Теория автоматических систем. Линейные системы. В 3 ч. Ч. 1

Язык/Language – назначение языка интерфейса программы (в настоящее время используется только русский язык. Дополнительные языки являются предметом дальнейшей разработки авторов программы);

пользователь. Этот пункт вызывает диалоговое окно, позволяющее обратиться к нескольким вкладкам;

вид и поведение. Указание, разворачивать или нет во весь экран окна программы при старте системы; размещение окна библиотек справа или слева в главном окне; разрешение или запрет дублирования окон с графиками и таблицами; назначение отображения после окончания расчета только графика, только таблицы, графика и таблицы или запрет отображения упомянутых объектов;

методы. Установка точности методов численного дифференцирования и методов решения дифференциальных уравнений;

редактор. Установка требования или отсутствия такого требования на вставку и удаление элементов структурных схем систем автоматического управления;

цвета графиков. Установка или изменение цветов линий графиков для контрольных точек. Назначение цвета фона схем, сетки

иосей, конкретной контрольной точки, стиля линий и назначение параметров настройки для основных установок или для фазово-час- тотной характеристики при ее выводе на экран совместно с амли- тудно-частотной характеристикой;

шкалы. Пользовательское назначение минимального и максимального значений диапазонов вывода для графиков по горизонтали

ивертикали, а также числа шагов сетки отображения. Разрешение или запрет отображения сетки на графиках;

частотные характеристики. Назначение отображения фазы в радианах или в градусах. Назначение отображения частоты в радианах в секунду или в герцах. Разрешение или исключение скачков на 180º на фазово-частотной характеристике.

Пункт меню Окно предназначен для переключения между объектами окна: библиотеки, редактор, графики, таблица.

Пункт меню Помощь комментариев не требует.

Поле редактора разбито на ячейки, в которых могут быть расположены элементы схемы. На поле могут размещаться несколько независимых однотипных схем.

60

Панель редактора. Слева и сверху поля расположены индексы ячеек. При нажатии левой кнопки мыши по полю редактора соответствующая ячейка выделяется прямоугольником синего цвета. Если выделена пустая ячейка, то элемент схемы в нее можно поместить двойным щелчком левой кнопки мыши по необходимому элементу в окне библиотеки или вставить из буфера памяти после копирования или вырезания. Если выделена ячейка с элементом, то возможно его вырезание, копирование, удаление, задание параметров элемента, если они есть. Элементы схемы можно перетаскивать по полю редактора и разворачивать в любом направлении кнопками

на панели инструментов программы или нажатием и удерживанием левой кнопки мыши.

Необходимо учитывать, что элемент схемы, размещенный в окне редактора, помечается символом *. Наличие этого символа означает, что элементу схемы не назначены параметры. Для назначения параметров необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши по изображению отмеченного элемента и вызвать пункт контекстного меню Параметры элемента. По умолчанию предлагаются определенные значения. Существует возможность согласиться с предложенными значениями или назначить собственные значения. В любом случае после принятия решения необходимо щелкнуть по кнопке Принять.

Расчет схемы. Для расчета схемы необходимо в главном меню

выбрать пункт «Выполнить» > «Расчет» или нажать кнопку панели инструментов. Для проведения расчета схемы должна быть установлена хотя бы одна контрольная точка. По результатам расчета будут построены графики в заданных контрольных точках схемы. Вид графика (зависимость от времени или частотные характеристики) зависит от типа входного элемента, задающего сигнал. Цвет кривой на графике соответствует цвету номера контрольной точки.

Установка/удаление контрольной точки. Контрольная точка устанавливается (или снимается) на выходе элемента с помощью двойного щелчка левой кнопки мыши по этому элементу схемы, а также через пункты меню «Назначить».

Номер контрольной точки устанавливается автоматически. Каждому номеру соответствует свой цвет. В схеме допускается не более 12 контрольных точек.

61

Если контрольная точка не устанавливается:

–то не был выбран никакой элемент или щелчок мышью выполнен по пустому месту схемы;

–всхемеужеустановлено максимальноечисло контрольных точек;

–выбрано соединение или разветвление, а не выход элемента.

4.3. Временные функции и характеристики

Под временными характеристиками в общем случае понима-

ется графическое или аналитическое изображение процесса изменения выходной величины как функции времени при переходе системы из одного установившегося состояния в другое в результате поступления на вход системы некоторого типового воздействия.

Так как дифференциальное уравнение системы определяет изменение выходной величины как функции времени при некоторых начальных условиях, то временная характеристика представляет собой решение дифференциального уравнения для принятого типового воздействия и, следовательно, полностью характеризует динамические свойства системы.

Временные характеристики могут быть получены не только путем решения дифференциального уравнения, но и экспериментально, то есть возможность определения динамических свойств системы по временной характеристике имеет исключительно важное практическое значение, поскольку в этом случае не требуется определять и решать дифференциальное уравнение.

В качестве типовых воздействий наиболее широкое применение находят единичное ступенчатое (функция Хэвисайда), единичное импульсное (функция Дирака или дельта-функция) воздействия,

гармоническое воздействие

x Asin( t) .

В этом выражении ω – частота гармонического воздействия, t – независимая переменная времени.

Ступенчатое воздействие называют единичным, так как в общем случае амплитуда этого воздействия принимается равной единице, хотя для получения адекватных результатов моделирования системы или звена и изменения амплитуды входного воздействия можно применить между источником входного сигнала и моделируемой

62

системой обыкновенный широкополосный усилитель, который усиливает или ослабляет входной сигнал.

Математическое выражение единичного ступенчатого воздействия может быть записано в виде

0 при t 0; 1 t

1 при t 0,

т. е. до начала отсчета значение входного сигнала равно нулю, а в момент времени, по меньшей мере равный нулю, мгновенно становится равным единице. При реальном (компьютерном или физическом) моделировании момент времени изменения уровня сигнала от нуля к единице часто формируют с некоторой задержкой относительно нулевого момента времени, например включая в схему после источника сигнала элемент задержки. Это делают для того, чтобы график входного сигнала не совпадал с осью ординат графика моделирования и был хорошо заметен.

График входного ступенчатого воздействия имеет вид, представленный на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Входное ступенчатое воздействие

На этом графике задержка входного сигнала принята равной 0,1. Изображение по Лапласу этой функции имеет вид

63

L 1 t 1 p 1p .

При наличии запаздывания τ преобразование Лапласа имеет вид

Под единичным импульсным воздействием понимается импульс, длительность которого стремится к нулю, а амплитуда – к бесконечности:

при t 0;t

0 при t 0.

Площадь, ограниченная графиком этой функции, равна единице, т. е.

t dt 1.

График дельта-функции с задержкой относительно начала координат 0,1 представлен на рис. 4.5.

Рис. 4.15. Дельта-функция

64

Изображение по Лапласу для дельта-функции имеет вид

L t 1 .

Естественно, что на конкретном графике не может быть изображен сигнал с бесконечной амплитудой и нулевой длительностью, поэтому на графике изображен сигнал с очень большой, но конечной амплитудой и конечной длительностью 0,01.

Гармоническое воздействие в общем случае описывается как функция синуса. Для изменения функции в конкретных целях моделирования она может быть изменена специальными функциональными элементами.

График входного гармонического воздействия дан на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Входное гармоническое воздействие

Для приведенного примера амплитуда сигнала равна 1, а период повторения (частота ω) равен 8 рад/с.

Изображение по Лапласу для гармонического сигнала имеет вид

L(sin t) p2 2 .

65

Графическое изображение реакции системы на единичное ступенчатое воздействие называется переходной характеристикой. Аналитическое выражение переходной характеристики обозначим h(t) и назовем переходной функцией.

Реакцию системы на единичное импульсное воздействие назовем импульсной переходной характеристикой. Аналитическое выражение импульсной переходной характеристики обозначим g(t) и назовем импульсной переходной функцией или весовой функцией (функцией веса).

При практических расчетах наиболее широкое применение находит временная характеристика в виде переходной характеристики, так как ее достаточно просто получить экспериментально и, кроме того, определяемый ею переходный процесс часто возникает при включениях и изменениях задающегои возмущающего воздействий.

При поступлении на вход системы с передаточной функцией W(p) величины x(t) = 1(t) на выходе можно получить переходную характеристику y(t) = h(t).

В преобразованном по Лапласу виде входную и выходную величины можно записать в виде

x p L x t L 1 t 1p ;

L h t h p y( p).

С учетом этих соотношений можно получить

W p xy(( pp)) ph p pL(h t ).

Из последнего выражения следует, что по переходной функции можно получить передаточную функцию.

При поступлении на вход системы автоматического управления величины x t (t) на выходе будет получена импульсная пере-

ходная характеристика g(t). Если их преобразовать по Лапласу, то получим выражения

66

x p L x p L t 1; y p L(g(t)) g( p).

В результате получим

W p xy(( pp)) g p L(g t ).

Установим связь между переходной и импульсной переходной функциями:

pL h t L(g t ).

Так как р соответствует оператору дифференцирования, то

g t dhd(tt) .

Таким образом, импульсная переходная функция является производной от переходной функции.

Решение задач дифференцирования и интегрирования для поиска переходных характеристик и импульсных переходных характеристик может осуществляться самостоятельно, например, на основании правил дифференцирования.

4.4. Правила дифференцирования

Материал данного раздела приведен на основании источника http://www.cleverstudents.ru/differentiation_rules.html.

Этот источник приводит достаточно корректную информацию, позволяющую решать практические задачи изучаемой дисциплины.

При решении задач дифференцирования приходится искать производные функций различных классов. Рассмотрим основные правила дифференцирования, которые используются при нахождении производных.

Приведенная в этом разделе информация дается без строгого математического доказательства. Вопросы доказательства правил и

67

утверждений можно изучить в соответствующих разделах высшей математики. Этот раздел служит только вспомогательным материалом для выполнения расчетов в рамках дисциплины «Теория автоматических систем».

Основные правила дифференцирования

А. Вынесение постоянного множителя за знак производной.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела (это известно из свойств предела), поэтому это правило можно записать следующим образом:

Cf x Cf (x).

П р и м е р 4.1

Найти производную функции y 2cos(x) .

Р е ш е н и е

Из таблицы производных для тригонометрических функций находим

(cos x) sin x.

Воспользуемся правилом вынесения множителя за знак производной:

y (2cos x) 2(cos x) 2sin x.

Достаточно часто приходится сначала упрощать вид дифференцируемой функции, чтобы воспользоваться таблицей производных и правилами нахождения производных. Следующие примеры это наглядно подтверждают.

П р и м е р 4.2

68

Р е ш е н и е

На основании свойств логарифмической функции выражение для функции можно преобразовать следующим образом:

Из таблицы находим производную логарифмической функции и выносим постоянный множитель:

Р е ш е н и е

Преобразуем исходную функцию:

Применяем правило вынесения множителя за знак производной и в таблице находим производную показательной функции:

Б. Производная суммы (разности). Производная суммы (разно-

сти) n функций равна сумме (разности) n производных.

69