сложную функцию можно обозначать как f(g(x)), т. е. g(x) является аргументом функции f(g(x)).

Например, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = ln x – функция натурального логарифма. Тогда сложная функция f(g(x)) представ-

ляет собой arctg(ln x).

Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а g x x2 2x 3 – целая рациональная функция, тогда

fg x (x2 2x 3)4.

Всвою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например, имеется функция

Условно такое выражение можно обозначить как

y f ( f1 f2 x ).

Здесь f – функция синуса;

f1 – функция извлечения квадратного корня;

f2 x 2x3x 51 – дробная рациональная функция.

Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом

y f ( f1 f2 f3 fn x ).

Сложную функцию можно назвать композицией функций. Правило дифференцирования сложной функции имеет вид

f g x f (g x ) g (x).

75

Формула производной для функции

y f ( f1 f2 f3 fn x )

имеет вид

y f '( f1 f2 f3 fn x f1 f2 f3 fn x

f2 f3 fn x fn .

П р и м е р 4.10

Найти производную сложной функции y (2x 1)2.

Ре ш е н и е

Вданном примереf – функция возведения вквадрат, а g(x) = 2x + 1 – линейная функция.

f g x g x 2 2 g x 2 1 2g x 2 2x 1 ;

g x 2x 1 2x 1 2x 0 2 1 x1 1 2;

f g x f g x g x 2 2x 1 2 8x 4.

Упростим вид исходной функции:

y (2x 1)2 4x2 4x 1.

Следовательно:

y 4x2 4x 1 4x2 4x 1 4 x2 4 x 0

4 2 x2 1 4 1 x1 1 8x 4.

Результаты обоих вариантов решения задачи совпадают.

76

Для правильного решения подобных задач необходимо точно определять функции f и g.

П р и м е р 4.11

Найти производные сложных функций:

y sin2 x и y sin x2 .

Ре ш е н и е

Впервом случае f – это функция возведения в квадрат, а g(x) – функция синуса, поэтому

y sin2 x 2sin2 1x(sin x) 2sin x cos x.

Во втором случае f – это функция синуса, а g x x2 – степен-

ная функция. Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции можно получить

y (sin x2 ) cos(x2 ) (x2 ) cos(x2 ) 2 x1 1 2 x cos(x2 ).

П р и м е р 4.12

Продифференцировать функцию y sin(ln3arctg 2x ).

Ре ш е н и е

Вэтом примере сложную функцию можно условно записать как

y f ( f1 f2 f3 f4 (x) ) ,

где f, f1, f2, f3, f4 – функция синуса, функция возведения в третью степень, функция логарифмирования по основанию e, функция взятия арктангенса и линейная функция соответственно.

77

По правилу дифференцирования сложной функции

y f ( f1 f2 f3 f4 x ) f1 f2 f3 f4 x f2 f3 f4 x f3 f4 x f4 x .

При дифференцировании функции f4 выносим константу за знак производной и применяем формулу производной степенной функции с показателем, равным единице:

f4 x 2x 2x 2 1 x1 1 2.

Подставим полученные результаты в исходную формулу:

y f f1 f2 f3 f4 x f1 f2 f3 f4 x f2 f3 f4 x f3 f4 x f4 x

cos ln3arctg 2x 3 ln2arctg 2x arctg1 2x 1 14x2 2

6cos ln3arctg 2x ln2arctg 2x . arctg 2x (1 4x2 )

Важно четко понимать порядок применения правил дифференцирования, знать таблицу производных и порядок применения правила нахождения производной сложной функции.

78

Функцию

y tg2 x 3tg x 1

можно рассматривать как сложную: g(x) = tg x,

f g g2 3g 1.

Следовательно, можно сразу применять формулу производной сложной функции:

fg x g2 x 3g x 1 g2 x 3g x 1 )

2g2 1 x 3g x 0 2g x 3 1 g1 1 x 2g x 3 2tg x 3

А вот функцию

y tg x2 3tg x 1

сложной уже назвать нельзя.

Эта функция представляет собой сумму трех функций: tg x2 , 3tgx и 1, хотя tg x2 представляет собой сложную функцию: g x x2 –

степенная функция (квадратичная парабола), а f – функция тангенса. Поэтому сначала применяем формулу дифференцирования суммы:

y tg x2 3tg x 1 tg x2 3tg x 1

tg x2 3 tg x 0 tg x2 cos32 x .

79